Theorem rprmirredb 33497

Description: In a principal ideal domain, the converse of rprmirred 33496 holds, i.e. irreducible elements are prime. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmirredb.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmirredb.i	⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
rprmirredb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)

Assertion

Ref	Expression
rprmirredb	⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Proof of Theorem rprmirredb

Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmirredb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ PID)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ PID)
3		rprmirredb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Irred‘𝑅)
4		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	3, 4	irredcl 20342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
6	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
7		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8	3, 7	irrednu 20343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅))
10		df-pid 21274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
11	1, 10	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (IDomn ∩ LPIR))
12	11	elin1d 4151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
13	12	idomringd 20643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
15		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝐼)
16		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 16	irredn0 20341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
18	14, 15, 17	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ≠ (0g‘𝑅))
19		nelsn 4616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ≠ (0g‘𝑅) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})
21		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})
22		nelun 32493	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) = ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) → (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)})))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}) ↔ (¬ 𝑝 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑝 ∈ {(0g‘𝑅)}))
24	9, 20, 23	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ¬ 𝑝 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)}))
25	6, 24	eldifd 3908	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})))
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
27		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
28	14	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ Ring)
29	6	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝑅))
30	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑥)
32	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
33	32	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})) → 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)
34	12	idomcringd 20642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
35	34	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑅 ∈ CRing)
36	3	eleq2i 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐼 → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅))
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) = ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})
40	6	snssd 4758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅))
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
42	26, 4, 41	rspcl 21172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝑝} ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
43	14, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (LIdeal‘𝑅))
44	4, 26, 16, 39, 2, 6, 18, 43	mxidlirred 33437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → (((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅) ↔ 𝑝 ∈ (Irred‘𝑅)))
45	38, 44	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
46	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅))
47		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
48	47	mxidlprm 33435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (MaxIdeal‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
49	35, 46, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
50		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
51		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦))
53	4, 26, 27, 28, 29	ellpi 33338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ↔ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)))
54	52, 53	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))
55		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
56	4, 55	prmidlc 33413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}))) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
57	35, 49, 50, 51, 54, 56	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑥 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝}) ∨ 𝑦 ∈ ((RSpan‘𝑅)‘{𝑝})))
58	31, 33, 57	orim12da 32437	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦)) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦))
59	58	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
60	59	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
61	60	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))
62	4, 7, 16, 27, 55	isrprm 33482	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ PID → (𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))))
63	62	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PID ∧ (𝑝 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ {(0g‘𝑅)})) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑝(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑝(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑝(∥r‘𝑅)𝑦)))) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
64	2, 25, 61, 63	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ (RPrime‘𝑅))
65		rprmirredb.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
66	64, 65	eleqtrrdi 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → 𝑝 ∈ 𝑃)
67		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
68	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
69	65, 3, 67, 68	rprmirred 33496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐼)
70	66, 69	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝐼 ↔ 𝑝 ∈ 𝑃))
71	70	eqrdv 2729	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  {csn 4573   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  LSSumclsm 19546  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20151  CRingccrg 20152  ∥_rcdsr 20272  Unitcui 20273  Irredcir 20274  RPrimecrpm 20350  IDomncidom 20608  LIdealclidl 21143  RSpancrsp 21144  LPIRclpir 21258  PIDcpid 21273  PrmIdealcprmidl 33400  MaxIdealcmxidl 33424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-irred 20277  df-invr 20306  df-rprm 20351  df-nzr 20428  df-subrg 20485  df-domn 20610  df-idom 20611  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-lpidl 21259  df-lpir 21260  df-pid 21274  df-prmidl 33401  df-mxidl 33425

This theorem is referenced by:  dfprm3  33518