Theorem rprmirred 34063

Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirred.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
rprmirred	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rprmirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rprmirred.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmirred.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		rprmirred.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmcl 34050	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	2, 6, 3, 4	rprmnunit 34053	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
8	5, 7	eldifd 3910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12	3	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
14	2, 9, 3, 4	rprmnz 34052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
15	14	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
16		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
19	18	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
22	21	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
23		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥)
24	1, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23	rprmirredlem 34062	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
25	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
26	25	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
27	24, 26	pm2.21fal 1592	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ⊥)
28	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
29	14	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
30	18	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
31	16	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
34	28	idomcringd 20978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
35	19	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
36	1, 10, 34, 32, 35	crngcomd 20482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
37	33, 36	eqtr3d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
38		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)
39	1, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38	rprmirredlem 34062	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
41	40	eldifbd 3912	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
42	39, 41	pm2.21fal 1592	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ⊥)
43	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑃)
44	3	idomringd 20979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
45	1, 11	dvdsrid 20597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
46	44, 5, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
47	46	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
48		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
49	47, 48	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
50	1, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49	rprmdvds 34051	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦))
51	27, 42, 50	mpjaodan 973	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
52	51	inegd 1590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
53	52	neqned 2963	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
54	53	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
55	54	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56		rprmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
58	1, 6, 56, 57, 10	isirred 20649	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
59	8, 55, 58	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  Ringcrg 20459  ∥_rcdsr 20584  Unitcui 20585  Irredcir 20586  RPrimecrpm 20662  IDomncidom 20945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-irred 20589  df-rprm 20663  df-nzr 20763  df-domn 20947  df-idom 20948

This theorem is used by:  rprmirredb  34064