Theorem c0snmhm 20383

Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4		mndmgm 18651	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7		c0snmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	7	fvexi 6842	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9		hashsng 14278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑍}) = 1
11	6, 10	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13		zrrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
14		zrrhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
15		zrrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	13, 14, 15	c0snmgmhm 20382	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
17	3, 5, 12, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
18	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
19		eqidd 2734	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
20	8	snid 4614	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ {𝑍}
21		eleq2 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ {𝑍}))
22	20, 21	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	24, 14	mndidcl 18659	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27	18, 19, 23, 26	fvmptd 6942	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻‘𝑍) = 0 )
28	17, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 ))
29		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
30		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
31	13, 24, 29, 30, 7, 14	ismhm0 18700	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 )))
32	2, 28, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4575   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1c1 11014  ♯chash 14239  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  0_gc0g 17345  Mgmcmgm 18548   MgmHom cmgmhm 18600  Mndcmnd 18644   MndHom cmhm 18691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-mgmhm 18602  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693

This theorem is referenced by:  c0snghm  20384