Theorem rprmirredb 33611

Description: In a principal ideal domain, the converse of rprmirred 33610 holds, i.e. irreducible elements are prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirredb.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirredb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredb	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Proof of Theorem rprmirredb

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ PID)
3		rprmirredb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	3, 7	irrednu 20400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
10		df-pid 21331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
11	1, 10	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
12	11	elin1d 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	idomringd 20700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 16	irredn0 20398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
18	14, 15, 17	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
19		nelsn 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ≠ (0g‘𝑅) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})
22		nelun 32602	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) → (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)}))
24	9, 20, 23	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}))
25	6, 24	eldifd 3901	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
28	14	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
29	6	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
30	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥)
32	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)
34	12	idomcringd 20699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
35	34	ad4antr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
36	3	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
39		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})
40	6	snssd 4753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
42	26, 4, 41	rspcl 21229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	14, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	4, 26, 16, 39, 2, 6, 18, 43	mxidlirred 33551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅)))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
46	45	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
47		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
48	47	mxidlprm 33549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
49	35, 46, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
51		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
53	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))
55		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	4, 55	prmidlc 33527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
57	35, 49, 50, 51, 54, 56	syl23anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
58	31, 33, 57	orim12da 32546	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
59	58	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
60	59	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
61	60	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
62	4, 7, 16, 27, 55	isrprm 33596	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ PID → (𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))))
63	62	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PID ∧ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
64	2, 25, 61, 63	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
65		rprmirredb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
66	64, 65	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝑃)
67		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
68	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
69	65, 3, 67, 68	rprmirred 33610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐼)
70	66, 69	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
71	70	eqrdv 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  LSSumclsm 19604  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  ∥_rcdsr 20329  Unitcui 20330  Irredcir 20331  RPrimecrpm 20407  IDomncidom 20665  LIdealclidl 21200  RSpancrsp 21201  LPIRclpir 21315  PIDcpid 21330  PrmIdealcprmidl 33514  MaxIdealcmxidl 33538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-lsm 19606  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-irred 20334  df-invr 20363  df-rprm 20408  df-nzr 20485  df-subrg 20542  df-domn 20667  df-idom 20668  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-rsp 21203  df-lpidl 21316  df-lpir 21317  df-pid 21331  df-prmidl 33515  df-mxidl 33539

This theorem is referenced by:  dfprm3  33632