Theorem grpissubg 19383

Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpissubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grpissubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		grpissubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
4	3	grpbn0 19203	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
5	4	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6		grpmnd 19177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7		mndmgm 18956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mgm)
9		grpmnd 19177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
10		mndmgm 18956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝐻 ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mgm)
12	8, 11	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
13	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
15		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
16	15	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝑆)
18	17	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
19		grpissubg.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19, 3	mgmsscl 18847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
21	14, 16, 18, 20	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
23		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
26	19	sseq2i 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	birani 509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
29		ovres 7607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
31		oveq 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
33	32	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
34	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
35	30, 34	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
36	35	ralrimivva 3209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
37	24, 25, 3, 28, 36	grpinvssd 19253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎 ∈ 𝑆 → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎)))
38	37	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
39		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
40	3, 39	grpinvcl 19224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
41	40	ad4ant24 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
42	38, 41	eqeltrrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
43	22, 42	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
44	43	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
45		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
47	19, 45, 46	issubg2 19378	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
48	47	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
49	2, 5, 44, 48	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
50	49	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  Mgmcmgm 18840  Mndcmnd 18949  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171  SubGrpcsubg 19356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-subg 19359

This theorem is used by:  resgrpisgrp  19384  pgrpsubgsymg  19650