Theorem mndplusf 18431

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndplusf	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18420	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndplusf.2	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mgmplusf 18364	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   × cxp 5589  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  Basecbs 16940  +_𝑓cplusf 18351  Mgmcmgm 18352  Mndcmnd 18413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-plusf 18353  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414

This theorem is referenced by:  mndpfo  18436  grpplusf  18619  efmndtmd  23280  submtmd  23283  mhmhmeotmd  31905