Theorem dvdsruasso 33638

Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsruassoi.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20440	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
8	1, 2, 3	dvdsr 20440	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	biantrurd 541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
11	8, 10	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
12	7, 11	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13		dvdsruasso.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
14	13	idomringd 20808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		dvdsruassoi.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	1unit 20452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
19	18	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
20		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
21	20	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
23	14	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 16, 23, 24	ringlidmd 20351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
27	26	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g‘𝑅)))
28		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
30		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31	1, 3, 30	ringrz 20373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	23, 29, 31	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	27, 28, 32	3eqtr3rd 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = 𝑌)
34	25, 26, 33	3eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
35	19, 22, 34	rspcedvd 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36		isidom 20805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	13, 36	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
38	37	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
39	38	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40		simp-5r 797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
41		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
42	14	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	1, 3, 42, 40, 41	ringcld 20338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
44	1, 16	ringidcl 20344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	5	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
48		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
49	46, 47, 48	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
50	13	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
52	51	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
54	52, 53	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
55	1, 3, 42, 40, 41, 46	ringassd 20335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
56	1, 3, 16, 42, 46	ringlidmd 20351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
57	54, 55, 56	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
58	1, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57	idomrcan 33539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r‘𝑅))
59	42, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	58, 59	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
61	15, 3, 1	unitmulclb 20459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈)))
62	61	simplbda 504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑈)
63	39, 40, 41, 60, 62	syl31anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
64		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
65	64	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
66	65	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
67	63, 66, 51	rspcedvd 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
68	35, 67	pm2.61dane 3051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
69	68	r19.29an 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
70	69	an32s 664	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
71	70	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
72	71	an32s 664	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
73	72	imp 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
74	73	r19.29an 3175	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
75	74	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
76	12, 75	sylbida 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77		dvdsrspss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
78	5	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
79	9	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
80	14	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
82		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
83	1, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82	dvdsruassoi 33637	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
84	83	r19.29an 3175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
85	76, 84	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312  ∥_rcdsr 20432  Unitcui 20433  Domncdomn 20773  IDomncidom 20774  RSpancrsp 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-nzr 20592  df-domn 20776  df-idom 20777

This theorem is referenced by:  dvdsruasso2  33639  rprmasso3  33758