MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndplusf 18642
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndplusf (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf
StepHypRef Expression
1 mndmgm 18631 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mndplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndplusf.2 . . 3 = (+𝑓𝐺)
42, 3mgmplusf 18570 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106   × cxp 5674  wf 6539  cfv 6543  Basecbs 17143  +𝑓cplusf 18557  Mgmcmgm 18558  Mndcmnd 18624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625
This theorem is referenced by:  mndpfo  18647  grpplusf  18833  efmndtmd  23604  submtmd  23607  mhmhmeotmd  32902
  Copyright terms: Public domain W3C validator