MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pid2 26201
Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
r1pid2.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n 𝑁 = (Unic1p𝑅)
r1pid2.e 𝐸 = (rem1p𝑅)
r1pid2.d 𝐷 = (deg1𝑅)
r1pid2.r (𝜑𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a (𝜑𝐴𝑈)
r1pid2.b (𝜑𝐵𝑁)
Assertion
Ref Expression
r1pid2 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷𝐴) < (𝐷𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2
StepHypRef Expression
1 r1pid2.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2737 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
3 eqid 2737 . . 3 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4 r1pid2.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
5 domnring 20707 . . . . 5 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 r1pid2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
8 r1pid2.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑁)
9 eqid 2737 . . . . 5 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
10 r1pid2.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
11 r1pid2.n . . . . 5 𝑁 = (Unic1p𝑅)
129, 10, 1, 11q1pcl 26196 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
136, 7, 8, 12syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
1410, 1, 11uc1pcl 26183 . . . . 5 (𝐵𝑁𝐵𝑈)
158, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
1610, 2, 11uc1pn0 26185 . . . . 5 (𝐵𝑁𝐵 ≠ (0g𝑃))
178, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ (0g𝑃))
1815, 17eldifsnd 4787 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g𝑃)}))
1910ply1domn 26163 . . . 4 (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
204, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Domn)
211, 2, 3, 13, 18, 20domneq0r 20724 . 2 (𝜑 → (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
22 r1pid2.e . . . . . . 7 𝐸 = (rem1p𝑅)
23 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g𝑃)
2410, 1, 11, 9, 22, 3, 23r1pid 26200 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
256, 7, 8, 24syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
2625eqeq2d 2748 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27 eqcom 2744 . . . 4 ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
2826, 27bitr4di 289 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29 domnring 20707 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
3020, 29syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
3130ringgrpd 20239 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3222, 10, 1, 11r1pcl 26198 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
336, 7, 8, 32syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
341, 23, 2, 31, 33grplidd 18987 . . . 4 (𝜑 → ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
3534eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
361, 3, 30, 13, 15ringcld 20257 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
371, 2ring0cl 20264 . . . . 5 (𝑃 ∈ Ring → (0g𝑃) ∈ 𝑈)
3830, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝑈)
391, 23grprcan 18991 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
4031, 36, 38, 33, 39syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g𝑃)(+g𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
4128, 35, 403bitr2d 307 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p𝑅)𝐵)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃)))
421, 3, 2, 30, 15ringlzd 20292 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵) = (0g𝑃))
4342oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)))
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 (-g𝑃) = (-g𝑃)
451, 2, 44grpsubid1 19043 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝐴)
4631, 7, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(-g𝑃)(0g𝑃)) = 𝐴)
4743, 46eqtr2d 2778 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵)))
4847fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))))
4948breq1d 5153 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐴) < (𝐷𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)))
5038biantrurd 532 . . 3 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵) ↔ ((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵))))
51 r1pid2.d . . . . 5 𝐷 = (deg1𝑅)
529, 10, 1, 51, 44, 3, 11q1peqb 26195 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈𝐵𝑁) → (((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
536, 7, 8, 52syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (((0g𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g𝑃)((0g𝑃)(.r𝑃)𝐵))) < (𝐷𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
5449, 50, 533bitrd 305 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐴) < (𝐷𝐵) ↔ (𝐴(quot1p𝑅)𝐵) = (0g𝑃)))
5521, 41, 543bitr4d 311 1 (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷𝐴) < (𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953  Ringcrg 20230  Domncdomn 20692  Poly1cpl1 22178  deg1cdg1 26093  Unic1pcuc1p 26166  quot1pcq1p 26167  rem1pcr1p 26168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173
This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33764  algextdeglem8  33765
  Copyright terms: Public domain W3C validator