Theorem deg1pow 42122

Description: Exact degree of a power of a polynomial in an integral domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1pow.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
deg1pow.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.6	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1pow	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1pow

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pow.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)))
3		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
4	2, 3	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹))))
5		fvoveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)))
6		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
7	5, 6	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))))
8		fvoveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)))
9		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
10	8, 9	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹))))
11		fvoveq1 7392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)))
12		oveq1 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
13	11, 12	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
14		deg1pow.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
16		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	15, 16	mgpbas 20065	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
18		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
19	15, 18	ringidval 20103	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
20		deg1pow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
21	17, 19, 20	mulg0 18988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
22	14, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
23	22	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))))
24		deg1pow.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 20645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnring 20627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
31		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
32		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	30, 31, 32, 18	ply1scl1 22212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Poly1‘𝑅)) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)))
36	35	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))))
37		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	37, 32	ringidcl 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
41		domnnzr 20626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
43		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	32, 43	nzrnz 20435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
46		deg1pow.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
47	46, 30, 37, 31, 43	deg1scl 26051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
48	29, 39, 45, 47	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
49	36, 48	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = 0)
50	23, 49	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = 0)
51		deg1pow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
52		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
53	46, 30, 52, 16	deg1nn0cl 26026	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
54	29, 14, 51, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 11348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐷‘𝐹)) = 0)
57	56	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0 · (𝐷‘𝐹)))
58	50, 57	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
59	30	ply1idom 26063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
60	24, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
61	60	idomringd 20648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
63	62	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
64	15	ringmgp 20159	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
66		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
67	14	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
68		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
69	17, 20, 68	mulgnn0p1 18999	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
70	65, 66, 67, 69	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
71	70	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)))
72		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
73	15, 72	mgpplusg 20064	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
74	73	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
75	24	idomdomd 20646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
76	75	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
77	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑅 ∈ Domn)
78	17, 20, 65, 66, 67	mulgnn0cld 19009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
79	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
80	79	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
81	51	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
82	80, 67, 81, 66, 20	idomnnzpownz 42113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
83	46, 30, 16, 74, 52, 77, 78, 82, 67, 81	deg1mul 26053	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
84		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
85	84	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
86	66	nn0cnd 12481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	55	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
88	86, 87	adddirp1d 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
89	88	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
90	85, 89	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
91	83, 90	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
92	71, 91	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
93	4, 7, 10, 13, 58, 92	nn0indd 12607	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
94	93	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
95	1, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Mndcmnd 18643  ._gcmg 18981  mulGrpcmgp 20060  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  NzRingcnzr 20432  Domncdomn 20612  IDomncidom 20613  algSccascl 21794  Poly₁cpl1 22094  deg₁cdg1 25992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-nzr 20433  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-rlreg 20614  df-domn 20615  df-idom 20616  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-cnfld 21297  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-mdeg 25993  df-deg1 25994

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  42151