Theorem rprmasso2 33498

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmasso2

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rprmasso.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmasso.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ IDomn)
7		rprmasso2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ∈ 𝐵)
10		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 5, 10	rprmcl 33490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	5	idomringd 20645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 5, 7	rprmcl 33490	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 3	dvdsrid 20287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ 𝑌)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑌)
17	16	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑌)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
19	17, 18	breqtrrd 5121	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 19	rprmdvds 33491	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑌 ∥ 𝑡 ∨ 𝑌 ∥ 𝑋))
21	11	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
26		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
27	1, 4, 22, 13, 11	ringlzd 20215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
29	25, 26, 28	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
30	2, 22, 5, 7	rprmnz 33492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
31	30	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
32	31	neneqd 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑌 = (0g‘𝑅))
33	29, 32	pm2.65da 816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑡 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
36	23, 35	eldifsnd 4738	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
37	13	ad5antr 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	1, 4, 37, 38, 39	ringcld 20180	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
41		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	1, 41	ringidcl 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	13, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
44	43	ad5antr 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	5	idomdomd 20643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
46	45	ad5antr 734	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Domn)
47	18	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
48	47	oveq2d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)𝑌))
49		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
50	48, 49	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = 𝑡)
51	5	idomcringd 20644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
52	51	ad5antr 734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ CRing)
53	1, 4, 52, 23, 38, 39	crng12d 20178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
54	1, 4, 41, 37, 23	ringridmd 20193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑡)
55	50, 53, 54	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	1, 22, 4, 36, 40, 44, 46, 55	domnlcan 20638	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
57	14	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∥ 𝑡)
59	1, 3, 4	dvdsr2 20283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∥ 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡))
60	59	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
61	57, 58, 60	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
62	56, 61	reximddv3 3150	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
63	1, 3, 4	dvdsr2 20283	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)))
64	63	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
65	21, 62, 64	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
66	41, 3, 2, 51, 10	rprmndvdsr1 33496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
67	66	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
68	65, 67	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑌 ∥ 𝑡)
69	20, 68	orcnd 878	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑋)
70		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
71	1, 3, 4	dvdsr 20282	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
72	70, 71	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
73	72	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
74	69, 73	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  ._rcmulr 17164  0_gc0g 17345  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  ∥_rcdsr 20274  RPrimecrpm 20352  Domncdomn 20609  IDomncidom 20610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-rprm 20353  df-nzr 20430  df-domn 20612  df-idom 20613

This theorem is referenced by:  rprmasso3  33499