Theorem rprmirredb 33552

Description: In a principal ideal domain, the converse of rprmirred 33551 holds, i.e. irreducible elements are prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirredb.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirredb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredb	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Proof of Theorem rprmirredb

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ PID)
3		rprmirredb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	3, 7	irrednu 20390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
10		df-pid 21303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
11	1, 10	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
12	11	elin1d 4184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	idomringd 20693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝐼)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 16	irredn0 20388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
19		nelsn 4647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ≠ (0g‘𝑅) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
21		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})
22		nelun 32499	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) → (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)}))
24	9, 20, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}))
25	6, 24	eldifd 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
28	14	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
29	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
30	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥)
32	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)
34	12	idomcringd 20692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
35	34	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
36	3	eleq2i 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})
40	6	snssd 4790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
42	26, 4, 41	rspcl 21201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	14, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	4, 26, 16, 39, 2, 6, 18, 43	mxidlirred 33492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅)))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
46	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
47		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
48	47	mxidlprm 33490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
49	35, 46, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
51		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
53	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))
55		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	4, 55	prmidlc 33468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
57	35, 49, 50, 51, 54, 56	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
58	31, 33, 57	orim12da 32444	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
59	58	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
60	59	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
61	60	ralrimivva 3188	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
62	4, 7, 16, 27, 55	isrprm 33537	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ PID → (𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))))
63	62	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PID ∧ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
64	2, 25, 61, 63	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
65		rprmirredb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
66	64, 65	eleqtrrdi 2846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝑃)
67		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
68	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
69	65, 3, 67, 68	rprmirred 33551	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐼)
70	66, 69	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
71	70	eqrdv 2734	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  LSSumclsm 19620  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  ∥_rcdsr 20319  Unitcui 20320  Irredcir 20321  RPrimecrpm 20397  IDomncidom 20658  LIdealclidl 21172  RSpancrsp 21173  LPIRclpir 21287  PIDcpid 21302  PrmIdealcprmidl 33455  MaxIdealcmxidl 33479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-irred 20324  df-invr 20353  df-rprm 20398  df-nzr 20478  df-subrg 20535  df-domn 20660  df-idom 20661  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-lpidl 21288  df-lpir 21289  df-pid 21303  df-prmidl 33456  df-mxidl 33480

This theorem is referenced by:  dfprm3  33573