Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  r1pid2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem r1pid2 32954
Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐡. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
r1padd1.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
r1padd1.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
r1padd1.n 𝑁 = (Unic1pβ€˜π‘…)
r1padd1.e 𝐸 = (rem1pβ€˜π‘…)
r1pid2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
r1pid2.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
r1pid2.p (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
r1pid2.q (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
r1pid2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ (π·β€˜π΄) < (π·β€˜π΅)))
Proof of Theorem r1pid2
StepHypRef Expression
1 r1pid2.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ IDomn)
21idomringd 32645 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 r1pid2.p . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
4 r1pid2.q . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑁)
5 r1padd1.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
6 r1padd1.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 r1padd1.n . . . . . . . 8 𝑁 = (Unic1pβ€˜π‘…)
8 eqid 2730 . . . . . . . 8 (quot1pβ€˜π‘…) = (quot1pβ€˜π‘…)
9 r1padd1.e . . . . . . . 8 𝐸 = (rem1pβ€˜π‘…)
10 eqid 2730 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
11 eqid 2730 . . . . . . . 8 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11r1pid 25912 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐡 ∈ 𝑁) β†’ 𝐴 = (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)))
132, 3, 4, 12syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)))
1413eqeq2d 2741 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐡) = (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡))))
15 eqcom 2737 . . . . 5 ((((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = (𝐴𝐸𝐡) ↔ (𝐴𝐸𝐡) = (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)))
1614, 15bitr4di 288 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = (𝐴𝐸𝐡)))
17 eqid 2730 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
185ply1ring 21990 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
192, 18syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2019ringgrpd 20136 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Grp)
219, 5, 6, 7r1pcl 25910 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐡 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴𝐸𝐡) ∈ π‘ˆ)
222, 3, 4, 21syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐸𝐡) ∈ π‘ˆ)
236, 11, 17, 20, 22grplidd 18890 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = (𝐴𝐸𝐡))
2423eqeq2d 2741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = ((0gβ€˜π‘ƒ)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) ↔ (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = (𝐴𝐸𝐡)))
258, 5, 6, 7q1pcl 25908 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐡 ∈ 𝑁) β†’ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) ∈ π‘ˆ)
262, 3, 4, 25syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) ∈ π‘ˆ)
275, 6, 7uc1pcl 25896 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ 𝑁 β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
284, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘ˆ)
296, 10, 19, 26, 28ringcld 20151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) ∈ π‘ˆ)
306, 17ring0cl 20155 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ)
312, 18, 303syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ)
326, 11grprcan 18894 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) ∈ π‘ˆ ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴𝐸𝐡) ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = ((0gβ€˜π‘ƒ)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) ↔ ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
3320, 29, 31, 22, 32syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) = ((0gβ€˜π‘ƒ)(+gβ€˜π‘ƒ)(𝐴𝐸𝐡)) ↔ ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
3416, 24, 333bitr2d 306 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
35 isidom 21122 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
361, 35sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
3736simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
385ply1crng 21941 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
3937, 38syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
406, 10crngcom 20145 . . . . 5 ((𝑃 ∈ CRing ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ ∧ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐡(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)) = ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))
4139, 28, 26, 40syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)) = ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))
4241eqeq1d 2732 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ ((𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
431idomdomd 32644 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Domn)
445ply1domn 25876 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn β†’ 𝑃 ∈ Domn)
4543, 44syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Domn)
465, 17, 7uc1pn0 25898 . . . . . 6 (𝐡 ∈ 𝑁 β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
474, 46syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ))
48 eqid 2730 . . . . . 6 (RLRegβ€˜π‘ƒ) = (RLRegβ€˜π‘ƒ)
496, 48, 17domnrrg 21116 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Domn ∧ 𝐡 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐡 β‰  (0gβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐡 ∈ (RLRegβ€˜π‘ƒ))
5045, 28, 47, 49syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (RLRegβ€˜π‘ƒ))
5148, 6, 10, 17rrgeq0 21106 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐡 ∈ (RLRegβ€˜π‘ƒ) ∧ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝐡(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5219, 50, 26, 51syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐡(.rβ€˜π‘ƒ)(𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
5334, 42, 523bitr2d 306 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
546, 10, 17, 19, 28ringlzd 20183 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5554oveq2d 7427 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)) = (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)))
56 eqid 2730 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π‘ƒ) = (-gβ€˜π‘ƒ)
576, 17, 56grpsubid1 18944 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = 𝐴)
5820, 3, 57syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = 𝐴)
5955, 58eqtr2d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡)))
6059fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π΄) = (π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))))
6160breq1d 5157 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π΄) < (π·β€˜π΅) ↔ (π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))) < (π·β€˜π΅)))
6231biantrurd 531 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))) < (π·β€˜π΅) ↔ ((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))) < (π·β€˜π΅))))
63 r1pid2.d . . . . 5 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘…)
648, 5, 6, 63, 56, 10, 7q1peqb 25907 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐡 ∈ 𝑁) β†’ (((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))) < (π·β€˜π΅)) ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
652, 3, 4, 64syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (((0gβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘ˆ ∧ (π·β€˜(𝐴(-gβ€˜π‘ƒ)((0gβ€˜π‘ƒ)(.rβ€˜π‘ƒ)𝐡))) < (π·β€˜π΅)) ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6661, 62, 653bitrd 304 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π΄) < (π·β€˜π΅) ↔ (𝐴(quot1pβ€˜π‘…)𝐡) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6753, 66bitr4d 281 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐸𝐡) = 𝐴 ↔ (π·β€˜π΄) < (π·β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   < clt 11252  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  RLRegcrlreg 21095  Domncdomn 21096  IDomncidom 21097  Poly1cpl1 21920   deg1 cdg1 25804  Unic1pcuc1p 25879  quot1pcq1p 25880  rem1pcr1p 25881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-nzr 20404  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-rlreg 21099  df-domn 21100  df-idom 21101  df-cnfld 21145  df-ascl 21629  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-vr1 21924  df-ply1 21925  df-coe1 21926  df-mdeg 25805  df-deg1 25806  df-uc1p 25884  df-q1p 25885  df-r1p 25886
This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33068  algextdeglem8  33069
  Copyright terms: Public domain W3C validator