Theorem rsprprmprmidlb 33398

Description: In an integral domain, an ideal generated by a single element is a prime iff that element is prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidlb.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rsprprmprmidlb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsprprmprmidlb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rsprprmprmidlb.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rsprprmprmidlb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rsprprmprmidlb.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidlb	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem rsprprmprmidlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidlb.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rsprprmprmidlb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
3	2	idomcringd 20705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
5		rsprprmprmidlb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (RPrime‘𝑅))
7	6	eleq2d 2812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)))
8	7	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
9	1, 4, 8	rsprprmprmidl 33397	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
10	2	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
11		rsprprmprmidlb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
14		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})
15		rsprprmprmidlb.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
16	13, 1, 14, 15, 12, 10	unitpidl1 33299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ((𝐾‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)))
17	16	biimpar 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
18	10	idomringd 20706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
19		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	15, 19	prmidlnr 33314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	18, 20	sylancom 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
22	21	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
23	22	neneqd 2935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
24	17, 23	pm2.65da 815	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
25		rsprprmprmidlb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
26		nelsn 4673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
28	27	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
29		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })
30		nelun 32439	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 })))
31	29, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
32	24, 28, 31	sylanbrc 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
33	12, 32	eldifd 3958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
34		eqid 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
35	18	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
36	11	ad4antr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
37	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥))
38	37	biimpa 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥)
39	15, 1, 34, 35, 36	ellpi 33248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
40	39	biimpa 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)
41	3	ad4antr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
42		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
43		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
44		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
45	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
46	11	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47	15, 1, 34, 45, 46	ellpi 33248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
48	47	biimpar 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
49	15, 19	prmidlc 33323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
50	41, 42, 43, 44, 48, 49	syl23anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
51	38, 40, 50	orim12da 32388	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
52	51	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
53	52	anasss 465	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
54	53	ralrimivva 3191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
55		rsprprmprmidlb.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
56	15, 13, 55, 34, 19	isrprm 33392	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
57	56	biimpar 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
58	10, 33, 54, 57	syl12anc 835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
59	58, 5	eleqtrrdi 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
60	9, 59	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945  {csn 4633   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  ._rcmulr 17267  0_gc0g 17454  Ringcrg 20216  CRingccrg 20217  ∥_rcdsr 20336  Unitcui 20337  RPrimecrpm 20414  IDomncidom 20671  RSpancrsp 21196  PrmIdealcprmidl 33310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-rprm 20415  df-subrg 20553  df-idom 20674  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-rsp 21198  df-prmidl 33311

This theorem is referenced by:  rprmasso  33400  pidufd  33418