Theorem algextdeglem7 33686

Description: Lemma for algextdeg 33688. The polynomials 𝑋 of lower degree than the minimal polynomial are left unchanged when taking the remainder of the division by that minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
algextdeglem.t	⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
algextdeglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑀,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑝)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem algextdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
3		algextdeglem.y	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
4		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		algextdeglem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6	1	fveq2i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7	3, 6	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
8		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		algextdeg.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
10		algextdeg.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12	9	fldcrngd 20627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
13		sdrgsubrg 20676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
15	5, 1, 8, 11, 12, 14	irngssv 33656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
16		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
17	15, 16	sseldd 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
18		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
20		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		algextdeg.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
22	5, 7, 8, 9, 10, 17, 11, 18, 19, 20, 21	minplycl 33669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23	22, 4	eleqtrrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
24	1, 2, 3, 4, 23, 14	ressdeg1 33508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	breq2d 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
26		algextdeglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
28		algextdeglem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
29	9	flddrngd 20626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
30	29	drngringd 20622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
32		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐾) = (PwSer1‘𝐾)
33		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐾)) = (Base‘(PwSer1‘𝐾))
34		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐸)) = (Base‘(Poly1‘𝐸))
35	31, 1, 3, 4, 14, 32, 33, 34	ressply1bas2 22088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))))
36		inss2 4197	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸))
37	35, 36	eqsstrdi 3988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
38	37, 23	sseldd 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
39		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
40	39, 9, 10, 21, 16	irngnminplynz 33675	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸)))
41	2, 31, 39, 34	deg1nn0cl 25969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸))) → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
42	30, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
43		fldsdrgfld 20683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
44	9, 10, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
45	1, 44	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
46		fldidom 20656	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
48	47	idomringd 20613	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
49	3, 27, 28, 42, 48, 4	ply1degleel 33534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))))
50	26, 49	mpbirand 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
51		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
52		algextdeglem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
53	47	idomdomd 20611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
54	1	fveq2i 6843	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
55	39, 9, 10, 21, 16, 54	minplym1p 33676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
56		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
57	51, 56	mon1puc1p 26032	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
58	48, 55, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
59	3, 4, 51, 52, 27, 53, 26, 58	r1pid2 26043	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
60	25, 50, 59	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
61		algextdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
63		ovexd 7404	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
64	61, 62, 26, 63	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
65	64	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) = 𝑋 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
66	60, 65	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  [cec 8646  -∞cmnf 11182   < clt 11184  ℕ₀cn0 12418  [,)cico 13284  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  0_gc0g 17378   /_s cqus 17444   ~_QG cqg 19030  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454  IDomncidom 20578  Fieldcfield 20615  SubDRingcsdrg 20671  RSpancrsp 21093  PwSer₁cps1 22035  Poly₁cpl1 22037   evalSub₁ ces1 22176  deg₁cdg1 25935  Monic_1pcmn1 26007  Unic_1pcuc1p 26008  rem_1pcr1p 26010  idlGen_1pcig1p 26011   fldGen cfldgen 33233   IntgRing cirng 33651   minPoly cminply 33662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-sdrg 20672  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-lsp 20854  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-rsp 21095  df-cnfld 21241  df-assa 21738  df-asp 21739  df-ascl 21740  df-psr 21794  df-mvr 21795  df-mpl 21796  df-opsr 21798  df-evls 21957  df-evl 21958  df-psr1 22040  df-vr1 22041  df-ply1 22042  df-coe1 22043  df-evls1 22178  df-evl1 22179  df-mdeg 25936  df-deg1 25937  df-mon1 26012  df-uc1p 26013  df-q1p 26014  df-r1p 26015  df-ig1p 26016  df-irng 33652  df-minply 33663

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33687