Theorem r1pid2 26137

Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid2.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		r1pid2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20675	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		r1pid2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
8		r1pid2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
10		r1pid2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		r1pid2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 1, 11	q1pcl 26132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	10, 1, 11	uc1pcl 26119	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	8, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	10, 2, 11	uc1pn0 26121	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
18	15, 17	eldifsnd 4731	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑃)}))
19	10	ply1domn 26099	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
20	4, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
21	1, 2, 3, 13, 18, 20	domneq0r 20692	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
22		r1pid2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24	10, 1, 11, 9, 22, 3, 23	r1pid 26136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
25	6, 7, 8, 24	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
26	25	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
28	26, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29		domnring 20675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	20, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	22, 10, 1, 11	r1pcl 26134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
34	1, 23, 2, 31, 33	grplidd 18936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
35	34	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
36	1, 3, 30, 13, 15	ringcld 20232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
37	1, 2	ring0cl 20239	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
38	30, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
39	1, 23	grprcan 18940	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
40	31, 36, 38, 33, 39	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
41	28, 35, 40	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
42	1, 3, 2, 30, 15	ringlzd 20267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
43	42	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
44		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
45	1, 2, 44	grpsubid1 18992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
46	31, 7, 45	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
47	43, 46	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
48	47	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
49	48	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
50	38	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
51		r1pid2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
52	9, 10, 1, 51, 44, 3, 11	q1peqb 26131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	6, 7, 8, 52	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	49, 50, 53	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
55	21, 41, 54	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   < clt 11170  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  Ringcrg 20205  Domncdomn 20660  Poly₁cpl1 22150  deg₁cdg1 26029  Unic_1pcuc1p 26102  quot_1pcq1p 26103  rem_1pcr1p 26104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-nzr 20481  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-cnfld 21345  df-ascl 21845  df-psr 21899  df-mvr 21900  df-mpl 21901  df-opsr 21903  df-psr1 22153  df-vr1 22154  df-ply1 22155  df-coe1 22156  df-mdeg 26030  df-deg1 26031  df-uc1p 26107  df-q1p 26108  df-r1p 26109

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33883  algextdeglem8  33884