Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitpidl1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitpidl1 32537
Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐡 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitpidl1.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitpidl1.2 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
unitpidl1.3 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
unitpidl1.4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
unitpidl1.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
unitpidl1.6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
unitpidl1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem unitpidl1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitpidl1.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
2 df-idom 20900 . . . . . . 7 IDomn = (CRing ∩ Domn)
31, 2eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
43elin1d 4198 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6 simplr 767 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
7 unitpidl1.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
87ad3antrrr 728 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9 simpr 485 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
101idomringd 32370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 unitpidl1.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1311, 121unit 20187 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1514ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
169, 15eqeltrrd 2834 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ)
17 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 unitpidl1.4 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1911, 17, 18unitmulclb 20194 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
2019simplbda 500 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
215, 6, 8, 16, 20syl31anc 1373 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2210adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
237adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
24 unitpidl1.3 . . . . . . . 8 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
257snssd 4812 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
26 unitpidl1.2 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
27 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
2826, 18, 27rspcl 20846 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2910, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3024, 29eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
32 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 = 𝐡)
3327, 18, 12lidl1el 20840 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))
3433biimpar 478 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3522, 31, 32, 34syl21anc 836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3635, 24eleqtrdi 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3718, 17, 26rspsnel 32479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)))
3837biimpa 477 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
3922, 23, 36, 38syl21anc 836 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
4021, 39r19.29a 3162 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
41 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4226, 18rspssid 20847 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4310, 25, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4443, 24sseqtrrdi 4033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐼)
45 snssg 4787 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} βŠ† 𝐼))
4645biimpar 478 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
477, 44, 46syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4847adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4910adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5030adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
5118, 11, 41, 48, 49, 50lidlunitel 32536 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 𝐡)
5240, 51impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  1rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056  Unitcui 20168  LIdealclidl 20782  RSpancrsp 20783  Domncdomn 20895  IDomncidom 20896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-idom 20900
This theorem is referenced by:  mxidlirredi  32582  mxidlirred  32583
  Copyright terms: Public domain W3C validator