Theorem rprmasso2 33601

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmasso2

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rprmasso.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmasso.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ IDomn)
7		rprmasso2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ∈ 𝐵)
10		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 5, 10	rprmcl 33593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	5	idomringd 20696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 5, 7	rprmcl 33593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 3	dvdsrid 20338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ 𝑌)
16	13, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑌)
17	16	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑌)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
19	17, 18	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 19	rprmdvds 33594	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑌 ∥ 𝑡 ∨ 𝑌 ∥ 𝑋))
21	11	ad3antrrr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	9	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
26		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
27	1, 4, 22, 13, 11	ringlzd 20267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
28	27	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
29	25, 26, 28	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
30	2, 22, 5, 7	rprmnz 33595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
31	30	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
32	31	neneqd 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑌 = (0g‘𝑅))
33	29, 32	pm2.65da 817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑡 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
36	23, 35	eldifsnd 4731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
37	13	ad5antr 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	12	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	1, 4, 37, 38, 39	ringcld 20232	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
41		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	1, 41	ringidcl 20237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	13, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
44	43	ad5antr 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	5	idomdomd 20694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
46	45	ad5antr 735	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Domn)
47	18	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
48	47	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)𝑌))
49		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
50	48, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = 𝑡)
51	5	idomcringd 20695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
52	51	ad5antr 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ CRing)
53	1, 4, 52, 23, 38, 39	crng12d 20230	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
54	1, 4, 41, 37, 23	ringridmd 20245	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑡)
55	50, 53, 54	3eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	1, 22, 4, 36, 40, 44, 46, 55	domnlcan 20689	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
57	14	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∥ 𝑡)
59	1, 3, 4	dvdsr2 20334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∥ 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡))
60	59	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
61	57, 58, 60	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
62	56, 61	reximddv3 3155	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
63	1, 3, 4	dvdsr2 20334	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)))
64	63	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
65	21, 62, 64	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
66	41, 3, 2, 51, 10	rprmndvdsr1 33599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
67	66	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
68	65, 67	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑌 ∥ 𝑡)
69	20, 68	orcnd 879	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑋)
70		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
71	1, 3, 4	dvdsr 20333	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
72	70, 71	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
73	72	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
74	69, 73	r19.29a 3146	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  ∥_rcdsr 20325  RPrimecrpm 20403  Domncdomn 20660  IDomncidom 20661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-rprm 20404  df-nzr 20481  df-domn 20663  df-idom 20664

This theorem is referenced by:  rprmasso3  33602