MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndplusf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndplusf 17925
Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndplusf.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2 = (+𝑓𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndplusf (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf
StepHypRef Expression
1 mndmgm 17914 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2 mndplusf.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndplusf.2 . . 3 = (+𝑓𝐺)
42, 3mgmplusf 17858 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
51, 4syl 17 1 (𝐺 ∈ Mnd → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2112   × cxp 5521  wf 6324  cfv 6328  Basecbs 16479  +𝑓cplusf 17845  Mgmcmgm 17846  Mndcmnd 17907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-plusf 17847  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908
This theorem is referenced by:  mndpfo  17930  grpplusf  18111  efmndtmd  22710  submtmd  22713  mhmhmeotmd  31284
  Copyright terms: Public domain W3C validator