Theorem algextdeglem7 33713

Description: Lemma for algextdeg 33715. The polynomials 𝑋 of lower degree than the minimal polynomial are left unchanged when taking the remainder of the division by that minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
algextdeglem.t	⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
algextdeglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑀,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑝)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem algextdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
3		algextdeglem.y	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
4		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		algextdeglem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6	1	fveq2i 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7	3, 6	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		algextdeg.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
10		algextdeg.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12	9	fldcrngd 20651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
13		sdrgsubrg 20700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
15	5, 1, 8, 11, 12, 14	irngssv 33683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
16		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
17	15, 16	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		algextdeg.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
22	5, 7, 8, 9, 10, 17, 11, 18, 19, 20, 21	minplycl 33696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23	22, 4	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
24	1, 2, 3, 4, 23, 14	ressdeg1 33535	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	breq2d 5119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
26		algextdeglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
28		algextdeglem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
29	9	flddrngd 20650	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
30	29	drngringd 20646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐾) = (PwSer1‘𝐾)
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐾)) = (Base‘(PwSer1‘𝐾))
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐸)) = (Base‘(Poly1‘𝐸))
35	31, 1, 3, 4, 14, 32, 33, 34	ressply1bas2 22112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))))
36		inss2 4201	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸))
37	35, 36	eqsstrdi 3991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
38	37, 23	sseldd 3947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
39		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
40	39, 9, 10, 21, 16	irngnminplynz 33702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸)))
41	2, 31, 39, 34	deg1nn0cl 25993	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸))) → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
42	30, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
43		fldsdrgfld 20707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
44	9, 10, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
45	1, 44	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
46		fldidom 20680	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
48	47	idomringd 20637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
49	3, 27, 28, 42, 48, 4	ply1degleel 33561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))))
50	26, 49	mpbirand 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
51		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
52		algextdeglem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
53	47	idomdomd 20635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
54	1	fveq2i 6861	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
55	39, 9, 10, 21, 16, 54	minplym1p 33703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
56		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
57	51, 56	mon1puc1p 26056	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
58	48, 55, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
59	3, 4, 51, 52, 27, 53, 26, 58	r1pid2 26067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
60	25, 50, 59	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
61		algextdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
63		ovexd 7422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
64	61, 62, 26, 63	fvmptd3 6991	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
65	64	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) = 𝑋 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
66	60, 65	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3405  Vcvv 3447   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  {csn 4589  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  dom cdm 5638   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  [cec 8669  -∞cmnf 11206   < clt 11208  ℕ₀cn0 12442  [,)cico 13308  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402   /_s cqus 17468   ~_QG cqg 19054  Ringcrg 20142  SubRingcsubrg 20478  IDomncidom 20602  Fieldcfield 20639  SubDRingcsdrg 20695  RSpancrsp 21117  PwSer₁cps1 22059  Poly₁cpl1 22061   evalSub₁ ces1 22200  deg₁cdg1 25959  Monic_1pcmn1 26031  Unic_1pcuc1p 26032  rem_1pcr1p 26034  idlGen_1pcig1p 26035   fldGen cfldgen 33260   IntgRing cirng 33678   minPoly cminply 33689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-srg 20096  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-rhm 20381  df-nzr 20422  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-rlreg 20603  df-domn 20604  df-idom 20605  df-drng 20640  df-field 20641  df-sdrg 20696  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-rsp 21119  df-cnfld 21265  df-assa 21762  df-asp 21763  df-ascl 21764  df-psr 21818  df-mvr 21819  df-mpl 21820  df-opsr 21822  df-evls 21981  df-evl 21982  df-psr1 22064  df-vr1 22065  df-ply1 22066  df-coe1 22067  df-evls1 22202  df-evl1 22203  df-mdeg 25960  df-deg1 25961  df-mon1 26036  df-uc1p 26037  df-q1p 26038  df-r1p 26039  df-ig1p 26040  df-irng 33679  df-minply 33690

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33714