Theorem rprmasso 34110

Description: In an integral domain, the associate of a prime is a prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Proof of Theorem rprmasso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
2		rprmasso.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)
3		rprmasso.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
5		rprmasso.d	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
6		rprmasso.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
7		rprmasso.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
8		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	3, 6, 7, 8	rprmcl 34103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	3, 5	dvdsrcl 20607	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∥ 𝑋 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11	2, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	7	idomringd 20991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	3, 4, 5, 9, 11, 12	rspsnasso 33996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∥ 𝑌 ∧ 𝑌 ∥ 𝑋) ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋})))
14	1, 2, 13	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}))
15	7	idomcringd 20990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	8, 6	eleqtrdi 2873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (RPrime‘𝑅))
17	4, 15, 16	rsprprmprmidl 34107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑋}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
18	14, 17	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
19		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
20	6, 19, 7, 8	rprmnz 34105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ (0g‘𝑅))
21	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
24	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ∥ 𝑋)
25	23, 24	eqbrtrrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∥ 𝑋)
26	3, 5, 19	dvdsr02 20614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅) ∥ 𝑋 ↔ 𝑋 = (0g‘𝑅)))
27	26	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (0g‘𝑅) ∥ 𝑋) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
28	21, 22, 25, 27	syl21anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = (0g‘𝑅)) → 𝑋 = (0g‘𝑅))
29	20, 28	mteqand 3049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
30	19, 3, 6, 4, 15, 11, 29	rsprprmprmidlb 34108	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝑃 ↔ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑌}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
31	18, 30	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {csn 4587   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  Ringcrg 20471  ∥_rcdsr 20596  RPrimecrpm 20674  IDomncidom 20957  RSpancrsp 21497  PrmIdealcprmidl 21628

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-rprm 20675  df-subrg 20834  df-idom 20960  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-prmidl 21629

This theorem is used by:  unitmulrprm  34113