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Theorem dvdsruasso 33393
Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrspss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d = (∥r𝑅)
dvdsrspss.x (𝜑𝑋𝐵)
dvdsrspss.y (𝜑𝑌𝐵)
dvdsruassoi.1 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2 · = (.r𝑅)
dvdsruasso.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
dvdsruasso (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢,   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso
Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrspss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvdsrspss.d . . . . . 6 = (∥r𝑅)
3 dvdsruassoi.2 . . . . . 6 · = (.r𝑅)
41, 2, 3dvdsr 20379 . . . . 5 (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5 dvdsrspss.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
65biantrurd 532 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
74, 6bitr4id 290 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌 ↔ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
81, 2, 3dvdsr 20379 . . . . 5 (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9 dvdsrspss.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
109biantrurd 532 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌𝐵 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
118, 10bitr4id 290 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 𝑋 ↔ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
127, 11anbi12d 632 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13 dvdsruasso.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
1413idomringd 20745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 dvdsruassoi.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1715, 161unit 20391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
1918ad5antr 734 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
20 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (1r𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
2120eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (1r𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
2314ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
245ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑋𝐵)
251, 3, 16, 23, 24ringlidmd 20286 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑋 = (0g𝑅))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g𝑅)))
28 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → 𝑡𝐵)
30 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
311, 3, 30ringrz 20308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡𝐵) → (𝑡 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3223, 29, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (𝑡 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3327, 28, 323eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → (0g𝑅) = 𝑌)
3425, 26, 333eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
3519, 22, 34rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g𝑅)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36 isidom 20742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3713, 36sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3938ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑠𝐵)
41 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑡𝐵)
4214ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
431, 3, 42, 40, 41ringcld 20277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
441, 16ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
465ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋𝐵)
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g𝑅))
48 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑋𝐵𝑋 ≠ (0g𝑅)))
4946, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
5013ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
5251oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
5452, 53eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
551, 3, 42, 40, 41, 46ringassd 20275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
561, 3, 16, 42, 46ringlidmd 20286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
5754, 55, 563eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑋))
581, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57idomrcan 33263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r𝑅))
5942, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
6058, 59eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
6115, 3, 1unitmulclb 20398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠𝐵𝑡𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠𝑈𝑡𝑈)))
6261simplbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠𝐵𝑡𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡𝑈)
6339, 40, 41, 60, 62syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → 𝑡𝑈)
64 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
6564eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
6763, 66, 51rspcedvd 3624 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
6835, 67pm2.61dane 3027 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
6968r19.29an 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7069an32s 652 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠𝐵) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7170ex 412 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠𝐵) ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
7271an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
7372imp 406 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7473r19.29an 3156 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7574anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (∃𝑡𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
7612, 75sylbida 592 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 𝑌𝑌 𝑋)) → ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77 dvdsrspss.k . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
785ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋𝐵)
799ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌𝐵)
8014ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢𝑈)
82 simpr 484 . . . 4 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
831, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82dvdsruassoi 33392 . . 3 (((𝜑𝑢𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))
8483r19.29an 3156 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 𝑌𝑌 𝑋))
8576, 84impbida 801 1 (𝜑 → ((𝑋 𝑌𝑌 𝑋) ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  rcdsr 20371  Unitcui 20372  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  RSpancrsp 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-domn 20712  df-idom 20713
This theorem is referenced by:  dvdsruasso2  33394  rprmasso3  33535
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