Theorem idomnnzpownz 42133

Description: A non-zero power in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzpownz.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
idomnnzpownz.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzpownz	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomnnzpownz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
4	3	neeq1d 3000	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
6	5	neeq1d 3000	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8	7	neeq1d 3000	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
10	9	neeq1d 3000	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
11		idomnnzpownz.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	12, 13	mgpbas 20142	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	11, 14	eleqtrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18		idomnnzpownz.5	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	12, 21	ringidval 20180	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 22	eqtr4di 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝑅))
24		idomnnzpownz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20725	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnnzr 20706	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	21, 28	nzrnz 20515	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
30	24, 26, 27, 29	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	23, 30	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
32	24	idomringd 20728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	12	ringmgp 20236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
38	15	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
40	16, 18, 39	mulgnn0p1 19103	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	12, 42	mgpplusg 20141	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
45	44	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅))
46	45	oveqd 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴))
47	24, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	16, 18	mulgnn0cl 19108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
51	36, 37, 38, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
52	14	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
54	51, 53	eleqtrd 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
56	54, 55	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
57		idomnnzpownz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
58	11, 57	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
59	58	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
61	13, 42, 28	domnmuln0 20709	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
62	49, 56, 60, 61	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
63	46, 62	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
64	41, 63	eqnetrd 3008	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
65	4, 6, 8, 10, 31, 64	nn0indd 12715	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
66	2, 65	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  NzRingcnzr 20512  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-nzr 20513  df-domn 20695  df-idom 20696

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  deg1pow  42142  aks6d1c6lem1  42171