Theorem rprmirred 33609

Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirred.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
rprmirred	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rprmirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rprmirred.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmirred.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		rprmirred.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmcl 33596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	2, 6, 3, 4	rprmnunit 33599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
8	5, 7	eldifd 3901	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12	3	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
14	2, 9, 3, 4	rprmnz 33598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
15	14	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
16		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
19	18	eldifad 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
22	21	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥)
24	1, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23	rprmirredlem 33608	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
26	25	eldifbd 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
27	24, 26	pm2.21fal 1564	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ⊥)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
29	14	ad4antr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
30	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
31	16	eldifad 3902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
34	28	idomcringd 20698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
35	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
36	1, 10, 34, 32, 35	crngcomd 20230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
37	33, 36	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
38		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)
39	1, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38	rprmirredlem 33608	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
41	40	eldifbd 3903	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
42	39, 41	pm2.21fal 1564	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ⊥)
43	4	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑃)
44	3	idomringd 20699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
45	1, 11	dvdsrid 20341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
46	44, 5, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
47	46	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
49	47, 48	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
50	1, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49	rprmdvds 33597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦))
51	27, 42, 50	mpjaodan 961	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
52	51	inegd 1562	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
53	52	neqned 2940	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
54	53	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
55	54	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56		rprmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
58	1, 6, 56, 57, 10	isirred 20393	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
59	8, 55, 58	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ⊥wfal 1554   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396  Ringcrg 20208  ∥_rcdsr 20328  Unitcui 20329  Irredcir 20330  RPrimecrpm 20406  IDomncidom 20664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-irred 20333  df-rprm 20407  df-nzr 20484  df-domn 20666  df-idom 20667

This theorem is referenced by:  rprmirredb  33610