Theorem rsprprmprmidlb 33680

Description: An ideal generated by a single element is a prime iff that element is prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rsprprmprmidlb.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rsprprmprmidlb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rsprprmprmidlb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rsprprmprmidlb.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsprprmprmidlb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
rsprprmprmidlb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rsprprmprmidlb.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
rsprprmprmidlb	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Proof of Theorem rsprprmprmidlb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rsprprmprmidlb.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
2		rsprprmprmidlb.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ CRing)
4		rsprprmprmidlb.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (RPrime‘𝑅))
6	5	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅)))
7	6	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
8	1, 3, 7	rsprprmprmidl 33679	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
9	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
10		rsprprmprmidlb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑋})
14		rsprprmprmidlb.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15	12, 1, 13, 14, 11, 9	unitpidl1 33571	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ((𝐾‘{𝑋}) = 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)))
16	15	biimpar 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
17	9	crngringd 20275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	14, 18	prmidlnr 33586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
20	17, 19	sylancom 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
21	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ 𝐵)
22	21	neneqd 2961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = 𝐵)
23	16, 22	pm2.65da 826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅))
24		rsprprmprmidlb.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
25		nelsn 4624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
27	26	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })
29		nelun 32661	. . . . . . 7 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 })))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
31	23, 27, 30	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ¬ 𝑋 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
32	11, 31	eldifd 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
33		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
34	17	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
35	10	ad4antr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	14, 1, 33, 34, 35	ellpi 33520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥))
37	36	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑥)
38	14, 1, 33, 34, 35	ellpi 33520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
39	38	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})) → 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)
40	2	ad4antr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
41		simp-4r 793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
42		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44	17	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
45	10	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
46	14, 1, 33, 44, 45	ellpi 33520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
47	46	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))
48	14, 18	prmidlc 33595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (𝐾‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
49	40, 41, 42, 43, 47, 48	syl23anc 1395	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ∨ 𝑦 ∈ (𝐾‘{𝑋})))
50	37, 39, 49	orim12da 32605	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦))
51	50	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
52	51	anasss 470	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
53	52	ralrimivva 3204	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))
54		rsprprmprmidlb.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
55	14, 12, 54, 33, 18	isrprm 33674	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))))
56	55	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑋(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑋(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑋(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
57	9, 32, 53, 56	syl12anc 847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
58	57, 4	eleqtrrdi 2872	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
59	8, 58	impbida 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑃 ↔ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263  ∥_rcdsr 20382  Unitcui 20383  RPrimecrpm 20460  RSpancrsp 21257  PrmIdealcprmidl 33582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-rprm 20461  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-prmidl 33583

This theorem is referenced by:  rprmasso  33682  pidufd  33700