Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idomnnzpownz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idomnnzpownz 42113
Description: A non-zero power in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
idomnnzpownz.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
idomnnzpownz.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
idomnnzpownz (𝜑 → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idomnnzpownz.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21ancli 548 . 2 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ0))
3 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝐴) = (0 𝐴))
43neeq1d 2997 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (0 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
5 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝐴) = (𝑦 𝐴))
65neeq1d 2997 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
7 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝐴) = ((𝑦 + 1) 𝐴))
87neeq1d 2997 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
9 oveq1 7437 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝐴) = (𝑁 𝐴))
109neeq1d 2997 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝐴) ≠ (0g𝑅) ↔ (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
11 idomnnzpownz.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1412, 13mgpbas 20157 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1511, 14eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16 eqid 2734 . . . . . . 7 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18 idomnnzpownz.5 . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
1916, 17, 18mulg0 19104 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
2015, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21 eqid 2734 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2212, 21ringidval 20200 . . . . 5 (1r𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
2320, 22eqtr4di 2792 . . . 4 (𝜑 → (0 𝐴) = (1r𝑅))
24 idomnnzpownz.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
25 isidom 20741 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
2625simprbi 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27 domnnzr 20722 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28 eqid 2734 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2921, 28nzrnz 20531 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3024, 26, 27, 294syl 19 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
3123, 30eqnetrd 3005 . . 3 (𝜑 → (0 𝐴) ≠ (0g𝑅))
3224idomringd 20744 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
3312ringmgp 20256 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
3635adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
3815ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39 eqid 2734 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4016, 18, 39mulgnn0p1 19115 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
4136, 37, 38, 40syl3anc 1370 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) = ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4312, 42mgpplusg 20155 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4443a1i 11 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
4544eqcomd 2740 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r𝑅))
4645oveqd 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴))
4724, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
4948adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
5016, 18mulgnn0cl 19120 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5136, 37, 38, 50syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
5214eqcomi 2743 . . . . . . . . 9 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
5352a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
5451, 53eleqtrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅))
5654, 55jca 511 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)))
57 idomnnzpownz.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
5811, 57jca 511 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
5958adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
6059adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅)))
6113, 42, 28domnmuln0 20725 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g𝑅))) → ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴) ≠ (0g𝑅))
6249, 56, 60, 61syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(.r𝑅)𝐴) ≠ (0g𝑅))
6346, 62eqnetrd 3005 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g𝑅))
6441, 63eqnetrd 3005 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝐴) ≠ (0g𝑅)) → ((𝑦 + 1) 𝐴) ≠ (0g𝑅))
654, 6, 8, 10, 31, 64nn0indd 12712 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))
662, 65syl 17 1 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ≠ (0g𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  0cn0 12523  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  .gcmg 19097  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708  IDomncidom 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-nzr 20529  df-domn 20711  df-idom 20712
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42118  aks6d1c5lem2  42119  deg1pow  42122  aks6d1c6lem1  42151
  Copyright terms: Public domain W3C validator