Theorem rprmasso2 33733

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmasso2

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rprmasso.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmasso.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ IDomn)
7		rprmasso2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ∈ 𝐵)
10		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 5, 10	rprmcl 33725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	5	idomringd 20803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 5, 7	rprmcl 33725	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 3	dvdsrid 20440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ 𝑌)
16	13, 14, 15	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑌)
17	16	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑌)
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
19	17, 18	breqtrrd 5133	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 19	rprmdvds 33726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑌 ∥ 𝑡 ∨ 𝑌 ∥ 𝑋))
21	11	ad3antrrr 742	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	9	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
26		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
27	1, 4, 22, 13, 11	ringlzd 20369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
28	27	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
29	25, 26, 28	3eqtr3d 2808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
30	2, 22, 5, 7	rprmnz 33727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
31	30	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
32	31	neneqd 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑌 = (0g‘𝑅))
33	29, 32	pm2.65da 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑡 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
36	23, 35	eldifsnd 4750	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
37	13	ad5antr 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	12	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	1, 4, 37, 38, 39	ringcld 20333	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
41		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	1, 41	ringidcl 20339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	13, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
44	43	ad5antr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	5	idomdomd 20801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
46	45	ad5antr 746	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Domn)
47	18	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
48	47	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)𝑌))
49		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
50	48, 49	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = 𝑡)
51	5	idomcringd 20802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
52	51	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ CRing)
53	1, 4, 52, 23, 38, 39	crng12d 20331	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
54	1, 4, 41, 37, 23	ringridmd 20347	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑡)
55	50, 53, 54	3eqtr4d 2810	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	1, 22, 4, 36, 40, 44, 46, 55	domnlcan 20796	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
57	14	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∥ 𝑡)
59	1, 3, 4	dvdsr2 20436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∥ 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡))
60	59	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
61	57, 58, 60	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
62	56, 61	reximddv3 3182	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
63	1, 3, 4	dvdsr2 20436	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)))
64	63	biimpar 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
65	21, 62, 64	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
66	41, 3, 2, 51, 10	rprmndvdsr1 33731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
67	66	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
68	65, 67	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑌 ∥ 𝑡)
69	20, 68	orcnd 891	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑋)
70		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
71	1, 3, 4	dvdsr 20435	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
72	70, 71	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
73	72	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
74	69, 73	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  CRingccrg 20307  ∥_rcdsr 20427  RPrimecrpm 20505  Domncdomn 20768  IDomncidom 20769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-rprm 20506  df-nzr 20587  df-domn 20771  df-idom 20772

This theorem is referenced by:  rprmasso3  33734