Theorem idomnnzpownz 42125

Description: A non-zero power in an integral domain is non-zero. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomnnzpownz.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
idomnnzpownz.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
idomnnzpownz.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
idomnnzpownz.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
idomnnzpownz.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
idomnnzpownz	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Proof of Theorem idomnnzpownz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomnnzpownz.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	ancli 548	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (0 ↑ 𝐴))
4	3	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
5		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑦 ↑ 𝐴))
6	5	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
7		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝐴) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴))
8	7	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
9		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝐴) = (𝑁 ↑ 𝐴))
10	9	neeq1d 2984	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
11		idomnnzpownz.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14	12, 13	mgpbas 20030	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	11, 14	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
16		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
18		idomnnzpownz.5	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 17, 18	mulg0 18953	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
20	15, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
22	12, 21	ringidval 20068	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
23	20, 22	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) = (1r‘𝑅))
24		idomnnzpownz.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20610	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnnzr 20591	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
28		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	21, 28	nzrnz 20400	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
30	24, 26, 27, 29	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
31	23, 30	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
32	24	idomringd 20613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
33	12	ringmgp 20124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
35	34	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
37		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
38	15	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
39		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
40	16, 18, 39	mulgnn0p1 18964	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴))
42		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
43	12, 42	mgpplusg 20029	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
44	43	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
45	44	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.r‘𝑅))
46	45	oveqd 7366	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) = ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴))
47	24, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
48	47	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
49	48	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Domn)
50	16, 18	mulgnn0cl 18969	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
51	36, 37, 38, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
52	14	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
53	52	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅))
54	51, 53	eleqtrd 2830	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
56	54, 55	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)))
57		idomnnzpownz.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))
58	11, 57	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
59	58	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅)))
61	13, 42, 28	domnmuln0 20594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ ((𝑦 ↑ 𝐴) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝐴 ≠ (0g‘𝑅))) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
62	49, 56, 60, 61	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(.r‘𝑅)𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
63	46, 62	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 ↑ 𝐴)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
64	41, 63	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
65	4, 6, 8, 10, 31, 64	nn0indd 12573	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))
66	2, 65	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝐴) ≠ (0g‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18608  ._gcmg 18946  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119  NzRingcnzr 20397  Domncdomn 20577  IDomncidom 20578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-seq 13909  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-nzr 20398  df-domn 20580  df-idom 20581

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  deg1pow  42134  aks6d1c6lem1  42163