Theorem idomnnzpownz 43183

Description: A nonzero power in an integral domain is nonzero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzpownz.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
idomnnzpownz.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzpownz	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomnnzpownz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	ancli 558	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
4	3	neeq1d 3014	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
6	5	neeq1d 3014	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8	7	neeq1d 3014	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
10	9	neeq1d 3014	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
11		idomnnzpownz.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	12, 13	mgpbas 20365	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	11, 14	eleqtrdi 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18		idomnnzpownz.5	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulg0 19284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	15, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	12, 21	ringidval 20409	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 22	eqtr4di 2813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝑅))
24		idomnnzpownz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20976	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnnzr 20958	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	21, 28	nzrnz 20765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
30	24, 26, 27, 29	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	23, 30	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
32	24	idomringd 20979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	12	ringmgp 20465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
35	34	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
38	15	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
40	16, 18, 39	mulgnn0p1 19295	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	12, 42	mgpplusg 20364	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
45	44	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅))
46	45	oveqd 7437	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴))
47	24, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
48	47	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
49	48	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	16, 18	mulgnn0cl 19300	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
51	36, 37, 38, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
52	14	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
54	51, 53	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
56	54, 55	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
57		idomnnzpownz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
58	11, 57	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
59	58	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
60	59	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
61	13, 42, 28	domnmuln0 20961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
62	49, 56, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
63	46, 62	eqnetrd 3022	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
64	41, 63	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
65	4, 6, 8, 10, 31, 64	nn0indd 12796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
66	2, 65	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  NzRingcnzr 20762  Domncdomn 20944  IDomncidom 20945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-nzr 20763  df-domn 20947  df-idom 20948

This theorem is used by:  aks6d1c5lem3  43188  aks6d1c5lem2  43189  deg1pow  43192  aks6d1c6lem1  43221