Theorem deg1pow 42572

Description: Exact degree of a power of a polynomial in an integral domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1pow.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
deg1pow.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.6	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1pow	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1pow

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pow.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)))
3		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹))))
5		fvoveq1 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)))
6		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))))
8		fvoveq1 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)))
9		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹))))
11		fvoveq1 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)))
12		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
13	11, 12	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
14		deg1pow.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	15, 16	mgpbas 20084	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
19	15, 18	ringidval 20122	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
20		deg1pow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
21	17, 19, 20	mulg0 19008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
22	14, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
23	22	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))))
24		deg1pow.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnring 20642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	30, 31, 32, 18	ply1scl1 22235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Poly1‘𝑅)) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)))
36	35	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	37, 32	ringidcl 20204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
41		domnnzr 20641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
43		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	32, 43	nzrnz 20450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
46		deg1pow.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
47	46, 30, 37, 31, 43	deg1scl 26059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
48	29, 39, 45, 47	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
49	36, 48	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = 0)
50	23, 49	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = 0)
51		deg1pow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
52		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
53	46, 30, 52, 16	deg1nn0cl 26034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
54	29, 14, 51, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12465	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 11332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐷‘𝐹)) = 0)
57	56	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0 · (𝐷‘𝐹)))
58	50, 57	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
59	30	ply1idom 26071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
60	24, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
61	60	idomringd 20663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
64	15	ringmgp 20178	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
66		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
67	14	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
68		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
69	17, 20, 68	mulgnn0p1 19019	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
70	65, 66, 67, 69	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
71	70	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)))
72		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
73	15, 72	mgpplusg 20083	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
74	73	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
75	24	idomdomd 20661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
76	75	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑅 ∈ Domn)
78	17, 20, 65, 66, 67	mulgnn0cld 19029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
79	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
81	51	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
82	80, 67, 81, 66, 20	idomnnzpownz 42563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
83	46, 30, 16, 74, 52, 77, 78, 82, 67, 81	deg1mul 26061	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
85	84	oveq1d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
86	66	nn0cnd 12465	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	55	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
88	86, 87	adddirp1d 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
89	88	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
90	85, 89	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
91	83, 90	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
92	71, 91	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
93	4, 7, 10, 13, 58, 92	nn0indd 12590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
94	93	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
95	1, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  ℕ₀cn0 12402  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  ._rcmulr 17179  0_gc0g 17360  Mndcmnd 18660  ._gcmg 19001  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  NzRingcnzr 20447  Domncdomn 20627  IDomncidom 20628  algSccascl 21809  Poly₁cpl1 22118  deg₁cdg1 26000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12609  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-hash 14255  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-starv 17193  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-tset 17197  df-ple 17198  df-ds 17200  df-unif 17201  df-hom 17202  df-cco 17203  df-0g 17362  df-gsum 17363  df-prds 17368  df-pws 17370  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-nzr 20448  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-idom 20631  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-cnfld 21312  df-ascl 21812  df-psr 21866  df-mvr 21867  df-mpl 21868  df-opsr 21870  df-psr1 22121  df-vr1 22122  df-ply1 22123  df-coe1 22124  df-mdeg 26001  df-deg1 26002

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  42601