Theorem r1pid2 26092

Description: Identity law for polynomial remainder operation: it leaves a polynomial 𝐴 unchanged iff the degree of 𝐴 is less than the degree of the divisor 𝐵. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.) Generalize to domains. (Revised by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r1pid2.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
r1pid2.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
r1pid2.n	⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
r1pid2.e	⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
r1pid2.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
r1pid2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
r1pid2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
r1pid2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
r1pid2	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Proof of Theorem r1pid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1pid2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
3		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
4		r1pid2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
5		domnring 20620	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		r1pid2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
8		r1pid2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑁)
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (quot1p‘𝑅) = (quot1p‘𝑅)
10		r1pid2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
11		r1pid2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Unic1p‘𝑅)
12	9, 10, 1, 11	q1pcl 26087	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
13	6, 7, 8, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) ∈ 𝑈)
14	10, 1, 11	uc1pcl 26074	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ∈ 𝑈)
15	8, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)
16	10, 2, 11	uc1pn0 26076	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑁 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ (0g‘𝑃))
18	15, 17	eldifsnd 4739	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑈 ∖ {(0g‘𝑃)}))
19	10	ply1domn 26054	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Domn)
20	4, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Domn)
21	1, 2, 3, 13, 18, 20	domneq0r 20637	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
22		r1pid2.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (rem1p‘𝑅)
23		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
24	10, 1, 11, 9, 22, 3, 23	r1pid 26091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
25	6, 7, 8, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
26	25	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵))))
27		eqcom 2738	. . . 4 ⊢ ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵) ↔ (𝐴𝐸𝐵) = (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)))
28	26, 27	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
29		domnring 20620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Domn → 𝑃 ∈ Ring)
30	20, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	30	ringgrpd 20158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
32	22, 10, 1, 11	r1pcl 26089	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
33	6, 7, 8, 32	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)
34	1, 23, 2, 31, 33	grplidd 18879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵))
35	34	eqeq2d 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = (𝐴𝐸𝐵)))
36	1, 3, 30, 13, 15	ringcld 20176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈)
37	1, 2	ring0cl 20183	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
38	30, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑃) ∈ 𝑈)
39	1, 23	grprcan 18883	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐴𝐸𝐵) ∈ 𝑈)) → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
40	31, 36, 38, 33, 39	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) = ((0g‘𝑃)(+g‘𝑃)(𝐴𝐸𝐵)) ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
41	28, 35, 40	3bitr2d 307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ ((𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃)))
42	1, 3, 2, 30, 15	ringlzd 20211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵) = (0g‘𝑃))
43	42	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)) = (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)))
44		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
45	1, 2, 44	grpsubid1 18935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
46	31, 7, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝑃)(0g‘𝑃)) = 𝐴)
47	43, 46	eqtr2d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵)))
48	47	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐴) = (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))))
49	48	breq1d 5101	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)))
50	38	biantrurd 532	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵) ↔ ((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵))))
51		r1pid2.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
52	9, 10, 1, 51, 44, 3, 11	q1peqb 26086	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ∈ 𝑁) → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
53	6, 7, 8, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((0g‘𝑃) ∈ 𝑈 ∧ (𝐷‘(𝐴(-g‘𝑃)((0g‘𝑃)(.r‘𝑃)𝐵))) < (𝐷‘𝐵)) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
54	49, 50, 53	3bitrd 305	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵) ↔ (𝐴(quot1p‘𝑅)𝐵) = (0g‘𝑃)))
55	21, 41, 54	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐸𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐷‘𝐴) < (𝐷‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   < clt 11143  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  ._rcmulr 17159  0_gc0g 17340  Grpcgrp 18843  -_gcsg 18845  Ringcrg 20149  Domncdomn 20605  Poly₁cpl1 22087  deg₁cdg1 25984  Unic_1pcuc1p 26057  quot_1pcq1p 26058  rem_1pcr1p 26059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20426  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-rlreg 20607  df-domn 20608  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-cnfld 21290  df-ascl 21790  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22090  df-vr1 22091  df-ply1 22092  df-coe1 22093  df-mdeg 25985  df-deg1 25986  df-uc1p 26062  df-q1p 26063  df-r1p 26064

This theorem is referenced by:  algextdeglem7  33731  algextdeglem8  33732