Theorem unitpidl1 33763

Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of a commutative ring 𝑅 is the unit ideal 𝐵 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitpidl1.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitpidl1.2	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
unitpidl1.3	⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
unitpidl1.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitpidl1.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
unitpidl1.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
unitpidl1	⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem unitpidl1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitpidl1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
4		unitpidl1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	4	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
7	1	crngringd 20359	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		unitpidl1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
9		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	1unit 20489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	7, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	11	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13	6, 12	eqeltrrd 2867	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		unitpidl1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	8, 14, 15	unitmulclb 20496	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)))
17	16	simplbda 505	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
18	2, 3, 5, 13, 17	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
19	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
20	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		unitpidl1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
22	4	snssd 4757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
23		unitpidl1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
24		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
25	23, 15, 24	rspcl 21401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
26	7, 22, 25	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrid 2870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 = 𝐵)
30	24, 15, 9	lidl1el 21388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
31	30	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
32	19, 28, 29, 31	syl21anc 851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
33	32, 21	eleqtrdi 2876	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
34	15, 14, 23	elrspsn 21408	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
35	34	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
36	19, 20, 33, 35	syl21anc 851	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
37	18, 36	r19.29a 3176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
39	23, 15	rspssid 21402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
40	7, 22, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
41	40, 21	sseqtrrdi 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
42		snssg 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} ⊆ 𝐼))
43	42	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
44	4, 41, 43	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
45	44	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
46	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
47	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
48	15, 8, 38, 45, 46, 47	lidlunitel 33762	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 𝐵)
49	37, 48	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  Unitcui 20470  LIdealclidl 21367  RSpancrsp 21368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-lsp 21130  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-lidl 21369  df-rsp 21370

This theorem is used by:  mxidlirredi  33785  mxidlirred  33786  dflringlem  33815  rsprprmprmidlb  33844