Theorem dvdsruasso 33378

Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsruassoi.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20388	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
8	1, 2, 3	dvdsr 20388	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
11	8, 10	bitr4id 290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
12	7, 11	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13		dvdsruasso.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
14	13	idomringd 20750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		dvdsruassoi.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	1unit 20400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
18	14, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
19	18	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
20		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
21	20	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
23	14	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 16, 23, 24	ringlidmd 20295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
27	26	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g‘𝑅)))
28		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
30		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31	1, 3, 30	ringrz 20317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	23, 29, 31	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	27, 28, 32	3eqtr3rd 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = 𝑌)
34	25, 26, 33	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
35	19, 22, 34	rspcedvd 3637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36		isidom 20747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	13, 36	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
39	38	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
41		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
42	14	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	1, 3, 42, 40, 41	ringcld 20286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
44	1, 16	ringidcl 20289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	5	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
48		eldifsn 4811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
49	46, 47, 48	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
50	13	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
52	51	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
54	52, 53	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
55	1, 3, 42, 40, 41, 46	ringassd 20284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
56	1, 3, 16, 42, 46	ringlidmd 20295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
57	54, 55, 56	3eqtr4d 2790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
58	1, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57	idomrcan 33248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r‘𝑅))
59	42, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	58, 59	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
61	15, 3, 1	unitmulclb 20407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈)))
62	61	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑈)
63	39, 40, 41, 60, 62	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
64		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
65	64	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
67	63, 66, 51	rspcedvd 3637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
68	35, 67	pm2.61dane 3035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
69	68	r19.29an 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
70	69	an32s 651	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
71	70	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
72	71	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
73	72	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
74	73	r19.29an 3164	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
75	74	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
76	12, 75	sylbida 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77		dvdsrspss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
78	5	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
79	9	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
80	14	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
82		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
83	1, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82	dvdsruassoi 33377	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
84	83	r19.29an 3164	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
85	76, 84	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  ∥_rcdsr 20380  Unitcui 20381  Domncdomn 20714  IDomncidom 20715  RSpancrsp 21240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-nzr 20539  df-domn 20717  df-idom 20718

This theorem is referenced by:  dvdsruasso2  33379  rprmasso3  33520