Theorem unitpidl1 33505

Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐵 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitpidl1.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitpidl1.2	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
unitpidl1.3	⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
unitpidl1.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitpidl1.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
unitpidl1.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
unitpidl1	⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem unitpidl1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitpidl1.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
2		df-idom 20629	. . . . . . 7 ⊢ IDomn = (CRing ∩ Domn)
3	1, 2	eleqtrdi 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
4	3	elin1d 4156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	4	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
6		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		unitpidl1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	7	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
10	1	idomringd 20661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11		unitpidl1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
13	11, 12	1unit 20310	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
14	10, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
15	14	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
16	9, 15	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		unitpidl1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
19	11, 17, 18	unitmulclb 20317	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)))
20	19	simplbda 499	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	5, 6, 8, 16, 20	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
22	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
23	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
24		unitpidl1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
25	7	snssd 4765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
26		unitpidl1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
28	26, 18, 27	rspcl 21190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
29	10, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
30	24, 29	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 = 𝐵)
33	27, 18, 12	lidl1el 21181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
34	33	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
35	22, 31, 32, 34	syl21anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
36	35, 24	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
37	18, 17, 26	elrspsn 21195	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
38	37	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
39	22, 23, 36, 38	syl21anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
40	21, 39	r19.29a 3144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
41		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
42	26, 18	rspssid 21191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
43	10, 25, 42	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
44	43, 24	sseqtrrdi 3975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
45		snssg 4740	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} ⊆ 𝐼))
46	45	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
47	7, 44, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
49	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
50	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
51	18, 11, 41, 48, 49, 50	lidlunitel 33504	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 𝐵)
52	40, 51	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  Unitcui 20291  Domncdomn 20625  IDomncidom 20626  LIdealclidl 21161  RSpancrsp 21162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-subrg 20503  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164

This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33552  mxidlirred  33553  rsprprmprmidlb  33604