Theorem rprmirred 33821

Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirred.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
rprmirred	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rprmirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rprmirred.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmirred.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		rprmirred.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmcl 33808	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	2, 6, 3, 4	rprmnunit 33811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
8	5, 7	eldifd 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12	3	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
14	2, 9, 3, 4	rprmnz 33810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
15	14	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
16		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
17	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
19	18	eldifad 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
22	21	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
23		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥)
24	1, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23	rprmirredlem 33820	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
25	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
26	25	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
27	24, 26	pm2.21fal 1592	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ⊥)
28	12	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
29	14	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
30	18	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
31	16	eldifad 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
34	28	idomcringd 20825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
35	19	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
36	1, 10, 34, 32, 35	crngcomd 20332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
37	33, 36	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
38		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)
39	1, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38	rprmirredlem 33820	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
41	40	eldifbd 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
42	39, 41	pm2.21fal 1592	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ⊥)
43	4	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑃)
44	3	idomringd 20826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
45	1, 11	dvdsrid 20445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
46	44, 5, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
47	46	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
48		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
49	47, 48	breqtrrd 5139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
50	1, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49	rprmdvds 33809	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦))
51	27, 42, 50	mpjaodan 973	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
52	51	inegd 1590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
53	52	neqned 2965	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
54	53	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
55	54	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56		rprmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
58	1, 6, 56, 57, 10	isirred 20497	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
59	8, 55, 58	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3902   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Ringcrg 20310  ∥_rcdsr 20432  Unitcui 20433  Irredcir 20434  RPrimecrpm 20510  IDomncidom 20792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-irred 20437  df-rprm 20511  df-nzr 20610  df-domn 20794  df-idom 20795

This theorem is referenced by:  rprmirredb  33822