Theorem rprmirredb 34120

Description: In a principal ideal domain, the converse of rprmirred 34119 holds, i.e. irreducible elements are prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirredb.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirredb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredb	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Proof of Theorem rprmirredb

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ PID)
3		rprmirredb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	3, 7	irrednu 20670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
9	8	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
10		df-pid 21676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
11	1, 10	eleqtrdi 2874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
12	11	elin1d 4104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	idomringd 20994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝐼)
16		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 16	irredn0 20668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
18	14, 15, 17	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
19		nelsn 4627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ≠ (0g‘𝑅) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
21		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})
22		nelun 33166	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) → (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)}))
24	9, 20, 23	sylanbrc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}))
25	6, 24	eldifd 4053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
26		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
28	14	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
29	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
30	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥)
32	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
33	32	biimpa 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)
34	12	idomcringd 20993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
35	34	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
36	3	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
37	36	bilani 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
38		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})
39	6	snssd 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅))
40		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
41	26, 4, 40	rspcl 21533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
42	14, 39, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	4, 26, 16, 38, 2, 6, 18, 42	mxidlirred 34053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅)))
44	37, 43	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
45	44	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
46		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
47	46	mxidlprm 34051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
48	35, 45, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
49		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
50		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
51		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
52	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
53	51, 52	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
55	4, 54	prmidlc 21644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
56	35, 48, 49, 50, 53, 55	syl23anc 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
57	31, 33, 56	orim12da 980	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
58	57	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
59	58	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
60	59	ralrimivva 3209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
61	4, 7, 16, 27, 54	isrprm 34105	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ PID → (𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))))
62	61	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PID ∧ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
63	2, 25, 60, 62	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
64		rprmirredb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
65	63, 64	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝑃)
66		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
67	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
68	64, 3, 66, 67	rprmirred 34119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐼)
69	65, 68	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
70	69	eqrdv 2761	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  0_gc0g 17625  LSSumclsm 19863  mulGrpcmgp 20375  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  ∥_rcdsr 20599  Unitcui 20600  Irredcir 20601  RPrimecrpm 20677  IDomncidom 20960  LIdealclidl 21499  RSpancrsp 21500  PrmIdealcprmidl 21631  LPIRclpir 21660  PIDcpid 21675  MaxIdealcmxidl 34040

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-cring 20477  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-irred 20604  df-invr 20633  df-rprm 20678  df-nzr 20778  df-subrg 20837  df-domn 20962  df-idom 20963  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-rsp 21502  df-prmidl 21632  df-lpidl 21661  df-lpir 21662  df-pid 21676  df-mxidl 34041

This theorem is used by:  dfprm3  34141