Theorem rsprprmprmidlb 34125

Description: An ideal generated by a single element is a prime iff that element is prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidlb.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rsprprmprmidlb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsprprmprmidlb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rsprprmprmidlb.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidlb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rsprprmprmidlb.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidlb	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem rsprprmprmidlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidlb.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rsprprmprmidlb.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rsprprmprmidlb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (RPrime‘𝑅))
6	5	eleq2d 2850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)))
7	6	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
8	1, 3, 7	rsprprmprmidl 34124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
9	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
10		rsprprmprmidlb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})
14		rsprprmprmidlb.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	12, 1, 13, 14, 11, 9	unitpidl1 34044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ((𝐾‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)))
16	15	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
17	9	crngringd 20503	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	14, 18	prmidlnr 21650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
20	17, 19	sylancom 600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
22	21	neneqd 2964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
23	16, 22	pm2.65da 829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
24		rsprprmprmidlb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
25		nelsn 4627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
26	24, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
28		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })
29		nelun 33181	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 })))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
31	23, 27, 30	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
32	11, 31	eldifd 4053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
34	17	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	10	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	14, 1, 33, 34, 35	ellpi 33998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥))
37	36	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥)
38	14, 1, 33, 34, 35	ellpi 33998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)
40	2	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
41		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
42		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
45	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	14, 1, 33, 44, 45	ellpi 33998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
47	46	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
48	14, 18	prmidlc 21659	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
49	40, 41, 42, 43, 47, 48	syl23anc 1405	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
50	37, 39, 49	orim12da 980	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
51	50	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
52	51	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
53	52	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
54		rsprprmprmidlb.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
55	14, 12, 54, 33, 18	isrprm 34119	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
56	55	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
57	9, 32, 53, 56	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
58	57, 4	eleqtrrdi 2875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
59	8, 58	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490  ∥_rcdsr 20614  Unitcui 20615  RPrimecrpm 20692  RSpancrsp 21515  PrmIdealcprmidl 21646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-rprm 20693  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-prmidl 21647

This theorem is used by:  rprmasso  34127  pidufd  34145