MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpissubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpissubg 17927
Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
grpissubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
grpissubg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . 4 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆𝐵)
21adantl 474 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆𝐵)
3 grpissubg.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐻)
43grpbn0 17767 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
54ad2antlr 719 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6 ovres 7034 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐺)𝑏))
76adantll 706 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐺)𝑏))
8 simplr 786 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
98ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝐻 ∈ Grp)
10 simplr 786 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝑎𝑆)
11 simpr 478 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → 𝑏𝑆)
12 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (+g𝐻) = (+g𝐻)
133, 12grpcl 17746 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆)
149, 10, 11, 13syl3anc 1491 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆)
15 oveq 6884 . . . . . . . . . . . . 13 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑎(+g𝐻)𝑏) = (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏))
1615eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . 12 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) = (𝑎(+g𝐻)𝑏))
1716eleq1d 2863 . . . . . . . . . . 11 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
1817adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
1918adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
2019ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → ((𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝑎(+g𝐻)𝑏) ∈ 𝑆))
2114, 20mpbird 249 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑏) ∈ 𝑆)
227, 21eqeltrrd 2879 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
2322ralrimiva 3147 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
24 simpl 475 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
2524adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
26 grpissubg.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
2726sseq2i 3826 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2827biimpi 208 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2928adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
3029adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
31 ovres 7034 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
3231adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
33 oveq 6884 . . . . . . . . . . . . 13 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3433adantl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3534eqcomd 2805 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3635ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3732, 36eqtr3d 2835 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3837ralrimivva 3152 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3925, 8, 3, 30, 38grpinvssd 17808 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎)))
4039imp 396 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎))
41 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (invg𝐻) = (invg𝐻)
423, 41grpinvcl 17783 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4342ex 402 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4443ad2antlr 719 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4544imp 396 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4640, 45eqeltrrd 2879 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4723, 46jca 508 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4847ralrimiva 3147 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
49 eqid 2799 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
50 eqid 2799 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
5126, 49, 50issubg2 17922 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
5251ad2antrr 718 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
532, 5, 48, 52mpbir3and 1443 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5453ex 402 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wss 3769  c0 4115   × cxp 5310  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  Grpcgrp 17738  invgcminusg 17739  SubGrpcsubg 17901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-subg 17904
This theorem is referenced by:  resgrpisgrp  17928  pgrpsubgsymg  18140
  Copyright terms: Public domain W3C validator