Theorem r1pid2 26356

Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid2.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		r1pid2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20843	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		r1pid2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
8		r1pid2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
10		r1pid2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		r1pid2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 1, 11	q1pcl 26351	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	10, 1, 11	uc1pcl 26338	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	8, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	10, 2, 11	uc1pn0 26340	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
17	8, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
18	15, 17	eldifsnd 4760	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑃)}))
19	10	ply1domn 26318	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
20	4, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
21	1, 2, 3, 13, 18, 20	domneq0r 20859	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
22		r1pid2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24	10, 1, 11, 9, 22, 3, 23	r1pid 26355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
25	6, 7, 8, 24	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
26	25	eqeq2d 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27		eqcom 2773	. . . 4 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
28	26, 27	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29		domnring 20843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	20, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	22, 10, 1, 11	r1pcl 26353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
34	1, 23, 2, 31, 33	grplidd 19067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
35	34	eqeq2d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
36	1, 3, 30, 13, 15	ringcld 20370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
37	1, 2	ring0cl 20382	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
38	30, 37	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
39	1, 23	grprcan 19071	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
40	31, 36, 38, 33, 39	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
41	28, 35, 40	3bitr2d 310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
42	1, 3, 2, 30, 15	ringlzd 20411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
43	42	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
44		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
45	1, 2, 44	grpsubid1 19122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
46	31, 7, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
47	43, 46	eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
48	47	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
49	48	breq1d 5124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
50	38	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
51		r1pid2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
52	9, 10, 1, 51, 44, 3, 11	q1peqb 26350	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	6, 7, 8, 52	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	49, 50, 53	3bitrd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
55	21, 41, 54	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   < clt 11261  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033  Ringcrg 20346  Domncdomn 20828  Poly₁cpl1 22374  deg₁cdg1 26248  Unic_1pcuc1p 26321  quot_1pcq1p 26322  rem_1pcr1p 26323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-nzr 20647  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-rlreg 20830  df-domn 20831  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-cnfld 21560  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380  df-mdeg 26249  df-deg1 26250  df-uc1p 26326  df-q1p 26327  df-r1p 26328

This theorem is used by:  algextdeglem7  34144  algextdeglem8  34145