MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndissubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mndissubm 18687
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of another monoid, and the group operation of the monoid is the restriction of the group operation of the other monoid to its base set, and the identity element of the other monoid is contained in the base set of the monoid, then the (base set of the) monoid is a submonoid of the other monoid. Analogous to grpissubg 19025. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndissubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mndissubm.s 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
mndissubm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mndissubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem mndissubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2 simpr2 1195 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 0 ∈ 𝑆)
3 mndmgm 18631 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
4 mndmgm 18631 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Mnd β†’ 𝐻 ∈ Mgm)
53, 4anim12i 613 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
65ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
7 3simpb 1149 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
87ad2antlr 725 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
9 simpr 485 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
10 mndissubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 mndissubm.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
1210, 11mgmsscl 18565 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
136, 8, 9, 12syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
1413ralrimivva 3200 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
15 mndissubm.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
16 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
1710, 15, 16issubm 18683 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
1817ad2antrr 724 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
191, 2, 14, 18mpbir3and 1342 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2019ex 413 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  0gc0g 17384  Mgmcmgm 18558  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-res 5688  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671
This theorem is referenced by:  resmndismnd  18688  submefmnd  18775
  Copyright terms: Public domain W3C validator