Theorem fldidom 20925

Description: A field is an integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fldidom	⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)

Proof of Theorem fldidom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngdomn 20899	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
2	1	anim1ci 628	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3		isfld 20890	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
4		isidom 20873	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
5	2, 3, 4	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  CRingccrg 20360  Domncdomn 20841  IDomncidom 20842  DivRingcdr 20877  Fieldcfield 20878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-nzr 20660  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-idom 20845  df-drng 20879  df-field 20880

This theorem is used by:  znidomb  21761  ply1pid  26391  lgsqrlem1  27561  lgsqrlem2  27562  lgsqrlem3  27563  lgsqrlem4  27564  subrfld  33671  mxidlprmALT  33845  ply1dg3rt0irred  33938  m1pmeq  33939  fldextrspunlem1  34129  ply1annprmidl  34161  minplyirredlem  34164  minplyirred  34165  algextdeglem7  34177  algextdeglem8  34178  aks6d1c2lem4  42952  aks6d1c5lem2  42963  aks6d1c6lem1  42995  aks6d1c6lem3  42997  aks5lem7  43025