MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpissubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpissubg 19026
Description: If the base set of a group is contained in the base set of another group, and the group operation of the group is the restriction of the group operation of the other group to its base set, then the (base set of the) group is subgroup of the other group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
grpissubg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpissubg.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
grpissubg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Proof of Theorem grpissubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆𝐵)
21adantl 483 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆𝐵)
3 grpissubg.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐻)
43grpbn0 18851 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝑆 ≠ ∅)
54ad2antlr 726 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ≠ ∅)
6 grpmnd 18826 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
7 mndmgm 18632 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mgm)
9 grpmnd 18826 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
10 mndmgm 18632 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 ∈ Mnd → 𝐻 ∈ Mgm)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mgm)
128, 11anim12i 614 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
1312adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
15 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
1615ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))))
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
1817anim1i 616 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎𝑆𝑏𝑆))
19 grpissubg.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
2019, 3mgmsscl 18566 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
2114, 16, 18, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) ∧ 𝑏𝑆) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
2221ralrimiva 3147 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆)
23 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → 𝐺 ∈ Grp)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐺 ∈ Grp)
25 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝐻 ∈ Grp)
2619sseq2i 4012 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2726biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝐵𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2928adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
30 ovres 7573 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
32 oveq 7415 . . . . . . . . . . . . 13 ((+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3534ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3631, 35eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3736ralrimivva 3201 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
3824, 25, 3, 29, 37grpinvssd 18900 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑎𝑆 → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎)))
3938imp 408 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) = ((invg𝐺)‘𝑎))
40 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invg𝐻) = (invg𝐻)
413, 40grpinvcl 18872 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4241ad4ant24 753 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐻)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4339, 42eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆)
4422, 43jca 513 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) ∧ 𝑎𝑆) → (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
4544ralrimiva 3147 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))
46 eqid 2733 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
47 eqid 2733 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4819, 46, 47issubg2 19021 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
4948ad2antrr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝑆 (∀𝑏𝑆 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑆))))
502, 5, 45, 49mpbir3and 1343 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) ∧ (𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆)))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5150ex 414 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ Grp) → ((𝑆𝐵 ∧ (+g𝐻) = ((+g𝐺) ↾ (𝑆 × 𝑆))) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wss 3949  c0 4323   × cxp 5675  cres 5679  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Mgmcmgm 18559  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003
This theorem is referenced by:  resgrpisgrp  19027  pgrpsubgsymg  19277
  Copyright terms: Public domain W3C validator