Theorem deg1pow 42598

Description: Exact degree of a power of a polynomial in an integral domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1pow.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
deg1pow.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.6	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1pow	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1pow

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pow.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)))
3		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹))))
5		fvoveq1 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)))
6		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
7	5, 6	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))))
8		fvoveq1 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)))
9		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹))))
11		fvoveq1 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)))
12		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
13	11, 12	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
14		deg1pow.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	15, 16	mgpbas 20121	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
19	15, 18	ringidval 20159	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
20		deg1pow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
21	17, 19, 20	mulg0 19045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
22	14, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
23	22	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))))
24		deg1pow.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnring 20679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	30, 31, 32, 18	ply1scl1 22271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Poly1‘𝑅)) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)))
36	35	fveq2d 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	37, 32	ringidcl 20241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
41		domnnzr 20678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
43		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	32, 43	nzrnz 20487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
46		deg1pow.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
47	46, 30, 37, 31, 43	deg1scl 26092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
48	29, 39, 45, 47	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
49	36, 48	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = 0)
50	23, 49	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = 0)
51		deg1pow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
52		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
53	46, 30, 52, 16	deg1nn0cl 26067	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
54	29, 14, 51, 53	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐷‘𝐹)) = 0)
57	56	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0 · (𝐷‘𝐹)))
58	50, 57	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
59	30	ply1idom 26104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
60	24, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
61	60	idomringd 20700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
64	15	ringmgp 20215	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
66		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
67	14	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
68		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
69	17, 20, 68	mulgnn0p1 19056	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
70	65, 66, 67, 69	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
71	70	fveq2d 6840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)))
72		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
73	15, 72	mgpplusg 20120	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
74	73	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
75	24	idomdomd 20698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
76	75	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑅 ∈ Domn)
78	17, 20, 65, 66, 67	mulgnn0cld 19066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
79	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
81	51	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
82	80, 67, 81, 66, 20	idomnnzpownz 42589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
83	46, 30, 16, 74, 52, 77, 78, 82, 67, 81	deg1mul 26094	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
85	84	oveq1d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
86	66	nn0cnd 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	55	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
88	86, 87	adddirp1d 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
89	88	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
90	85, 89	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
91	83, 90	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
92	71, 91	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
93	4, 7, 10, 13, 58, 92	nn0indd 12621	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
94	93	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
95	1, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Mndcmnd 18697  ._gcmg 19038  mulGrpcmgp 20116  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  NzRingcnzr 20484  Domncdomn 20664  IDomncidom 20665  algSccascl 21846  Poly₁cpl1 22154  deg₁cdg1 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-nzr 20485  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-rlreg 20666  df-domn 20667  df-idom 20668  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-cnfld 21349  df-ascl 21849  df-psr 21903  df-mvr 21904  df-mpl 21905  df-opsr 21907  df-psr1 22157  df-vr1 22158  df-ply1 22159  df-coe1 22160  df-mdeg 26034  df-deg1 26035

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  42627