Theorem grpissubg 19164

Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpissubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
grpissubg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		grpissubg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
4	3	grpbn0 18984	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
5	4	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6		grpmnd 18958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7		mndmgm 18754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mgm)
9		grpmnd 18958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
10		mndmgm 18754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Mnd → 𝐻 ∈ Mgm)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mgm)
12	8, 11	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
16	15	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → 𝑎 ∈ 𝑆)
18	17	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
19		grpissubg.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19, 3	mgmsscl 18658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
21	14, 16, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
22	21	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
23		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
26	19	sseq2i 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30		ovres 7599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
32		oveq 7437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
34	33	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
35	34	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
36	31, 35	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
37	36	ralrimivva 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
38	24, 25, 3, 29, 37	grpinvssd 19035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎 ∈ 𝑆 → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎)))
39	38	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) = ((invg‘𝐺)‘𝑎))
40		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
41	3, 40	grpinvcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
42	41	ad4ant24 754	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
43	39, 42	eqeltrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
44	22, 43	jca 511	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) → (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
45	44	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
46		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
47		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
48	19, 46, 47	issubg2 19159	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
49	48	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑆 (∀𝑏 ∈ 𝑆 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
50	2, 5, 45, 49	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
51	50	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝐻) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Mgmcmgm 18651  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141

This theorem is referenced by:  resgrpisgrp  19165  pgrpsubgsymg  19427