Theorem unitpidl1 33514

Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐵 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitpidl1.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitpidl1.2	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
unitpidl1.3	⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
unitpidl1.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitpidl1.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
unitpidl1.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
unitpidl1	⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem unitpidl1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitpidl1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2		df-idom 20675	. . . . . . 7 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
3	1, 2	eleqtrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
4	3	elin1d 4140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	ad3antrrr 736	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
6		simplr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		unitpidl1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	ad3antrrr 736	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
10	1	idomringd 20707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		unitpidl1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	1unit 20352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
14	10, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	14	ad3antrrr 736	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
16	9, 15	eqeltrrd 2841	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈)
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		unitpidl1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	11, 17, 18	unitmulclb 20359	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)))
20	19	simplbda 500	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	5, 6, 8, 16, 20	syl31anc 1381	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		unitpidl1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
25	7	snssd 4725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
26		unitpidl1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
28	26, 18, 27	rspcl 21235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	10, 25, 28	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
30	24, 29	eqeltrid 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31	30	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 = 𝐵)
33	27, 18, 12	lidl1el 21226	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
34	33	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
35	22, 31, 32, 34	syl21anc 843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
36	35, 24	eleqtrdi 2850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
37	18, 17, 26	elrspsn 21240	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
38	37	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
39	22, 23, 36, 38	syl21anc 843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
40	21, 39	r19.29a 3148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
41		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
42	26, 18	rspssid 21236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
43	10, 25, 42	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
44	43, 24	sseqtrrdi 3963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
45		snssg 4722	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} ⊆ 𝐼))
46	45	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
47	7, 44, 46	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
48	47	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
49	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
50	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
51	18, 11, 41, 48, 49, 50	lidlunitel 33513	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 𝐵)
52	40, 51	impbida 806	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4562  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  Unitcui 20333  Domncdomn 20671  IDomncidom 20672  LIdealclidl 21206  RSpancrsp 21207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-subrg 20549  df-idom 20675  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209

This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33561  mxidlirred  33562  rsprprmprmidlb  33613