Theorem r1pid2 26280

Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid2.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		r1pid2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20783	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		r1pid2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
8		r1pid2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
10		r1pid2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		r1pid2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 1, 11	q1pcl 26275	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	10, 1, 11	uc1pcl 26262	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	8, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	10, 2, 11	uc1pn0 26264	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
17	8, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
18	15, 17	eldifsnd 4750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑃)}))
19	10	ply1domn 26242	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
20	4, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
21	1, 2, 3, 13, 18, 20	domneq0r 20799	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
22		r1pid2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24	10, 1, 11, 9, 22, 3, 23	r1pid 26279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
25	6, 7, 8, 24	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
26	25	eqeq2d 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27		eqcom 2772	. . . 4 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
28	26, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29		domnring 20783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	20, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20315	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	22, 10, 1, 11	r1pcl 26277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
34	1, 23, 2, 31, 33	grplidd 19026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
35	34	eqeq2d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
36	1, 3, 30, 13, 15	ringcld 20333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
37	1, 2	ring0cl 20341	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
38	30, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
39	1, 23	grprcan 19030	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
40	31, 36, 38, 33, 39	syl13anc 1395	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
41	28, 35, 40	3bitr2d 310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
42	1, 3, 2, 30, 15	ringlzd 20369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
43	42	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
44		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
45	1, 2, 44	grpsubid1 19082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
46	31, 7, 45	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
47	43, 46	eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
48	47	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
49	48	breq1d 5115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
50	38	biantrurd 541	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
51		r1pid2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
52	9, 10, 1, 51, 44, 3, 11	q1peqb 26274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	6, 7, 8, 52	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	49, 50, 53	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
55	21, 41, 54	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   < clt 11231  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992  Ringcrg 20306  Domncdomn 20768  Poly₁cpl1 22297  deg₁cdg1 26172  Unic_1pcuc1p 26245  quot_1pcq1p 26246  rem_1pcr1p 26247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-nzr 20587  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-cnfld 21483  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-psr1 22300  df-vr1 22301  df-ply1 22302  df-coe1 22303  df-mdeg 26173  df-deg1 26174  df-uc1p 26250  df-q1p 26251  df-r1p 26252

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  34030  algextdeglem8  34031