Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mxidlirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mxidlirred 33094
Description: In a principal ideal domain, maximal ideals are exactly the ideals generated by irreducible elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mxidlirred.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
mxidlirred.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
mxidlirred.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
mxidlirred.m 𝑀 = (πΎβ€˜{𝑋})
mxidlirred.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PID)
mxidlirred.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
mxidlirred.y (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
mxidlirred.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
mxidlirred (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)))

Proof of Theorem mxidlirred
Dummy variables 𝑑 π‘₯ π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mxidlirred.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 mxidlirred.k . . 3 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
3 mxidlirred.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 mxidlirred.m . . 3 𝑀 = (πΎβ€˜{𝑋})
5 mxidlirred.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ PID)
6 df-pid 21196 . . . . . 6 PID = (IDomn ∩ LPIR)
75, 6eleqtrdi 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
87elin1d 4193 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
10 mxidlirred.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1110adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 mxidlirred.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 β‰  0 )
14 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
151, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 14mxidlirredi 33093 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…))
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1817ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
1910ad8antr 737 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
21 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
228idomringd 21218 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2322ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2524ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
26 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
28 simp-8r 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…))
2927, 28eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ (Irredβ€˜π‘…))
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Irredβ€˜π‘…) = (Irredβ€˜π‘…)
3130, 1, 20, 21irredmul 20331 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
3226, 18, 29, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∨ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
3433ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
36 annim 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 βŠ† π‘˜ ∧ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)) ↔ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (𝑀 βŠ† π‘˜ ∧ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
3837simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))
39 ioran 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡) ↔ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐡))
4038, 39sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (Β¬ π‘˜ = 𝑀 ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐡))
4140simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝐡)
4241neqned 2941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ β‰  𝐡)
4342ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ β‰  𝐡)
4434, 43eqnetrrd 3003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{π‘₯}) β‰  𝐡)
4544neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ (πΎβ€˜{π‘₯}) = 𝐡)
46 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΎβ€˜{π‘₯}) = (πΎβ€˜{π‘₯})
478ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
4820, 2, 46, 1, 18, 47unitpidl1 33048 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((πΎβ€˜{π‘₯}) = 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
4945, 48mtbid 324 . . . . . . . . . . . 12 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
5032, 49olcnd 874 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
5127eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = 𝑋)
521, 2, 16, 18, 19, 20, 21, 25, 50, 51dvdsruassoi 32995 . . . . . . . . . 10 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘₯))
531, 2, 16, 18, 19, 25rspsnasso 32998 . . . . . . . . . 10 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ ((π‘₯(βˆ₯rβ€˜π‘…)𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘₯) ↔ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘₯})))
5452, 53mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = (πΎβ€˜{π‘₯}))
5554, 34eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) = π‘˜)
564, 55eqtr2id 2779 . . . . . . 7 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ π‘˜ = 𝑀)
5740simpld 494 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝑀)
5857ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ Β¬ π‘˜ = 𝑀)
5956, 58pm2.21dd 194 . . . . . 6 (((((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
6037simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑀 βŠ† π‘˜)
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑀 βŠ† π‘˜)
6210snssd 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
632, 1rspssid 21095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
6422, 62, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
6564, 4sseqtrrdi 4028 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑀)
66 snssg 4782 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑀 ↔ {𝑋} βŠ† 𝑀))
6766biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑀) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
6810, 65, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
6968ad6antr 733 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑀)
7061, 69sseldd 3978 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
7170, 33eleqtrd 2829 . . . . . . 7 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯}))
721, 21, 2rspsnel 32990 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯)))
7372biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ∈ (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
7424, 17, 71, 73syl21anc 835 . . . . . 6 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 𝑋 = (𝑑(.rβ€˜π‘…)π‘₯))
7559, 74r19.29a 3156 . . . . 5 (((((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
76 simplr 766 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
777elin2d 4194 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ LPIR)
78 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (LPIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)
79 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
8078, 79islpir 21181 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…)))
8180simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ LPIR β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8277, 81syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8382ad4antr 729 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ (LIdealβ€˜π‘…) = (LPIdealβ€˜π‘…))
8476, 83eleqtrd 2829 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…))
8578, 2, 1islpidl 21178 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯})))
8685biimpa 476 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (LPIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
8723, 84, 86syl2anc 583 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 π‘˜ = (πΎβ€˜{π‘₯}))
8875, 87r19.29a 3156 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
89 mxidlirred.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9089ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9130, 20irrednu 20327 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9291adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
9320, 2, 4, 1, 10, 8unitpidl1 33048 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9594necon3abid 2971 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 β‰  𝐡 ↔ Β¬ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
9692, 95mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  𝐡)
9796adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 β‰  𝐡)
9890, 97jca 511 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡))
991ismxidl 33084 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
10022, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ (𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
101 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))) ↔ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
102100, 101bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
103102notbid 318 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))))
104103biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
105104adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ ((𝑀 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ 𝑀 β‰  𝐡) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡))))
10698, 105mpnanrd 409 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
107 rexnal 3094 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)) ↔ Β¬ βˆ€π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)(𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
108106, 107sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…) Β¬ (𝑀 βŠ† π‘˜ β†’ (π‘˜ = 𝑀 ∨ π‘˜ = 𝐡)))
10988, 108r19.29a 3156 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
110109pm2.18da 797 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…))
11115, 110impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (MaxIdealβ€˜π‘…) ↔ 𝑋 ∈ (Irredβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  βˆ₯rcdsr 20256  Unitcui 20257  Irredcir 20258  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066  LPIdealclpidl 21173  LPIRclpir 21174  IDomncidom 21191  PIDcpid 21192  MaxIdealcmxidl 33081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-irred 20261  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-lpidl 21175  df-lpir 21176  df-domn 21194  df-idom 21195  df-pid 21196  df-mxidl 33082
This theorem is referenced by:  algextdeglem4  33297
  Copyright terms: Public domain W3C validator