Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomnnzpownz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomnnzpownz 42133
Description: A non-zero power in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
idomnnzpownz.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
idomnnzpownz.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomnnzpownz (𝜑 → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idomnnzpownz.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21ancli 548 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ0))
3 oveq1 7438 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐴) = (0 𝐴))
43neeq1d 3000 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (0 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
5 oveq1 7438 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
65neeq1d 3000 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
7 oveq1 7438 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
87neeq1d 3000 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
9 oveq1 7438 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝐴) = (𝑁 𝐴))
109neeq1d 3000 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
11 idomnnzpownz.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1412, 13mgpbas 20142 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1511, 14eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18 idomnnzpownz.5 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
1916, 17, 18mulg0 19092 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
2015, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21 eqid 2737 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2212, 21ringidval 20180 . . . . 5 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2320, 22eqtr4di 2795 . . . 4 (𝜑 → (0 𝐴) = (1r𝑅))
24 idomnnzpownz.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
25 isidom 20725 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2625simprbi 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27 domnnzr 20706 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2921, 28nzrnz 20515 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3024, 26, 27, 294syl 19 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3123, 30eqnetrd 3008 . . 3 (𝜑 → (0 𝐴) ≠ (0g𝑅))
3224idomringd 20728 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3312ringmgp 20236 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3635adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3815ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39 eqid 2737 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4016, 18, 39mulgnn0p1 19103 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1373 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4312, 42mgpplusg 20141 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4443a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
4544eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r𝑅))
4645oveqd 7448 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴))
4724, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
4948adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
5016, 18mulgnn0cl 19108 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5136, 37, 38, 50syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5214eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
5451, 53eleqtrd 2843 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅))
5654, 55jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
57 idomnnzpownz.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
5811, 57jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
5958adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
6059adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
6113, 42, 28domnmuln0 20709 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅))) → ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴) ≠ (0g𝑅))
6249, 56, 60, 61syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴) ≠ (0g𝑅))
6346, 62eqnetrd 3008 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g𝑅))
6441, 63eqnetrd 3008 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) ≠ (0g𝑅))
654, 6, 8, 10, 31, 64nn0indd 12715 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))
662, 65syl 17 1 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-nzr 20513  df-domn 20695  df-idom 20696
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  deg1pow  42142  aks6d1c6lem1  42171
  Copyright terms: Public domain W3C validator