Theorem rprmasso2 33797

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmasso2

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rprmasso.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmasso.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ IDomn)
7		rprmasso2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ∈ 𝐵)
10		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 5, 10	rprmcl 33789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	5	idomringd 20813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 5, 7	rprmcl 33789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 3	dvdsrid 20450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ 𝑌)
16	13, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑌)
17	16	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑌)
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
19	17, 18	breqtrrd 5140	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 19	rprmdvds 33790	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑌 ∥ 𝑡 ∨ 𝑌 ∥ 𝑋))
21	11	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
26		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
27	1, 4, 22, 13, 11	ringlzd 20379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
28	27	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
29	25, 26, 28	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
30	2, 22, 5, 7	rprmnz 33791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
31	30	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
32	31	neneqd 2963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑌 = (0g‘𝑅))
33	29, 32	pm2.65da 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑡 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
36	23, 35	eldifsnd 4756	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
37	13	ad5antr 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	12	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	1, 4, 37, 38, 39	ringcld 20343	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
41		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	1, 41	ringidcl 20349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	13, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
44	43	ad5antr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	5	idomdomd 20811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
46	45	ad5antr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Domn)
47	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
48	47	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)𝑌))
49		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
50	48, 49	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = 𝑡)
51	5	idomcringd 20812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
52	51	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ CRing)
53	1, 4, 52, 23, 38, 39	crng12d 20341	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
54	1, 4, 41, 37, 23	ringridmd 20357	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑡)
55	50, 53, 54	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	1, 22, 4, 36, 40, 44, 46, 55	domnlcan 20806	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
57	14	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∥ 𝑡)
59	1, 3, 4	dvdsr2 20446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∥ 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡))
60	59	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
61	57, 58, 60	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
62	56, 61	reximddv3 3182	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
63	1, 3, 4	dvdsr2 20446	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)))
64	63	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
65	21, 62, 64	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
66	41, 3, 2, 51, 10	rprmndvdsr1 33795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
67	66	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
68	65, 67	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑌 ∥ 𝑡)
69	20, 68	orcnd 891	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑋)
70		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
71	1, 3, 4	dvdsr 20445	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
72	70, 71	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
73	72	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
74	69, 73	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  ∥_rcdsr 20437  RPrimecrpm 20515  Domncdomn 20778  IDomncidom 20779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-rprm 20516  df-nzr 20597  df-domn 20781  df-idom 20782

This theorem is referenced by:  rprmasso3  33798