Theorem rprmasso2 34104

Description: In an integral domain, if a prime element divides another, they are associates. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmasso.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rprmasso.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmasso.d	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
rprmasso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
rprmasso.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
rprmasso.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
rprmasso2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmasso2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

Proof of Theorem rprmasso2

Dummy variables 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprmasso.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rprmasso.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
3		rprmasso.d	. . . 4 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		rprmasso.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑅 ∈ IDomn)
7		rprmasso2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝑃)
9		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ∈ 𝐵)
10		rprmasso.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	1, 2, 5, 10	rprmcl 34096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	11	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	5	idomringd 20984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	1, 2, 5, 7	rprmcl 34096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15	1, 3	dvdsrid 20602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∥ 𝑌)
16	13, 14, 15	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑌)
17	16	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑌)
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
19	17, 18	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋))
20	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 19	rprmdvds 34097	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → (𝑌 ∥ 𝑡 ∨ 𝑌 ∥ 𝑋))
21	11	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
23	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑡 = (0g‘𝑅))
25	24	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋))
26		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
27	1, 4, 22, 13, 11	ringlzd 20531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
29	25, 26, 28	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 = (0g‘𝑅))
30	2, 22, 5, 7	rprmnz 34098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
31	30	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → 𝑌 ≠ (0g‘𝑅))
32	31	neneqd 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑡 = (0g‘𝑅)) → ¬ 𝑌 = (0g‘𝑅))
33	29, 32	pm2.65da 829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑡 = (0g‘𝑅))
34	33	neqned 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
35	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ≠ (0g‘𝑅))
36	23, 35	eldifsnd 4746	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
37	13	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Ring)
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝐵)
39	12	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40	1, 4, 37, 38, 39	ringcld 20489	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) ∈ 𝐵)
41		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
42	1, 41	ringidcl 20499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	13, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
44	43	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	5	idomdomd 20982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
46	45	ad5antr 747	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ Domn)
47	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
48	47	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)𝑌))
49		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
50	48, 49	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)) = 𝑡)
51	5	idomcringd 20983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
52	51	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → 𝑅 ∈ CRing)
53	1, 4, 52, 23, 38, 39	crng12d 20491	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑢(.r‘𝑅)(𝑡(.r‘𝑅)𝑋)))
54	1, 4, 41, 37, 23	ringridmd 20507	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑡)
55	50, 53, 54	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑡(.r‘𝑅)(𝑢(.r‘𝑅)𝑋)) = (𝑡(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
56	1, 22, 4, 36, 40, 44, 46, 55	domnlcan 20977	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ 𝐵) ∧ (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡) → (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
57	14	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝐵)
58		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑌 ∥ 𝑡)
59	1, 3, 4	dvdsr2 20598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → (𝑌 ∥ 𝑡 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡))
60	59	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
61	57, 58, 60	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑌) = 𝑡)
62	56, 61	reximddv3 3179	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅))
63	1, 3, 4	dvdsr2 20598	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∥ (1r‘𝑅) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)))
64	63	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑢(.r‘𝑅)𝑋) = (1r‘𝑅)) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
65	21, 62, 64	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
66	41, 3, 2, 51, 10	rprmndvdsr1 34102	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
67	66	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) ∧ 𝑌 ∥ 𝑡) → ¬ 𝑋 ∥ (1r‘𝑅))
68	65, 67	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → ¬ 𝑌 ∥ 𝑡)
69	20, 68	orcnd 892	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌) → 𝑌 ∥ 𝑋)
70		rprmasso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∥ 𝑌)
71	1, 3, 4	dvdsr 20597	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
72	70, 71	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌))
73	72	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑡(.r‘𝑅)𝑋) = 𝑌)
74	69, 73	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∥ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434  0_gc0g 17615  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  CRingccrg 20465  ∥_rcdsr 20589  RPrimecrpm 20667  Domncdomn 20949  IDomncidom 20950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-rprm 20668  df-nzr 20768  df-domn 20952  df-idom 20953

This theorem is used by:  rprmasso3  34105