Theorem rprmasso 33462

Description: In an integral domain, the associate of a prime is a prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rprmasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
3		rprmasso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5		rprmasso.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		rprmasso.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		rprmasso.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	3, 6, 7, 8	rprmcl 33455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	3, 5	dvdsrcl 20250	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	2, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7	idomringd 20613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3, 4, 5, 9, 11, 12	rspsnasso 33325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})))
14	1, 2, 13	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
15	7	idomcringd 20612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	8, 6	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
17	4, 15, 16	rsprprmprmidl 33459	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	14, 17	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	6, 19, 7, 8	rprmnz 33457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
21	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ∥ 𝑋)
25	23, 24	eqbrtrrd 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∥ 𝑋)
26	3, 5, 19	dvdsr02 20257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = (0g‘𝑅)))
27	26	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅) ∥ 𝑋) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
28	21, 22, 25, 27	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
29	20, 28	mteqand 3016	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
30	19, 3, 6, 4, 7, 11, 29	rsprprmprmidlb 33460	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Ringcrg 20118  ∥_rcdsr 20239  RPrimecrpm 20317  IDomncidom 20578  RSpancrsp 21114  PrmIdealcprmidl 33372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-rprm 20318  df-subrg 20455  df-idom 20581  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-prmidl 33373

This theorem is referenced by:  unitmulrprm  33465