Theorem rprmirredb 33631

Description: In a principal ideal domain, the converse of rprmirred 33630 holds, i.e. irreducible elements are prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirredb.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirredb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredb	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Proof of Theorem rprmirredb

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ PID)
3		rprmirredb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	3, 7	irrednu 20378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
10		df-pid 21309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
11	1, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
12	11	elin1d 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	idomringd 20678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 16	irredn0 20376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
18	14, 15, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
19		nelsn 4625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ≠ (0g‘𝑅) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})
22		nelun 32606	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) → (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)}))
24	9, 20, 23	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}))
25	6, 24	eldifd 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
28	14	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
29	6	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
30	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥)
32	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)
34	12	idomcringd 20677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
35	34	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
36	3	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})
40	6	snssd 4767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
42	26, 4, 41	rspcl 21207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	14, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	4, 26, 16, 39, 2, 6, 18, 43	mxidlirred 33571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅)))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
46	45	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
48	47	mxidlprm 33569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
49	35, 46, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
51		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
53	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))
55		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	4, 55	prmidlc 33547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
57	35, 49, 50, 51, 54, 56	syl23anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
58	31, 33, 57	orim12da 32550	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
59	58	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
60	59	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
61	60	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
62	4, 7, 16, 27, 55	isrprm 33616	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ PID → (𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))))
63	62	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PID ∧ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
64	2, 25, 61, 63	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
65		rprmirredb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
66	64, 65	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝑃)
67		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
68	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
69	65, 3, 67, 68	rprmirred 33630	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐼)
70	66, 69	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
71	70	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192  0_gc0g 17373  LSSumclsm 19580  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  ∥_rcdsr 20307  Unitcui 20308  Irredcir 20309  RPrimecrpm 20385  IDomncidom 20643  LIdealclidl 21178  RSpancrsp 21179  LPIRclpir 21293  PIDcpid 21308  PrmIdealcprmidl 33534  MaxIdealcmxidl 33558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-cntz 19263  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-irred 20312  df-invr 20341  df-rprm 20386  df-nzr 20463  df-subrg 20520  df-domn 20645  df-idom 20646  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-lidl 21180  df-rsp 21181  df-lpidl 21294  df-lpir 21295  df-pid 21309  df-prmidl 33535  df-mxidl 33559

This theorem is referenced by:  dfprm3  33652