Theorem grpissubg 19020

Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpissubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grpissubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		grpissubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
4	3	grpbn0 18847	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
5	4	ad2antlr 725	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6		grpmnd 18822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7		mndmgm 18628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mgm)
9		grpmnd 18822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
10		mndmgm 18628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝐻 ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mgm)
12	8, 11	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
14	13	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
15		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
16	15	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
17		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝑆)
18	17	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
19		grpissubg.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19, 3	mgmsscl 18562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
21	14, 16, 18, 20	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
23		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
26	19	sseq2i 4010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	biimpi 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30		ovres 7569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
32		oveq 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
34	33	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
35	34	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
36	31, 35	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
37	36	ralrimivva 3200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	24, 25, 3, 29, 37	grpinvssd 18896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎 ∈ 𝑆 → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎)))
39	38	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
40		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
41	3, 40	grpinvcl 18868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
42	41	ad4ant24 752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
43	39, 42	eqeltrrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
44	22, 43	jca 512	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
45	44	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
46		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
47		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
48	19, 46, 47	issubg2 19015	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
49	48	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
50	2, 5, 45, 49	mpbir3and 1342	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51	50	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Mgmcmgm 18555  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997

This theorem is referenced by:  resgrpisgrp  19021  pgrpsubgsymg  19271