Theorem dvdsruasso 33356

Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsruassoi.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20271	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
8	1, 2, 3	dvdsr 20271	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
11	8, 10	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
12	7, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13		dvdsruasso.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
14	13	idomringd 20637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		dvdsruassoi.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	1unit 20283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
19	18	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
20		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
21	20	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
23	14	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 16, 23, 24	ringlidmd 20181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
27	26	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g‘𝑅)))
28		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31	1, 3, 30	ringrz 20203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	23, 29, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	27, 28, 32	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = 𝑌)
34	25, 26, 33	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
35	19, 22, 34	rspcedvd 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36		isidom 20634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	13, 36	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
39	38	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
41		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
42	14	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	1, 3, 42, 40, 41	ringcld 20169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
44	1, 16	ringidcl 20174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	5	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
48		eldifsn 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
49	46, 47, 48	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
50	13	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
52	51	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
54	52, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
55	1, 3, 42, 40, 41, 46	ringassd 20166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
56	1, 3, 16, 42, 46	ringlidmd 20181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
57	54, 55, 56	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
58	1, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57	idomrcan 33229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r‘𝑅))
59	42, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	58, 59	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
61	15, 3, 1	unitmulclb 20290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈)))
62	61	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑈)
63	39, 40, 41, 60, 62	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
64		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
65	64	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
67	63, 66, 51	rspcedvd 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
68	35, 67	pm2.61dane 3012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
69	68	r19.29an 3137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
70	69	an32s 652	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
71	70	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
72	71	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
73	72	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
74	73	r19.29an 3137	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
75	74	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
76	12, 75	sylbida 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77		dvdsrspss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
78	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
79	9	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
80	14	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
82		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
83	1, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82	dvdsruassoi 33355	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
84	83	r19.29an 3137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
85	76, 84	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  CRingccrg 20143  ∥_rcdsr 20263  Unitcui 20264  Domncdomn 20601  IDomncidom 20602  RSpancrsp 21117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-domn 20604  df-idom 20605

This theorem is referenced by:  dvdsruasso2  33357  rprmasso3  33498