Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitpidl1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitpidl1 33160
Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐡 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitpidl1.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitpidl1.2 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
unitpidl1.3 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
unitpidl1.4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
unitpidl1.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
unitpidl1.6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
unitpidl1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem unitpidl1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitpidl1.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
2 df-idom 21234 . . . . . . 7 IDomn = (CRing ∩ Domn)
31, 2eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
43elin1d 4190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6 simplr 767 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
7 unitpidl1.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
87ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9 simpr 483 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
101idomringd 21259 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 unitpidl1.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1311, 121unit 20315 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1514ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
169, 15eqeltrrd 2826 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ)
17 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 unitpidl1.4 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1911, 17, 18unitmulclb 20322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
2019simplbda 498 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
215, 6, 8, 16, 20syl31anc 1370 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2210adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
237adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
24 unitpidl1.3 . . . . . . . 8 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
257snssd 4806 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
26 unitpidl1.2 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
27 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
2826, 18, 27rspcl 21133 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2910, 25, 28syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3024, 29eqeltrid 2829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3130adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
32 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 = 𝐡)
3327, 18, 12lidl1el 21124 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))
3433biimpar 476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3522, 31, 32, 34syl21anc 836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3635, 24eleqtrdi 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3718, 17, 26rspsnel 33103 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)))
3837biimpa 475 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
3922, 23, 36, 38syl21anc 836 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
4021, 39r19.29a 3152 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
41 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4226, 18rspssid 21134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4310, 25, 42syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4443, 24sseqtrrdi 4023 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐼)
45 snssg 4781 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} βŠ† 𝐼))
4645biimpar 476 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
477, 44, 46syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4847adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4910adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5030adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
5118, 11, 41, 48, 49, 50lidlunitel 33159 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 𝐡)
5240, 51impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4622  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  1rcur 20123  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  Unitcui 20296  LIdealclidl 21104  RSpancrsp 21105  Domncdomn 21229  IDomncidom 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-idom 21234
This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33205  mxidlirred  33206  rsprprmprmidlb  33261
  Copyright terms: Public domain W3C validator