Theorem idomnnzpownz 43373

Description: A nonzero power in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzpownz.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
idomnnzpownz.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzpownz	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomnnzpownz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	ancli 558	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
4	3	neeq1d 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
6	5	neeq1d 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8	7	neeq1d 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
10	9	neeq1d 3018	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
11		idomnnzpownz.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	12, 13	mgpbas 20392	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	11, 14	eleqtrdi 2874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18		idomnnzpownz.5	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulg0 19310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	15, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	12, 21	ringidval 20436	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 22	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝑅))
24		idomnnzpownz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 21003	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnnzr 20985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	21, 28	nzrnz 20792	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
30	24, 26, 27, 29	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	23, 30	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
32	24	idomringd 21006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	12	ringmgp 20492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
35	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
38	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
40	16, 18, 39	mulgnn0p1 19321	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	12, 42	mgpplusg 20391	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
45	44	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅))
46	45	oveqd 7457	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴))
47	24, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
48	47	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	16, 18	mulgnn0cl 19326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
51	36, 37, 38, 50	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
52	14	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
54	51, 53	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
56	54, 55	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
57		idomnnzpownz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
58	11, 57	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
59	58	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
60	59	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
61	13, 42, 28	domnmuln0 20988	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
62	49, 56, 60, 61	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
63	46, 62	eqnetrd 3026	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
64	41, 63	eqnetrd 3026	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
65	4, 6, 8, 10, 31, 64	nn0indd 12820	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
66	2, 65	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  ℕ₀cn0 12630  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949  ._gcmg 19303  mulGrpcmgp 20387  1_rcur 20434  Ringcrg 20486  CRingccrg 20487  NzRingcnzr 20789  Domncdomn 20971  IDomncidom 20972

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-seq 14169  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-mulg 19304  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-nzr 20790  df-domn 20974  df-idom 20975

This theorem is used by:  aks6d1c5lem3  43378  aks6d1c5lem2  43379  deg1pow  43382  aks6d1c6lem1  43411