MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndplusf 18579
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndplusf (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf
StepHypRef Expression
1 mndmgm 18568 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mndplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndplusf.2 . . 3 = (+𝑓𝐺)
42, 3mgmplusf 18512 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107   × cxp 5632  wf 6493  cfv 6497  Basecbs 17088  +𝑓cplusf 18499  Mgmcmgm 18500  Mndcmnd 18561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-plusf 18501  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562
This theorem is referenced by:  mndpfo  18584  grpplusf  18767  efmndtmd  23468  submtmd  23471  mhmhmeotmd  32565
  Copyright terms: Public domain W3C validator