Theorem r1pid2 26201

Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid2.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		r1pid2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20707	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		r1pid2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
8		r1pid2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
10		r1pid2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		r1pid2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 1, 11	q1pcl 26196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	10, 1, 11	uc1pcl 26183	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	8, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	10, 2, 11	uc1pn0 26185	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
18	15, 17	eldifsnd 4787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑃)}))
19	10	ply1domn 26163	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
20	4, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
21	1, 2, 3, 13, 18, 20	domneq0r 20724	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
22		r1pid2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24	10, 1, 11, 9, 22, 3, 23	r1pid 26200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
25	6, 7, 8, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
26	25	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
28	26, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29		domnring 20707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	20, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	22, 10, 1, 11	r1pcl 26198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
34	1, 23, 2, 31, 33	grplidd 18987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
35	34	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
36	1, 3, 30, 13, 15	ringcld 20257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
37	1, 2	ring0cl 20264	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
38	30, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
39	1, 23	grprcan 18991	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
40	31, 36, 38, 33, 39	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
41	28, 35, 40	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
42	1, 3, 2, 30, 15	ringlzd 20292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
43	42	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
44		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
45	1, 2, 44	grpsubid1 19043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
46	31, 7, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
47	43, 46	eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
48	47	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
49	48	breq1d 5153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
50	38	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
51		r1pid2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
52	9, 10, 1, 51, 44, 3, 11	q1peqb 26195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	6, 7, 8, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	49, 50, 53	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
55	21, 41, 54	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   < clt 11295  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  Ringcrg 20230  Domncdomn 20692  Poly₁cpl1 22178  deg₁cdg1 26093  Unic_1pcuc1p 26166  quot_1pcq1p 26167  rem_1pcr1p 26168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-coe1 22184  df-mdeg 26094  df-deg1 26095  df-uc1p 26171  df-q1p 26172  df-r1p 26173

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33764  algextdeglem8  33765