Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlirred 33234
Description: In a principal ideal domain, maximal ideals are exactly the ideals generated by irreducible elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mxidlirred.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
mxidlirred.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
mxidlirred.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
mxidlirred.m 𝑀 = (πΎβ€˜{𝑋})
mxidlirred.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PID)
mxidlirred.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mxidlirred.y (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
mxidlirred.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
mxidlirred (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)))

Proof of Theorem mxidlirred
Dummy variables 𝑑 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mxidlirred.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 mxidlirred.k . . 3 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
3 mxidlirred.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 mxidlirred.m . . 3 𝑀 = (πΎβ€˜{𝑋})
5 mxidlirred.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PID)
6 df-pid 21237 . . . . . 6 PID = (IDomn ∩ LPIR)
75, 6eleqtrdi 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
87elin1d 4192 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
98adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
10 mxidlirred.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1110adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 mxidlirred.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
1312adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
14 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
151, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 14mxidlirredi 33233 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…))
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
17 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1910ad8antr 738 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
21 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
228idomringd 21261 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2322ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
28 simp-8r 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…))
2927, 28eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ (Irredβ€˜π‘…))
30 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Irredβ€˜π‘…) = (Irredβ€˜π‘…)
3130, 1, 20, 21irredmul 20372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3226, 18, 29, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
33 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
36 annim 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 βŠ† π‘˜ ∧ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)) ↔ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (𝑀 βŠ† π‘˜ ∧ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
3837simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))
39 ioran 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡) ↔ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐡))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐡))
4140simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝐡)
4241neqned 2937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ β‰  𝐡)
4342ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ β‰  𝐡)
4434, 43eqnetrrd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{π‘₯}) β‰  𝐡)
4544neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ (πΎβ€˜{π‘₯}) = 𝐡)
46 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΎβ€˜{π‘₯}) = (πΎβ€˜{π‘₯})
478ad8antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
4820, 2, 46, 1, 18, 47unitpidl1 33188 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((πΎβ€˜{π‘₯}) = 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
4945, 48mtbid 323 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
5032, 49olcnd 875 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
5127eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑋)
521, 2, 16, 18, 19, 20, 21, 25, 50, 51dvdsruassoi 33137 . . . . . . . . . 10 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘₯))
531, 2, 16, 18, 19, 25rspsnasso 33140 . . . . . . . . . 10 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘₯) ↔ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘₯})))
5452, 53mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘₯}))
5554, 34eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = π‘˜)
564, 55eqtr2id 2778 . . . . . . 7 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ = 𝑀)
5740simpld 493 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝑀)
5857ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝑀)
5956, 58pm2.21dd 194 . . . . . 6 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
6037simpld 493 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑀 βŠ† π‘˜)
6160ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑀 βŠ† π‘˜)
6210snssd 4808 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
632, 1rspssid 21136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
6422, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
6564, 4sseqtrrdi 4024 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑀)
66 snssg 4783 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑀 ↔ {𝑋} βŠ† 𝑀))
6766biimpar 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑀) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
6810, 65, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
6968ad6antr 734 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
7061, 69sseldd 3973 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
7170, 33eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯}))
721, 21, 2rspsnel 33131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
7372biimpa 475 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
7424, 17, 71, 73syl21anc 836 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
7559, 74r19.29a 3152 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
76 simplr 767 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
777elin2d 4193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LPIR)
78 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (LPIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)
79 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
8078, 79islpir 21222 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)))
8180simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LPIR β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8382ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8476, 83eleqtrd 2827 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))
8578, 2, 1islpidl 21219 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})))
8685biimpa 475 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
8723, 84, 86syl2anc 582 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
8875, 87r19.29a 3152 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
89 mxidlirred.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9089ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9130, 20irrednu 20368 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9291adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9320, 2, 4, 1, 10, 8unitpidl1 33188 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9493adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9594necon3abid 2967 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9692, 95mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  𝐡)
9796adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  𝐡)
9890, 97jca 510 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡))
991ismxidl 33224 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
10022, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
101 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ↔ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
102100, 101bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
103102notbid 317 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
104103biimpa 475 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
105104adantlr 713 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
10698, 105mpnanrd 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
107 rexnal 3090 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
108106, 107sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
10988, 108r19.29a 3152 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
110109pm2.18da 798 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
11115, 110impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Ringcrg 20177  βˆ₯rcdsr 20297  Unitcui 20298  Irredcir 20299  LIdealclidl 21106  RSpancrsp 21107  LPIdealclpidl 21214  LPIRclpir 21215  IDomncidom 21232  PIDcpid 21233  MaxIdealcmxidl 33221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-irred 20302  df-invr 20331  df-nzr 20456  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-lpidl 21216  df-lpir 21217  df-domn 21235  df-idom 21236  df-pid 21237  df-mxidl 33222
This theorem is referenced by:  rprmirredb  33295  algextdeglem4  33445
  Copyright terms: Public domain W3C validator