Theorem rprmirred 33475

Description: In an integral domain, ring primes are irreducible. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirred.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirred.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirred.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
rprmirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
rprmirred	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rprmirred

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rprmirred.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmirred.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4		rprmirred.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
5	1, 2, 3, 4	rprmcl 33462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
7	2, 6, 3, 4	rprmnunit 33465	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅))
8	5, 7	eldifd 3922	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
9		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12	3	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑅 ∈ IDomn)
14	2, 9, 3, 4	rprmnz 33464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
15	14	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
16		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
18		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
19	18	eldifad 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
21		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
22	21	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄 = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥)
24	1, 6, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 23	rprmirredlem 33474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
25	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
26	25	eldifbd 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ¬ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅))
27	24, 26	pm2.21fal 1562	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑥) → ⊥)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ IDomn)
29	14	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
30	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
31	16	eldifad 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
34	28	idomcringd 20612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑅 ∈ CRing)
35	19	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
36	1, 10, 34, 32, 35	crngcomd 20140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
37	33, 36	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄 = (𝑦(.r‘𝑅)𝑥))
38		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)
39	1, 6, 9, 10, 11, 28, 29, 30, 32, 37, 38	rprmirredlem 33474	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))
41	40	eldifbd 3924	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ¬ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
42	39, 41	pm2.21fal 1562	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) ∧ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦) → ⊥)
43	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄 ∈ 𝑃)
44	3	idomringd 20613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
45	1, 11	dvdsrid 20252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
46	44, 5, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
47	46	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)𝑄)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
49	47, 48	breqtrrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
50	1, 2, 11, 10, 12, 43, 31, 19, 49	rprmdvds 33463	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦))
51	27, 42, 50	mpjaodan 960	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄) → ⊥)
52	51	inegd 1560	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = 𝑄)
53	52	neqned 2932	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
54	53	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
55	54	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄)
56		rprmirred.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
57		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) = ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))
58	1, 6, 56, 57, 10	isirred 20304	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐼 ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))∀𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ (Unit‘𝑅))(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ≠ 𝑄))
59	8, 55, 58	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊥wfal 1552   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Ringcrg 20118  ∥_rcdsr 20239  Unitcui 20240  Irredcir 20241  RPrimecrpm 20317  IDomncidom 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-irred 20244  df-rprm 20318  df-nzr 20398  df-domn 20580  df-idom 20581

This theorem is referenced by:  rprmirredb  33476