Theorem rprmasso 33759

Description: In an integral domain, the associate of a prime is a prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rprmasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
3		rprmasso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5		rprmasso.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		rprmasso.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		rprmasso.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	3, 6, 7, 8	rprmcl 33752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	3, 5	dvdsrcl 20446	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	2, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7	idomringd 20811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3, 4, 5, 9, 11, 12	rspsnasso 33644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})))
14	1, 2, 13	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
15	7	idomcringd 20810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	8, 6	eleqtrdi 2879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
17	4, 15, 16	rsprprmprmidl 33756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	14, 17	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	6, 19, 7, 8	rprmnz 33754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
21	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	9	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
24	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ∥ 𝑋)
25	23, 24	eqbrtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∥ 𝑋)
26	3, 5, 19	dvdsr02 20453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = (0g‘𝑅)))
27	26	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅) ∥ 𝑋) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
28	21, 22, 25, 27	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
29	20, 28	mteqand 3055	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
30	19, 3, 6, 4, 15, 11, 29	rsprprmprmidlb 33757	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
31	18, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Ringcrg 20314  ∥_rcdsr 20435  RPrimecrpm 20513  IDomncidom 20777  RSpancrsp 21308  PrmIdealcprmidl 21430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-rprm 20514  df-subrg 20654  df-idom 20780  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-lidl 21309  df-rsp 21310  df-prmidl 21431

This theorem is referenced by:  unitmulrprm  33762