Theorem fldidom 20852

Description: A field is an integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fldidom	⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem fldidom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngdomn 20832	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
2	1	anim1ci 627	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3		isfld 20823	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
4		isidom 20808	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5	2, 3, 4	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  CRingccrg 20315  Domncdomn 20776  IDomncidom 20777  DivRingcdr 20812  Fieldcfield 20813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-nzr 20595  df-rlreg 20778  df-domn 20779  df-idom 20780  df-drng 20814  df-field 20815

This theorem is referenced by:  znidomb  21679  ply1pid  26308  lgsqrlem1  27475  lgsqrlem2  27476  lgsqrlem3  27477  lgsqrlem4  27478  subrfld  33547  mxidlprmALT  33725  ply1dg3rt0irred  33818  m1pmeq  33819  fldextrspunlem1  34009  ply1annprmidl  34041  minplyirredlem  34044  minplyirred  34045  algextdeglem7  34057  algextdeglem8  34058  aks6d1c2lem4  42783  aks6d1c5lem2  42794  aks6d1c6lem1  42826  aks6d1c6lem3  42828  aks5lem7  42856