Theorem dvdsruasso 33818

Description: Two elements 𝑋 and 𝑌 of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrspss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsrspss.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
dvdsrspss.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrspss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dvdsrspss.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
dvdsruassoi.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvdsruassoi.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
dvdsruasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)

Assertion

Ref	Expression
dvdsruasso	⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑢, ·   𝑢, ∥   𝑢,𝐵   𝑢,𝑅   𝑢,𝑈   𝑢,𝑋   𝑢,𝑌   𝜑,𝑢

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑢)

Proof of Theorem dvdsruasso

Dummy variables 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrspss.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		dvdsrspss.d	. . . . . 6 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
3		dvdsruassoi.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	dvdsr 20503	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
5		dvdsrspss.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)))
7	4, 6	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
8	1, 2, 3	dvdsr 20503	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
9		dvdsrspss.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋 ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
11	8, 10	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∥ 𝑋 ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋))
12	7, 11	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)))
13		dvdsruasso.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
14	13	idomringd 20889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		dvdsruassoi.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	15, 16	1unit 20515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
18	14, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
19	18	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
20		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → (𝑢 · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
21	20	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (1r‘𝑅) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = (1r‘𝑅)) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌))
23	14	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 16, 23, 24	ringlidmd 20413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
27	26	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = (𝑡 · (0g‘𝑅)))
28		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
29		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
30		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
31	1, 3, 30	ringrz 20436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	23, 29, 31	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (𝑡 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	27, 28, 32	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) = 𝑌)
34	25, 26, 33	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑌)
35	19, 22, 34	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
36		isidom 20886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
37	13, 36	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
38	37	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
39	38	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
40		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝐵)
41		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝐵)
42	14	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
43	1, 3, 42, 40, 41	ringcld 20396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝐵)
44	1, 16	ringidcl 20406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	5	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
48		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)))
49	46, 47, 48	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
50	13	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ IDomn)
51		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑡 · 𝑋) = 𝑌)
52	51	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = (𝑠 · 𝑌))
53		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)
54	52, 53	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)) = 𝑋)
55	1, 3, 42, 40, 41, 46	ringassd 20397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑋)))
56	1, 3, 16, 42, 46	ringlidmd 20413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
57	54, 55, 56	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑠 · 𝑡) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
58	1, 30, 3, 43, 45, 49, 50, 57	idomrcan 33722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) = (1r‘𝑅))
59	42, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	58, 59	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈)
61	15, 3, 1	unitmulclb 20522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈 ↔ (𝑠 ∈ 𝑈 ∧ 𝑡 ∈ 𝑈)))
62	61	simplbda 505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑈) → 𝑡 ∈ 𝑈)
63	39, 40, 41, 60, 62	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
64		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → (𝑢 · 𝑋) = (𝑡 · 𝑋))
65	64	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑡 → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) ∧ 𝑢 = 𝑡) → ((𝑢 · 𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌))
67	63, 66, 51	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑅)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
68	35, 67	pm2.61dane 3042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
69	68	r19.29an 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
70	69	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
71	70	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
72	71	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → ((𝑠 · 𝑌) = 𝑋 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))
73	72	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
74	73	r19.29an 3166	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
75	74	anasss 472	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡 · 𝑋) = 𝑌 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑠 · 𝑌) = 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
76	12, 75	sylbida 604	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋)) → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
77		dvdsrspss.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
78	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
79	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
80	14	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ Ring)
81		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑈)
82		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑢 · 𝑋) = 𝑌)
83	1, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82	dvdsruassoi 33817	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑈) ∧ (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
84	83	r19.29an 3166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋))
85	76, 84	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑢 · 𝑋) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  ∥_rcdsr 20495  Unitcui 20496  Domncdomn 20854  IDomncidom 20855  RSpancrsp 21394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-nzr 20673  df-domn 20857  df-idom 20858

This theorem is used by:  dvdsruasso2  33819  rprmasso3  33937