Theorem rprmasso 33606

Description: In an integral domain, the associate of a prime is a prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rprmasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
3		rprmasso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5		rprmasso.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		rprmasso.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		rprmasso.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	3, 6, 7, 8	rprmcl 33599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	3, 5	dvdsrcl 20301	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	2, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7	idomringd 20661	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3, 4, 5, 9, 11, 12	rspsnasso 33469	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})))
14	1, 2, 13	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
15	7	idomcringd 20660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	8, 6	eleqtrdi 2846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
17	4, 15, 16	rsprprmprmidl 33603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	14, 17	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	6, 19, 7, 8	rprmnz 33601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
21	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
24	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ∥ 𝑋)
25	23, 24	eqbrtrrd 5122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∥ 𝑋)
26	3, 5, 19	dvdsr02 20308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = (0g‘𝑅)))
27	26	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅) ∥ 𝑋) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
28	21, 22, 25, 27	syl21anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
29	20, 28	mteqand 3023	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
30	19, 3, 6, 4, 7, 11, 29	rsprprmprmidlb 33604	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
31	18, 30	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4580   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168  ∥_rcdsr 20290  RPrimecrpm 20368  IDomncidom 20626  RSpancrsp 21162  PrmIdealcprmidl 33516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rprm 20369  df-subrg 20503  df-idom 20629  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-prmidl 33517

This theorem is referenced by:  unitmulrprm  33609