Theorem deg1pow 43111

Description: Exact degree of a power of a polynomial in an integral domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1pow.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
deg1pow.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.6	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1pow	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1pow

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pow.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)))
3		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
4	2, 3	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹))))
5		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)))
6		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
7	5, 6	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))))
8		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)))
9		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
10	8, 9	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹))))
11		fvoveq1 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)))
12		oveq1 7415	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
13	11, 12	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
14		deg1pow.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	15, 16	mgpbas 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
18		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
19	15, 18	ringidval 20370	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
20		deg1pow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
21	17, 19, 20	mulg0 19245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
22	14, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
23	22	fveq2d 6877	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))))
24		deg1pow.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnring 20920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
29	24, 28	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
31		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	30, 31, 32, 18	ply1scl1 22572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
34	29, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Poly1‘𝑅)) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)))
36	35	fveq2d 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))))
37		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	37, 32	ringidcl 20455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	29, 38	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	24, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
41		domnnzr 20919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
42	40, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
43		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	32, 43	nzrnz 20726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
45	42, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
46		deg1pow.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
47	46, 30, 37, 31, 43	deg1scl 26392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
48	29, 39, 45, 47	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
49	36, 48	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = 0)
50	23, 49	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = 0)
51		deg1pow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
52		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
53	46, 30, 52, 16	deg1nn0cl 26367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
54	29, 14, 51, 53	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 11479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐷‘𝐹)) = 0)
57	56	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0 · (𝐷‘𝐹)))
58	50, 57	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
59	30	ply1idom 26404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
60	24, 59	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
61	60	idomringd 20940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
63	62	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
64	15	ringmgp 20426	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
65	63, 64	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
66		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
67	14	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
68		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
69	17, 20, 68	mulgnn0p1 19256	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
70	65, 66, 67, 69	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
71	70	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)))
72		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
73	15, 72	mgpplusg 20325	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
74	73	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
75	24	idomdomd 20938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
76	75	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
77	76	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑅 ∈ Domn)
78	17, 20, 65, 66, 67	mulgnn0cld 19266	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
79	60	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
80	79	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
81	51	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
82	80, 67, 81, 66, 20	idomnnzpownz 43102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
83	46, 30, 16, 74, 52, 77, 78, 82, 67, 81	deg1mul 26394	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
84		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
85	84	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
86	66	nn0cnd 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	55	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
88	86, 87	adddirp1d 11306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
89	88	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
90	85, 89	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
91	83, 90	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
92	71, 91	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
93	4, 7, 10, 13, 58, 92	nn0indd 12765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
94	93	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
95	1, 94	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174   · cmul 11176  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  Mndcmnd 18884  ._gcmg 19238  mulGrpcmgp 20321  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  NzRingcnzr 20723  Domncdomn 20905  IDomncidom 20906  algSccascl 22121  Poly₁cpl1 22456  deg₁cdg1 26333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-nzr 20724  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-rlreg 20907  df-domn 20908  df-idom 20909  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-cnfld 21640  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461  df-coe1 22462  df-mdeg 26334  df-deg1 26335

This theorem is used by:  aks6d1c6lem1  43140