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Theorem dvdsruasso 33414
Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrspss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d = (∥r𝑅)
dvdsrspss.x (𝜑𝑋𝐵)
dvdsrspss.y (𝜑𝑌𝐵)
dvdsruassoi.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2 · = (.r𝑅)
dvdsruasso.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
dvdsruasso (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrspss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsrspss.d . . . . . 6 = (∥r𝑅)
3 dvdsruassoi.2 . . . . . 6 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 20363 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5 dvdsrspss.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
65biantrurd 532 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
74, 6bitr4id 290 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
81, 2, 3dvdsr 20363 . . . . 5 (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9 dvdsrspss.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
109biantrurd 532 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
118, 10bitr4id 290 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑋 ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
127, 11anbi12d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13 dvdsruasso.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
1413idomringd 20729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 dvdsruassoi.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1715, 161unit 20375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
1918ad5antr 734 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
20 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (1r𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
2120eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (1r𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
2314ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
245ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑋𝐵)
251, 3, 16, 23, 24ringlidmd 20270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑋 = (0g𝑅))
2726oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g𝑅)))
28 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑡𝐵)
30 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
311, 3, 30ringrz 20292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡𝐵) → (𝑡 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3223, 29, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3327, 28, 323eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (0g𝑅) = 𝑌)
3425, 26, 333eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
3519, 22, 34rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36 isidom 20726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3713, 36sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3938ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑠𝐵)
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑡𝐵)
4214ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
431, 3, 42, 40, 41ringcld 20258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
441, 16ringidcl 20263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
465ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋𝐵)
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g𝑅))
48 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑅)))
4946, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
5013ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
5251oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
5452, 53eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
551, 3, 42, 40, 41, 46ringassd 20255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
561, 3, 16, 42, 46ringlidmd 20270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
5754, 55, 563eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
581, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57idomrcan 33283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r𝑅))
5942, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
6058, 59eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
6115, 3, 1unitmulclb 20382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠𝐵𝑡𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠𝑈𝑡𝑈)))
6261simplbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡𝑈)
6339, 40, 41, 60, 62syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑡𝑈)
64 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
6564eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
6763, 66, 51rspcedvd 3623 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
6835, 67pm2.61dane 3028 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
6968r19.29an 3157 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7069an32s 652 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7170ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
7271an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
7372imp 406 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7473r19.29an 3157 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7574anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7612, 75sylbida 592 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑋)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77 dvdsrspss.k . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
785ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
799ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌𝐵)
8014ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢𝑈)
82 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
831, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82dvdsruassoi 33413 . . 3 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))
8483r19.29an 3157 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))
8576, 84impbida 800 1 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wrex 3069  cdif 3947  {csn 4625   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232  rcdsr 20355  Unitcui 20356  Domncdomn 20693  IDomncidom 20694  RSpancrsp 21218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-nzr 20514  df-domn 20696  df-idom 20697
This theorem is referenced by:  dvdsruasso2  33415  rprmasso3  33556
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