Theorem algextdeglem7 33757

Description: Lemma for algextdeg 33759. The polynomials 𝑋 of lower degree than the minimal polynomial are left unchanged when taking the remainder of the division by that minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
algextdeglem.t	⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
algextdeglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑀,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑝)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem algextdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
3		algextdeglem.y	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
4		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		algextdeglem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6	1	fveq2i 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7	3, 6	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
8		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		algextdeg.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
10		algextdeg.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
11		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12	9	fldcrngd 20702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
13		sdrgsubrg 20751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
15	5, 1, 8, 11, 12, 14	irngssv 33729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
16		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
17	15, 16	sseldd 3959	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
18		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
20		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		algextdeg.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
22	5, 7, 8, 9, 10, 17, 11, 18, 19, 20, 21	minplycl 33740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23	22, 4	eleqtrrdi 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
24	1, 2, 3, 4, 23, 14	ressdeg1 33579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	breq2d 5131	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
26		algextdeglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
28		algextdeglem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
29	9	flddrngd 20701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
30	29	drngringd 20697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
31		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
32		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐾) = (PwSer1‘𝐾)
33		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐾)) = (Base‘(PwSer1‘𝐾))
34		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐸)) = (Base‘(Poly1‘𝐸))
35	31, 1, 3, 4, 14, 32, 33, 34	ressply1bas2 22163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))))
36		inss2 4213	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸))
37	35, 36	eqsstrdi 4003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
38	37, 23	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
39		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
40	39, 9, 10, 21, 16	irngnminplynz 33746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸)))
41	2, 31, 39, 34	deg1nn0cl 26045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸))) → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
42	30, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
43		fldsdrgfld 20758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
44	9, 10, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
45	1, 44	eqeltrid 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
46		fldidom 20731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
48	47	idomringd 20688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
49	3, 27, 28, 42, 48, 4	ply1degleel 33605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))))
50	26, 49	mpbirand 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
51		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
52		algextdeglem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
53	47	idomdomd 20686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
54	1	fveq2i 6879	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
55	39, 9, 10, 21, 16, 54	minplym1p 33747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
56		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
57	51, 56	mon1puc1p 26108	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
58	48, 55, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
59	3, 4, 51, 52, 27, 53, 26, 58	r1pid2 26119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
60	25, 50, 59	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
61		algextdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
63		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
64	61, 62, 26, 63	fvmptd3 7009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
65	64	eqeq1d 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) = 𝑋 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
66	60, 65	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415  Vcvv 3459   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925  {csn 4601  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  [cec 8717  -∞cmnf 11267   < clt 11269  ℕ₀cn0 12501  [,)cico 13364  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453   /_s cqus 17519   ~_QG cqg 19105  Ringcrg 20193  SubRingcsubrg 20529  IDomncidom 20653  Fieldcfield 20690  SubDRingcsdrg 20746  RSpancrsp 21168  PwSer₁cps1 22110  Poly₁cpl1 22112   evalSub₁ ces1 22251  deg₁cdg1 26011  Monic_1pcmn1 26083  Unic_1pcuc1p 26084  rem_1pcr1p 26086  idlGen_1pcig1p 26087   fldGen cfldgen 33304   IntgRing cirng 33724   minPoly cminply 33733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rhm 20432  df-nzr 20473  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-rlreg 20654  df-domn 20655  df-idom 20656  df-drng 20691  df-field 20692  df-sdrg 20747  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-cnfld 21316  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-evls1 22253  df-evl1 22254  df-mdeg 26012  df-deg1 26013  df-mon1 26088  df-uc1p 26089  df-q1p 26090  df-r1p 26091  df-ig1p 26092  df-irng 33725  df-minply 33734

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33758