Theorem deg1pow 41645

Description: Exact degree of a power of a polynomial in an integral domain. (Contributed by metakunt, 6-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1pow.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
deg1pow.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
deg1pow.5	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
deg1pow.6	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
deg1pow	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Proof of Theorem deg1pow

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1pow.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		fvoveq1 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)))
3		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
4	2, 3	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹))))
5		fvoveq1 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)))
6		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
7	5, 6	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))))
8		fvoveq1 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)))
9		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
10	8, 9	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹))))
11		fvoveq1 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)))
12		oveq1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
13	11, 12	eqeq12d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐷‘(𝑥 ↑ 𝐹)) = (𝑥 · (𝐷‘𝐹)) ↔ (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
14		deg1pow.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
15		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝑅))
16		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
17	15, 16	mgpbas 20087	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
18		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅))
19	15, 18	ringidval 20130	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
20		deg1pow.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
21	17, 19, 20	mulg0 19037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
22	14, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝐹) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
23	22	fveq2d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))))
24		deg1pow.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
25		isidom 21261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
26	25	simprbi 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
27		domnring 21250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
30		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
31		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
32		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
33	30, 31, 32, 18	ply1scl1 22219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
34	29, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)) = (1r‘(Poly1‘𝑅)))
35	34	eqcomd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Poly1‘𝑅)) = ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅)))
36	35	fveq2d 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))))
37		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	37, 32	ringidcl 20209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
39	29, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
40	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
41		domnnzr 21249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ NzRing)
43		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
44	32, 43	nzrnz 20461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅))
46		deg1pow.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
47	46, 30, 37, 31, 43	deg1scl 26069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ≠ (0g‘𝑅)) → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
48	29, 39, 45, 47	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(1r‘𝑅))) = 0)
49	36, 48	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘(Poly1‘𝑅))) = 0)
50	23, 49	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = 0)
51		deg1pow.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
52		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝑅)) = (0g‘(Poly1‘𝑅))
53	46, 30, 52, 16	deg1nn0cl 26044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
54	29, 14, 51, 53	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℕ0)
55	54	nn0cnd 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
56	55	mul02d 11450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐷‘𝐹)) = 0)
57	56	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0 · (𝐷‘𝐹)))
58	50, 57	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(0 ↑ 𝐹)) = (0 · (𝐷‘𝐹)))
59	30	ply1idom 26080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
60	24, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
61	60	idomringd 21264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
62	61	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
63	62	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ Ring)
64	15	ringmgp 20186	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝑅) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd)
66		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
67	14	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
68		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
69	17, 20, 68	mulgnn0p1 19047	. . . . . . 7 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝑅)) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
70	65, 66, 67, 69	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝐹) = ((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹))
71	70	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)))
72		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
73	15, 72	mgpplusg 20085	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))
74	73	eqcomi 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅))) = (.r‘(Poly1‘𝑅))
75	24	idomdomd 21262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
76	75	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Domn)
77	76	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑅 ∈ Domn)
78	17, 20, 65, 66, 67	mulgnn0cld 19057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅)))
79	60	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
80	79	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (Poly1‘𝑅) ∈ IDomn)
81	51	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝐹 ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
82	80, 67, 81, 66, 20	idomnnzpownz 41635	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝑦 ↑ 𝐹) ≠ (0g‘(Poly1‘𝑅)))
83	46, 30, 16, 74, 52, 77, 78, 82, 67, 81	deg1mul 41643	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
84		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹)))
85	84	oveq1d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
86	66	nn0cnd 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
87	55	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘𝐹) ∈ ℂ)
88	86, 87	adddirp1d 11278	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)))
89	88	eqcomd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝑦 · (𝐷‘𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
90	85, 89	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → ((𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) + (𝐷‘𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
91	83, 90	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 ↑ 𝐹)(+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝑅)))𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
92	71, 91	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝐷‘(𝑦 ↑ 𝐹)) = (𝑦 · (𝐷‘𝐹))) → (𝐷‘((𝑦 + 1) ↑ 𝐹)) = ((𝑦 + 1) · (𝐷‘𝐹)))
93	4, 7, 10, 13, 58, 92	nn0indd 12697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))
94	93	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹))))
95	1, 94	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐴 ↑ 𝐹)) = (𝐴 · (𝐷‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151  ℕ₀cn0 12510  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  ._rcmulr 17241  0_gc0g 17428  Mndcmnd 18701  ._gcmg 19030  mulGrpcmgp 20081  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  NzRingcnzr 20458  Domncdomn 21234  IDomncidom 21235  algSccascl 21793  Poly₁cpl1 22103   deg₁ cdg1 26007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-nzr 20459  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-rlreg 21237  df-domn 21238  df-idom 21239  df-cnfld 21287  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-coe1 22109  df-mdeg 26008  df-deg1 26009

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem1  41674