Theorem idomnnzpownz 42784

Description: A nonzero power in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzpownz.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
idomnnzpownz.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzpownz	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomnnzpownz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	ancli 557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
4	3	neeq1d 3023	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
6	5	neeq1d 3023	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8	7	neeq1d 3023	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7415	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
10	9	neeq1d 3023	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
11		idomnnzpownz.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	12, 13	mgpbas 20217	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	11, 14	eleqtrdi 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18		idomnnzpownz.5	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulg0 19136	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	15, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	12, 21	ringidval 20261	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 22	eqtr4di 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝑅))
24		idomnnzpownz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20805	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnnzr 20787	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	21, 28	nzrnz 20594	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
30	24, 26, 27, 29	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	23, 30	eqnetrd 3031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
32	24	idomringd 20808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	12	ringmgp 20317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
35	34	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
36	35	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
38	15	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
40	16, 18, 39	mulgnn0p1 19147	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	12, 42	mgpplusg 20216	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
45	44	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅))
46	45	oveqd 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴))
47	24, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
48	47	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
49	48	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	16, 18	mulgnn0cl 19152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
51	36, 37, 38, 50	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
52	14	eqcomi 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
54	51, 53	eleqtrd 2871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
56	54, 55	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
57		idomnnzpownz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
58	11, 57	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
59	58	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
60	59	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
61	13, 42, 28	domnmuln0 20790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
62	49, 56, 60, 61	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
63	46, 62	eqnetrd 3031	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
64	41, 63	eqnetrd 3031	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
65	4, 6, 8, 10, 31, 64	nn0indd 12689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
66	2, 65	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488  Mndcmnd 18788  ._gcmg 19129  mulGrpcmgp 20212  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312  NzRingcnzr 20591  Domncdomn 20773  IDomncidom 20774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-seq 14034  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-mulg 19130  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-nzr 20592  df-domn 20776  df-idom 20777

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42789  aks6d1c5lem2  42790  deg1pow  42793  aks6d1c6lem1  42822