Theorem rsprprmprmidlb 33499

Description: In an integral domain, an ideal generated by a single element is a prime iff that element is prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidlb.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rsprprmprmidlb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsprprmprmidlb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rsprprmprmidlb.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rsprprmprmidlb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rsprprmprmidlb.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidlb	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem rsprprmprmidlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidlb.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rsprprmprmidlb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3	2	idomcringd 20652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
5		rsprprmprmidlb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (RPrime‘𝑅))
7	6	eleq2d 2819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)))
8	7	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
9	1, 4, 8	rsprprmprmidl 33498	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
11		rsprprmprmidlb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})
15		rsprprmprmidlb.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	13, 1, 14, 15, 12, 10	unitpidl1 33400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ((𝐾‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)))
17	16	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
18	10	idomringd 20653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	15, 19	prmidlnr 33415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	18, 20	sylancom 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
23	22	neneqd 2935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
24	17, 23	pm2.65da 816	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
25		rsprprmprmidlb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		nelsn 4620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
29		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })
30		nelun 32504	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 })))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
32	24, 28, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
33	12, 32	eldifd 3910	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
34		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
35	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
36	11	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33349	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥))
38	37	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥)
39	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33349	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
40	39	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)
41	3	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
42		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
43		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
45	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
46	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47	15, 1, 34, 45, 46	ellpi 33349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
48	47	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
49	15, 19	prmidlc 33424	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
50	41, 42, 43, 44, 48, 49	syl23anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
51	38, 40, 50	orim12da 32448	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
52	51	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
53	52	anasss 466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
54	53	ralrimivva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
55		rsprprmprmidlb.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
56	15, 13, 55, 34, 19	isrprm 33493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
57	56	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
58	10, 33, 54, 57	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
59	58, 5	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
60	9, 59	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  ._rcmulr 17172  0_gc0g 17353  Ringcrg 20161  CRingccrg 20162  ∥_rcdsr 20282  Unitcui 20283  RPrimecrpm 20360  IDomncidom 20618  RSpancrsp 21154  PrmIdealcprmidl 33411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-ip 17189  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-cring 20164  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-rprm 20361  df-subrg 20495  df-idom 20621  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-sra 21117  df-rgmod 21118  df-lidl 21155  df-rsp 21156  df-prmidl 33412

This theorem is referenced by:  rprmasso  33501  pidufd  33519