Theorem rprmirred 33538

Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirred.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
rprmirred	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rprmirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rprmirred.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmirred.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		rprmirred.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmcl 33525	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	2, 6, 3, 4	rprmnunit 33528	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
8	5, 7	eldifd 3973	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
14	2, 9, 3, 4	rprmnz 33527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
15	14	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
16		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
19	18	eldifad 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
22	21	eqcomd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥)
24	1, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23	rprmirredlem 33537	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
26	25	eldifbd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
27	24, 26	pm2.21fal 1558	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ⊥)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
29	14	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
30	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
31	16	eldifad 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
34	28	idomcringd 20743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
35	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
36	1, 10, 34, 32, 35	crngcomd 20272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
37	33, 36	eqtr3d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
38		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)
39	1, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38	rprmirredlem 33537	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
41	40	eldifbd 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
42	39, 41	pm2.21fal 1558	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ⊥)
43	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑃)
44	3	idomringd 20744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
45	1, 11	dvdsrid 20383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
46	44, 5, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
47	46	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
49	47, 48	breqtrrd 5175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
50	1, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49	rprmdvds 33526	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦))
51	27, 42, 50	mpjaodan 960	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
52	51	inegd 1556	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
53	52	neqned 2944	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
54	53	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
55	54	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56		rprmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
58	1, 6, 56, 57, 10	isirred 20435	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
59	8, 55, 58	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536  ⊥wfal 1548   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17485  Ringcrg 20250  ∥_rcdsr 20370  Unitcui 20371  Irredcir 20372  RPrimecrpm 20448  IDomncidom 20709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-irred 20375  df-rprm 20449  df-nzr 20529  df-domn 20711  df-idom 20712

This theorem is referenced by:  rprmirredb  33539