Theorem unitpidl1 33417

Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐵 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitpidl1.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitpidl1.2	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
unitpidl1.3	⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
unitpidl1.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitpidl1.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
unitpidl1.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
unitpidl1	⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem unitpidl1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitpidl1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2		df-idom 20718	. . . . . . 7 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
3	1, 2	eleqtrdi 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
4	3	elin1d 4227	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	ad3antrrr 729	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
6		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		unitpidl1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	ad3antrrr 729	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
10	1	idomringd 20750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		unitpidl1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	1unit 20400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
14	10, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	14	ad3antrrr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
16	9, 15	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈)
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		unitpidl1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	11, 17, 18	unitmulclb 20407	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)))
20	19	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	5, 6, 8, 16, 20	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		unitpidl1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
25	7	snssd 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
26		unitpidl1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
28	26, 18, 27	rspcl 21268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	10, 25, 28	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
30	24, 29	eqeltrid 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 = 𝐵)
33	27, 18, 12	lidl1el 21259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
34	33	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
35	22, 31, 32, 34	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
36	35, 24	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
37	18, 17, 26	elrspsn 21273	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
38	37	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
39	22, 23, 36, 38	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
40	21, 39	r19.29a 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
41		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
42	26, 18	rspssid 21269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
43	10, 25, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
44	43, 24	sseqtrrdi 4060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
45		snssg 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} ⊆ 𝐼))
46	45	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
47	7, 44, 46	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
49	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
50	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
51	18, 11, 41, 48, 49, 50	lidlunitel 33416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 𝐵)
52	40, 51	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  Unitcui 20381  Domncdomn 20714  IDomncidom 20715  LIdealclidl 21239  RSpancrsp 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrg 20597  df-idom 20718  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242

This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33464  mxidlirred  33465  rsprprmprmidlb  33516