Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvdsruasso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsruasso 32996
Description: Two elements 𝑋 and π‘Œ of a ring 𝑅 are associates, i.e. each divides the other, iff they are unit multiples of each other. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrspss.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
dvdsrspss.k 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
dvdsrspss.d βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
dvdsrspss.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
dvdsrspss.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
dvdsruassoi.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
dvdsruassoi.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
dvdsruasso.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
Assertion
Ref Expression
dvdsruasso (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑒, Β·   𝑒, βˆ₯   𝑒,𝐡   𝑒,𝑅   𝑒,π‘ˆ   𝑒,𝑋   𝑒,π‘Œ   πœ‘,𝑒
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑒)

Proof of Theorem dvdsruasso
Dummy variables 𝑠 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsrspss.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 dvdsrspss.d . . . . . 6 βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
3 dvdsruassoi.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
41, 2, 3dvdsr 20264 . . . . 5 (𝑋 βˆ₯ π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ))
5 dvdsrspss.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
65biantrurd 532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ)))
74, 6bitr4id 290 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ₯ π‘Œ ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ))
81, 2, 3dvdsr 20264 . . . . 5 (π‘Œ βˆ₯ 𝑋 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋))
9 dvdsrspss.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
109biantrurd 532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋 ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋)))
118, 10bitr4id 290 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ₯ 𝑋 ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋))
127, 11anbi12d 630 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋) ↔ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋)))
13 dvdsruasso.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
1413idomringd 21218 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 dvdsruassoi.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
16 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
1715, 161unit 20276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
1918ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
20 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (1rβ€˜π‘…) β†’ (𝑒 Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋))
2120eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (1rβ€˜π‘…) β†’ ((𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = π‘Œ))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑒 = (1rβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = π‘Œ))
2314ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
245ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
251, 3, 16, 23, 24ringlidmd 20171 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…))
2726oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) = (𝑑 Β· (0gβ€˜π‘…)))
28 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ)
29 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
311, 3, 30ringrz 20193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 Β· (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3223, 29, 31syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 Β· (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3327, 28, 323eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = π‘Œ)
3425, 26, 333eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = π‘Œ)
3519, 22, 34rspcedvd 3608 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
36 isidom 21216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3713, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
3938ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
40 simp-5r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
41 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
425ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…))
44 eldifsn 4785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)))
4542, 43, 44sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑋 ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4614ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
471, 3, 46, 40, 41ringcld 20162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) ∈ 𝐡)
481, 16ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
5013ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
51 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ)
5251oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑋)) = (𝑠 Β· π‘Œ))
53 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋)
5452, 53eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑋)) = 𝑋)
551, 3, 46, 40, 41, 42ringassd 20161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑑) Β· 𝑋) = (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑋)))
561, 3, 16, 46, 42ringlidmd 20171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
5754, 55, 563eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑑) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋))
581, 30, 3, 45, 47, 49, 50, 57idomrcan 32881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (1rβ€˜π‘…))
5946, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘ˆ)
6058, 59eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) ∈ π‘ˆ)
6115, 3, 1unitmulclb 20283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑠 Β· 𝑑) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑠 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ)))
6261simplbda 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· 𝑑) ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
6339, 40, 41, 60, 62syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
64 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝑒 Β· 𝑋) = (𝑑 Β· 𝑋))
6564eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) ∧ 𝑒 = 𝑑) β†’ ((𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ ↔ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ))
6763, 66, 51rspcedvd 3608 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
6835, 67pm2.61dane 3023 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) ∧ (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
6968r19.29an 3152 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
7069an32s 649 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
7170ex 412 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ ((𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ))
7271an32s 649 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ))
7372imp 406 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
7473r19.29an 3152 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
7574anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐡 (𝑑 Β· 𝑋) = π‘Œ ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐡 (𝑠 Β· π‘Œ) = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
7612, 75sylbida 591 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
77 dvdsrspss.k . . . 4 𝐾 = (RSpanβ€˜π‘…)
785ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
799ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
8014ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
81 simplr 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ 𝑒 ∈ π‘ˆ)
82 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ)
831, 77, 2, 78, 79, 15, 3, 80, 81, 82dvdsruassoi 32995 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋))
8483r19.29an 3152 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ) β†’ (𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋))
8576, 84impbida 798 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ₯ π‘Œ ∧ π‘Œ βˆ₯ 𝑋) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (𝑒 Β· 𝑋) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  βˆ₯rcdsr 20256  Unitcui 20257  RSpancrsp 21066  Domncdomn 21190  IDomncidom 21191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-domn 21194  df-idom 21195
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator