MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndissubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mndissubm 18732
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of another monoid, and the group operation of the monoid is the restriction of the group operation of the other monoid to its base set, and the identity element of the other monoid is contained in the base set of the monoid, then the (base set of the) monoid is a submonoid of the other monoid. Analogous to grpissubg 19073. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndissubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mndissubm.s 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
mndissubm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mndissubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem mndissubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2 simpr2 1192 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 0 ∈ 𝑆)
3 mndmgm 18674 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
4 mndmgm 18674 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Mnd β†’ 𝐻 ∈ Mgm)
53, 4anim12i 612 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
65ad2antrr 723 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
7 3simpb 1146 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
87ad2antlr 724 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
9 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
10 mndissubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 mndissubm.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
1210, 11mgmsscl 18578 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
136, 8, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
1413ralrimivva 3194 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
15 mndissubm.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
16 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
1710, 15, 16issubm 18728 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
1817ad2antrr 723 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
191, 2, 14, 18mpbir3and 1339 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2019ex 412 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  0gc0g 17394  Mgmcmgm 18571  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-res 5681  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714
This theorem is referenced by:  resmndismnd  18733  submefmnd  18820
  Copyright terms: Public domain W3C validator