MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndissubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndissubm 18623
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of another monoid, and the group operation of the monoid is the restriction of the group operation of the other monoid to its base set, and the identity element of the the other monoid is contained in the base set of the monoid, then the (base set of the) monoid is a submonoid of the other monoid. Analogous to grpissubg 18953. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndissubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mndissubm.s 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
mndissubm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mndissubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))

Proof of Theorem mndissubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2 simpr2 1196 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 0 ∈ 𝑆)
3 mndmgm 18568 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
4 mndmgm 18568 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Mnd β†’ 𝐻 ∈ Mgm)
53, 4anim12i 614 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
65ad2antrr 725 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
7 3simpb 1150 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
87ad2antlr 726 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
9 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
10 mndissubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 mndissubm.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
1210, 11mgmsscl 18507 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
136, 8, 9, 12syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
1413ralrimivva 3194 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
15 mndissubm.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
16 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
1710, 15, 16issubm 18619 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
1817ad2antrr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
191, 2, 14, 18mpbir3and 1343 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2019ex 414 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Mgmcmgm 18500  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  resmndismnd  18624  submefmnd  18710
  Copyright terms: Public domain W3C validator