Theorem rsprprmprmidlb 33604

Description: In an integral domain, an ideal generated by a single element is a prime iff that element is prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidlb.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rsprprmprmidlb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsprprmprmidlb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rsprprmprmidlb.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rsprprmprmidlb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rsprprmprmidlb.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidlb	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem rsprprmprmidlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidlb.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rsprprmprmidlb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3	2	idomcringd 20660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
5		rsprprmprmidlb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (RPrime‘𝑅))
7	6	eleq2d 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)))
8	7	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
9	1, 4, 8	rsprprmprmidl 33603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
11		rsprprmprmidlb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})
15		rsprprmprmidlb.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	13, 1, 14, 15, 12, 10	unitpidl1 33505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ((𝐾‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)))
17	16	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
18	10	idomringd 20661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	15, 19	prmidlnr 33520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	18, 20	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
23	22	neneqd 2937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
24	17, 23	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
25		rsprprmprmidlb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		nelsn 4623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
29		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })
30		nelun 32588	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 })))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
32	24, 28, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
33	12, 32	eldifd 3912	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
35	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
36	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥))
38	37	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥)
39	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
40	39	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)
41	3	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
42		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
43		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
45	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
46	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47	15, 1, 34, 45, 46	ellpi 33454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
48	47	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
49	15, 19	prmidlc 33529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
50	41, 42, 43, 44, 48, 49	syl23anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
51	38, 40, 50	orim12da 32532	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
52	51	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
53	52	anasss 466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
54	53	ralrimivva 3179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
55		rsprprmprmidlb.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
56	15, 13, 55, 34, 19	isrprm 33598	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
57	56	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
58	10, 33, 54, 57	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
59	58, 5	eleqtrrdi 2847	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
60	9, 59	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  ∥_rcdsr 20290  Unitcui 20291  RPrimecrpm 20368  IDomncidom 20626  RSpancrsp 21162  PrmIdealcprmidl 33516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rprm 20369  df-subrg 20503  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-prmidl 33517

This theorem is referenced by:  rprmasso  33606  pidufd  33624