Theorem algextdeglem7 34177

Description: Lemma for algextdeg 34179. The polynomials 𝑋 of lower degree than the minimal polynomial are left unchanged when taking the remainder of the division by that minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
algextdeglem.t	⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
algextdeglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑀,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥, 𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥, 𝑝)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥, 𝑝)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑝)   𝐻(𝑥, 𝑝)   𝐽(𝑥, 𝑝)   𝐾(𝑥, 𝑝)   𝐿(𝑥, 𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥, 𝑝)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑍(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem algextdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
3		algextdeglem.y	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
4		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		algextdeglem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6	1	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7	3, 6	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
8		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		algextdeg.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
10		algextdeg.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
11		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12	9	fldcrngd 20892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
13		sdrgsubrg 20944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
15	5, 1, 8, 11, 12, 14	irngssv 34142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
16		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
17	15, 16	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
18		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
19		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
20		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		algextdeg.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
22	5, 7, 8, 9, 10, 17, 11, 18, 19, 20, 21	minplycl 34160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23	22, 4	eleqtrrdi 2876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
24	1, 2, 3, 4, 23, 14	ressdeg1 33920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	breq2d 5123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
26		algextdeglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
28		algextdeglem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
29	9	flddrngd 20891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
30	29	drngringd 20885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
31		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
32		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐾) = (PwSer1‘𝐾)
33		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐾)) = (Base‘(PwSer1‘𝐾))
34		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐸)) = (Base‘(Poly1‘𝐸))
35	31, 1, 3, 4, 14, 32, 33, 34	ressply1bas2 22437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))))
36		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸))
37	35, 36	eqsstrdi 3982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
38	37, 23	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
39		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
40	39, 9, 10, 21, 16	irngnminplynz 34166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸)))
41	2, 31, 39, 34	deg1nn0cl 26296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸))) → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
42	30, 38, 40, 41	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
43		fldsdrgfld 20951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
44	9, 10, 43	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
45	1, 44	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
46		fldidom 20925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
47	45, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
48	47	idomringd 20876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
49	3, 27, 28, 42, 48, 4	ply1degleel 33949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))))
50	26, 49	mpbirand 720	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
51		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
52		algextdeglem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
53	47	idomdomd 20874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
54	1	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
55	39, 9, 10, 21, 16, 54	minplym1p 34167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
56		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
57	51, 56	mon1puc1p 26359	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
58	48, 55, 57	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
59	3, 4, 51, 52, 27, 53, 26, 58	r1pid2 26370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
60	25, 50, 59	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
61		algextdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
63		ovexd 7454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
64	61, 62, 26, 63	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
65	64	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) = 𝑋 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
66	60, 65	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {crab 3418  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  {csn 4591  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  [cec 8698  -∞cmnf 11256   < clt 11258  ℕ₀cn0 12519  [,)cico 13390  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  0_gc0g 17514   /_s cqus 17581   ~_QG cqg 19232  Ringcrg 20359  SubRingcsubrg 20718  IDomncidom 20842  Fieldcfield 20878  SubDRingcsdrg 20939  RSpancrsp 21381  PwSer₁cps1 22385  Poly₁cpl1 22387   evalSub₁ ces1 22523  deg₁cdg1 26262  Monic_1pcmn1 26334  Unic_1pcuc1p 26335  rem_1pcr1p 26337  idlGen_1pcig1p 26338   fldGen cfldgen 33695   IntgRing cirng 34137   minPoly cminply 34153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-prds 17522  df-pws 17524  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-ghm 19328  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-rhm 20600  df-nzr 20660  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-idom 20845  df-drng 20879  df-field 20880  df-sdrg 20940  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-lidl 21382  df-rsp 21383  df-cnfld 21573  df-assa 22053  df-asp 22054  df-ascl 22055  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-evls 22275  df-evl 22276  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-evls1 22525  df-evl1 22526  df-mdeg 26263  df-deg1 26264  df-mon1 26339  df-uc1p 26340  df-q1p 26341  df-r1p 26342  df-ig1p 26343  df-irng 34138  df-minply 34154

This theorem is used by:  algextdeglem8  34178