MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndissubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mndissubm 18763
Description: If the base set of a monoid is contained in the base set of another monoid, and the group operation of the monoid is the restriction of the group operation of the other monoid to its base set, and the identity element of the other monoid is contained in the base set of the monoid, then the (base set of the) monoid is a submonoid of the other monoid. Analogous to grpissubg 19105. (Contributed by AV, 17-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mndissubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
mndissubm.s 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
mndissubm.z 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
mndissubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Proof of Theorem mndissubm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1191 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2 simpr2 1192 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 0 ∈ 𝑆)
3 mndmgm 18700 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd β†’ 𝐺 ∈ Mgm)
4 mndmgm 18700 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Mnd β†’ 𝐻 ∈ Mgm)
53, 4anim12i 611 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
65ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm))
7 3simpb 1146 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
87ad2antlr 725 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))))
9 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆))
10 mndissubm.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
11 mndissubm.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π»)
1210, 11mgmsscl 18604 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝐻 ∈ Mgm) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
136, 8, 9, 12syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) ∧ (π‘Ž ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
1413ralrimivva 3191 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)
15 mndissubm.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΊ)
16 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
1710, 15, 16issubm 18759 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
1817ad2antrr 724 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑆 βˆ€π‘ ∈ 𝑆 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑆)))
191, 2, 14, 18mpbir3and 1339 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆)))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
2019ex 411 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ Mnd) β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ (+gβ€˜π») = ((+gβ€˜πΊ) β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))) β†’ 𝑆 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3939   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Mgmcmgm 18597  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-res 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7419  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740
This theorem is referenced by:  resmndismnd  18764  submefmnd  18851
  Copyright terms: Public domain W3C validator