Theorem mndplusf 18721

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndplusf	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18710	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndplusf.2	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mgmplusf 18619	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   × cxp 5680  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  +_𝑓cplusf 18606  Mgmcmgm 18607  Mndcmnd 18703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-plusf 18608  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704

This theorem is referenced by:  mndpfo  18726  grpplusf  18919  efmndtmd  24033  submtmd  24036  mhmhmeotmd  33569