Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unitpidl1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem unitpidl1 33048
Description: The ideal 𝐼 generated by an element 𝑋 of an integral domain 𝑅 is the unit ideal 𝐡 iff 𝑋 is a ring unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
unitpidl1.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitpidl1.2 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
unitpidl1.3 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
unitpidl1.4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
unitpidl1.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
unitpidl1.6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
unitpidl1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Proof of Theorem unitpidl1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitpidl1.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
2 df-idom 21195 . . . . . . 7 IDomn = (CRing ∩ Domn)
31, 2eleqtrdi 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (CRing ∩ Domn))
43elin1d 4193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
54ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
6 simplr 766 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
7 unitpidl1.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
87ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
9 simpr 484 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
101idomringd 21218 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
11 unitpidl1.1 . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1311, 121unit 20276 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1514ad3antrrr 727 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
169, 15eqeltrrd 2828 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ)
17 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
18 unitpidl1.4 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1911, 17, 18unitmulclb 20283 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)))
2019simplbda 499 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
215, 6, 8, 16, 20syl31anc 1370 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2210adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
237adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
24 unitpidl1.3 . . . . . . . 8 𝐼 = (πΎβ€˜{𝑋})
257snssd 4807 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐡)
26 unitpidl1.2 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
27 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
2826, 18, 27rspcl 21094 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2910, 25, 28syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜{𝑋}) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3024, 29eqeltrid 2831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
32 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝐼 = 𝐡)
3327, 18, 12lidl1el 21085 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼 ↔ 𝐼 = 𝐡))
3433biimpar 477 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3522, 31, 32, 34syl21anc 835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
3635, 24eleqtrdi 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}))
3718, 17, 26rspsnel 32990 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋}) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋)))
3837biimpa 476 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (πΎβ€˜{𝑋})) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
3922, 23, 36, 38syl21anc 835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (1rβ€˜π‘…) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)𝑋))
4021, 39r19.29a 3156 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐼 = 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
41 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
4226, 18rspssid 21095 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑋} βŠ† 𝐡) β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4310, 25, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† (πΎβ€˜{𝑋}))
4443, 24sseqtrrdi 4028 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐼)
45 snssg 4782 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝐼 ↔ {𝑋} βŠ† 𝐼))
4645biimpar 477 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
477, 44, 46syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4847adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐼)
4910adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5030adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
5118, 11, 41, 48, 49, 50lidlunitel 33047 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐼 = 𝐡)
5240, 51impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 = 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  Unitcui 20257  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066  Domncdomn 21190  IDomncidom 21191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-idom 21195
This theorem is referenced by:  mxidlirredi  33093  mxidlirred  33094
  Copyright terms: Public domain W3C validator