Theorem algextdeglem7 33736

Description: Lemma for algextdeg 33738. The polynomials 𝑋 of lower degree than the minimal polynomial are left unchanged when taking the remainder of the division by that minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
algextdeg.k	⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
algextdeg.l	⊢ 𝐿 = (𝐸 ↾s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
algextdeg.m	⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
algextdeglem.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g	⊢ 𝐺 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n	⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ 𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z	⊢ 𝑍 = (◡𝐺 “ {(0g‘𝐿)})
algextdeglem.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j	⊢ 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ ∪ (𝐺 “ 𝑝))
algextdeglem.r	⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
algextdeglem.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
algextdeglem.t	⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
algextdeglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
algextdeglem7	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑀,𝑝   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑈,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥)   𝑄(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑝)   𝐽(𝑥,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥,𝑝)   𝑂(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem algextdeglem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algextdeg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (𝐸 ↾s 𝐹)
2		algextdeg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝐸)
3		algextdeglem.y	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐾)
4		algextdeglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		algextdeglem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
6	1	fveq2i 6825	. . . . . . . 8 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
7	3, 6	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
8		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
9		algextdeg.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
10		algextdeg.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
11		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐸) = (0g‘𝐸)
12	9	fldcrngd 20657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
13		sdrgsubrg 20706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
15	5, 1, 8, 11, 12, 14	irngssv 33701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
16		algextdeg.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
17	15, 16	sseldd 3930	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
18		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴) = (0g‘𝐸)}
19		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
20		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
21		algextdeg.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
22	5, 7, 8, 9, 10, 17, 11, 18, 19, 20, 21	minplycl 33719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
23	22, 4	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑈)
24	1, 2, 3, 4, 23, 14	ressdeg1 33529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) = ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴)))
25	24	breq2d 5101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
26		algextdeglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
27		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
28		algextdeglem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (◡(deg1‘𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
29	9	flddrngd 20656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ DivRing)
30	29	drngringd 20652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Ring)
31		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Poly1‘𝐸) = (Poly1‘𝐸)
32		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐾) = (PwSer1‘𝐾)
33		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐾)) = (Base‘(PwSer1‘𝐾))
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐸)) = (Base‘(Poly1‘𝐸))
35	31, 1, 3, 4, 14, 32, 33, 34	ressply1bas2 22140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))))
36		inss2 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1‘𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸))
37	35, 36	eqsstrdi 3974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
38	37, 23	sseldd 3930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)))
39		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐸)) = (0g‘(Poly1‘𝐸))
40	39, 9, 10, 21, 16	irngnminplynz 33725	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸)))
41	2, 31, 39, 34	deg1nn0cl 26020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐸)) ∧ (𝑀‘𝐴) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐸))) → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
42	30, 38, 40, 41	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀‘𝐴)) ∈ ℕ0)
43		fldsdrgfld 20713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
44	9, 10, 43	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ Field)
45	1, 44	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
46		fldidom 20686	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
48	47	idomringd 20643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
49	3, 27, 28, 42, 48, 4	ply1degleel 33556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴)))))
50	26, 49	mpbirand 707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < (𝐷‘(𝑀‘𝐴))))
51		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
52		algextdeglem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rem1p‘𝐾)
53	47	idomdomd 20641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
54	1	fveq2i 6825	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘(𝐸 ↾s 𝐹))
55	39, 9, 10, 21, 16, 54	minplym1p 33726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾))
56		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Monic1p‘𝐾) = (Monic1p‘𝐾)
57	51, 56	mon1puc1p 26083	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀‘𝐴) ∈ (Monic1p‘𝐾)) → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
58	48, 55, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ (Unic1p‘𝐾))
59	3, 4, 51, 52, 27, 53, 26, 58	r1pid2 26094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋 ↔ ((deg1‘𝐾)‘𝑋) < ((deg1‘𝐾)‘(𝑀‘𝐴))))
60	25, 50, 59	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
61		algextdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)))
62		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝑝𝑅(𝑀‘𝐴)) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
63		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) ∈ V)
64	61, 62, 26, 63	fvmptd3 6952	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)))
65	64	eqeq1d 2733	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) = 𝑋 ↔ (𝑋𝑅(𝑀‘𝐴)) = 𝑋))
66	60, 65	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘𝑋) = 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  {csn 4573  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  dom cdm 5614   “ cima 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  [cec 8620  -∞cmnf 11144   < clt 11146  ℕ₀cn0 12381  [,)cico 13247  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343   /_s cqus 17409   ~_QG cqg 19035  Ringcrg 20151  SubRingcsubrg 20484  IDomncidom 20608  Fieldcfield 20645  SubDRingcsdrg 20701  RSpancrsp 21144  PwSer₁cps1 22087  Poly₁cpl1 22089   evalSub₁ ces1 22228  deg₁cdg1 25986  Monic_1pcmn1 26058  Unic_1pcuc1p 26059  rem_1pcr1p 26061  idlGen_1pcig1p 26062   fldGen cfldgen 33276   IntgRing cirng 33696   minPoly cminply 33712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-ico 13251  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-rhm 20390  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-idom 20611  df-drng 20646  df-field 20647  df-sdrg 20702  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-cnfld 21292  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22009  df-evl 22010  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-evls1 22230  df-evl1 22231  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-mon1 26063  df-uc1p 26064  df-q1p 26065  df-r1p 26066  df-ig1p 26067  df-irng 33697  df-minply 33713

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33737