Theorem rprmasso 33618

Description: In an integral domain, the associate of a prime is a prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rprmasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
3		rprmasso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5		rprmasso.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		rprmasso.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		rprmasso.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	3, 6, 7, 8	rprmcl 33611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	3, 5	dvdsrcl 20313	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	2, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7	idomringd 20673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3, 4, 5, 9, 11, 12	rspsnasso 33481	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})))
14	1, 2, 13	mpbi2and 713	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
15	7	idomcringd 20672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	8, 6	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
17	4, 15, 16	rsprprmprmidl 33615	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	14, 17	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	6, 19, 7, 8	rprmnz 33613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
21	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ∥ 𝑋)
25	23, 24	eqbrtrrd 5124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∥ 𝑋)
26	3, 5, 19	dvdsr02 20320	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = (0g‘𝑅)))
27	26	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅) ∥ 𝑋) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
28	21, 22, 25, 27	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
29	20, 28	mteqand 3024	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
30	19, 3, 6, 4, 7, 11, 29	rsprprmprmidlb 33616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  Ringcrg 20180  ∥_rcdsr 20302  RPrimecrpm 20380  IDomncidom 20638  RSpancrsp 21174  PrmIdealcprmidl 33528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-rprm 20381  df-subrg 20515  df-idom 20641  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-prmidl 33529

This theorem is referenced by:  unitmulrprm  33621