Theorem unitpidl1 33710

Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of a commutative ring 𝑅 is the unit ideal 𝐵 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitpidl1.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitpidl1.2	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
unitpidl1.3	⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
unitpidl1.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
unitpidl1.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
unitpidl1.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
unitpidl1	⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem unitpidl1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitpidl1.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2	1	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑅 ∈ CRing)
3		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
4		unitpidl1.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	4	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
7	1	crngringd 20329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		unitpidl1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
9		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	8, 9	1unit 20457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
11	7, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
12	11	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
13	6, 12	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
15		unitpidl1.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	8, 14, 15	unitmulclb 20464	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈 ↔ (𝑦 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)))
17	16	simplbda 504	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
18	2, 3, 5, 13, 17	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
19	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
20	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		unitpidl1.3	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝐾‘{𝑋})
22	4	snssd 4753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐵)
23		unitpidl1.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
24		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
25	23, 15, 24	rspcl 21345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
26	7, 22, 25	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
27	21, 26	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝐼 = 𝐵)
30	24, 15, 9	lidl1el 21332	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐵))
31	30	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
32	19, 28, 29, 31	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
33	32, 21	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
34	15, 14, 23	elrspsn 21352	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋)))
35	34	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (𝐾‘{𝑋})) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
36	19, 20, 33, 35	syl21anc 850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (1r‘𝑅) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑋))
37	18, 36	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 = 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
38		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
39	23, 15	rspssid 21346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} ⊆ 𝐵) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
40	7, 22, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
41	40, 21	sseqtrrdi 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
42		snssg 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} ⊆ 𝐼))
43	42	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐼)
44	4, 41, 43	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
45	44	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐼)
46	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
47	27	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
48	15, 8, 38, 45, 46, 47	lidlunitel 33709	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝐼 = 𝐵)
49	37, 48	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  Unitcui 20438  LIdealclidl 21311  RSpancrsp 21312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-lidl 21313  df-rsp 21314

This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33732  mxidlirred  33733  dflringlem  33762  rsprprmprmidlb  33791