Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rprmirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprmirred 33559
Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rprmirred.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q (𝜑𝑄𝑃)
rprmirred.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
rprmirred (𝜑𝑄𝐼)

Proof of Theorem rprmirred
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 rprmirred.p . . . 4 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3 rprmirred.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
4 rprmirred.q . . . 4 (𝜑𝑄𝑃)
51, 2, 3, 4rprmcl 33546 . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6 eqid 2737 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
72, 6, 3, 4rprmnunit 33549 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
85, 7eldifd 3962 . 2 (𝜑𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (∥r𝑅) = (∥r𝑅)
123ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
1312adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
142, 9, 3, 4rprmnz 33548 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ≠ (0g𝑅))
1514ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g𝑅))
16 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
1918eldifad 3963 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
2019adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄)
2221eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r𝑅)𝑦))
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r𝑅)𝑥)
241, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23rprmirredlem 33558 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
2518adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
2625eldifbd 3964 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
2724, 26pm2.21fal 1562 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑥) → ⊥)
2812adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
2914ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g𝑅))
3018adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
3116eldifad 3963 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄)
3428idomcringd 20727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
3519adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
361, 10, 34, 32, 35crngcomd 20252 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
3733, 36eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r𝑅)𝑥))
38 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r𝑅)𝑦)
391, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38rprmirredlem 33558 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
4016adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
4140eldifbd 3964 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
4239, 41pm2.21fal 1562 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r𝑅)𝑦) → ⊥)
434ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄𝑃)
443idomringd 20728 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
451, 11dvdsrid 20367 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r𝑅)𝑄)
4644, 5, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄(∥r𝑅)𝑄)
4746ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r𝑅)𝑄)
48 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄)
4947, 48breqtrrd 5171 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r𝑅)(𝑥(.r𝑅)𝑦))
501, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49rprmdvds 33547 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r𝑅)𝑥𝑄(∥r𝑅)𝑦))
5127, 42, 50mpjaodan 961 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
5251inegd 1560 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r𝑅)𝑦) = 𝑄)
5352neqned 2947 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
5453anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
5554ralrimivva 3202 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56 rprmirred.i . . 3 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57 eqid 2737 . . 3 ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
581, 6, 56, 57, 10isirred 20419 . 2 (𝑄𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
598, 55, 58sylanbrc 583 1 (𝜑𝑄𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wfal 1552  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  cdif 3948   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  rcdsr 20354  Unitcui 20355  Irredcir 20356  RPrimecrpm 20432  IDomncidom 20693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-irred 20359  df-rprm 20433  df-nzr 20513  df-domn 20695  df-idom 20696
This theorem is referenced by:  rprmirredb  33560
  Copyright terms: Public domain W3C validator