Theorem crngringd 20283

Description: A commutative ring is a ring. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
crngringd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)

Assertion

Ref	Expression
crngringd	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem crngringd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngringd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
2		crngring 20282	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Ringcrg 20270  CRingccrg 20271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-iota 6472  df-fv 6524  df-cring 20273

This theorem is referenced by:  crnggrpd  20284  crng12d  20295  crng32d  20296  pwsgprod  20365  idomringd  20765  qusmulcrng  21342  rhmqusnsg  21343  fermltlchr  21569  frobrhm  21615  psrassa  22012  evlslem1  22123  evlsval3  22130  evlsvvvallem  22132  evlsvvvallem2  22133  evlsvvval  22134  evlsexpval  22169  evlsmaprhm  22172  evlsevl  22173  evlvvval  22174  selvcllem5  22180  selvvvval  22183  selvmul  22185  psdvsca  22217  psdmul  22219  psd1  22220  psdascl  22221  psdpw  22223  ply1fermltlchr  22363  evls1expd  22418  evls1fpws  22420  ressply1evl  22421  evls1maprhm  22427  evl1maprhm  22430  mdetrsca  22651  recvs  25196  isunitc  33383  elrgspnsubrunlem1  33389  elrgspnsubrunlem2  33390  elrgspnsubrun  33391  erlbr2d  33406  erler  33407  erld2  33408  rlocaddval  33411  rlocmulval  33412  rloccring  33413  rloc0g  33414  rloc1r  33415  rlocf1  33416  rlocinvunit  33417  rlocisunit  33418  fracerl  33454  fracf1  33455  fracfld  33456  gsumind  33492  znfermltl  33513  unitpidl1  33571  ssdifidlprm  33606  mxidlprmALT  33648  dflringlem  33651  dflringlem2  33652  dflring4  33655  idlsrgmulrssin  33670  rsprprmprmidl  33679  rsprprmprmidlb  33680  rprmndvdsru  33686  rprmirredlem  33687  rprmdvdspow  33690  rprmdvdsprod  33691  1arithufdlem3  33703  zringfrac  33711  evl1fpws  33721  ressply1evls1  33722  ressasclcl  33728  ply1unit  33732  evl1deg1  33733  evl1deg2  33734  evl1deg3  33735  ply1dg1rt  33737  ply1mulrtss  33739  ply1dg3rt0irred  33741  vr1nz  33750  mplasclco  33774  selvascl  33775  selvply1rhmlem2  33779  selvply1rhmlem4  33781  selvply1rhm  33783  selvply1rhm0  33784  evlvarval  33799  evlextv  33800  psrmonprod  33810  mplmonprod  33812  esplyfvaln  33832  esplyindfv  33834  esplyfvn  33835  vietalem  33837  fldgenfldext  33926  evls1fldgencl  33928  fldextrspunlsp  33932  elirng  33944  0ringirng  33947  irngnzply1lem  33948  extdgfialglem1  33950  extdgfialglem2  33951  ply1annidl  33960  ply1annnr  33961  irredminply  33974  algextdeglem4  33978  rtelextdg2lem  33984  cos9thpiminply  34046  zarclsun  34128  zarmxt1  34138  zarcmplem  34139  zndvdchrrhm  42551  fldhmf1  42668  aks6d1c1p2  42687  aks6d1c1p3  42688  aks6d1c1p4  42689  evl1gprodd  42695  aks6d1c2lem4  42705  aks6d1c5lem0  42713  aks6d1c5lem2  42716  aks6d1c5  42717  aks6d1c6lem2  42749  rhmqusspan  42763  aks5lem2  42765  ply1asclzrhval  42766  aks5lem3a  42767  aks5lem5a  42769  riccrng1  43100  evl0  43128  evlsbagval  43129  evlvvvallem  43130  evlselv  43132  evlsmhpvvval  43138  mhphf  43140  mhphf4  43143