Theorem c0snmhm 20434

Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4		mndmgm 18700	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7		c0snmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	7	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9		hashsng 14322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑍}) = 1
11	6, 10	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12	11	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13		zrrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
14		zrrhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
15		zrrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	13, 14, 15	c0snmgmhm 20433	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
17	3, 5, 12, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
18	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
19		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
20	8	snid 4607	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ {𝑍}
21		eleq2 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ {𝑍}))
22	20, 21	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	24, 14	mndidcl 18708	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26	25	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27	18, 19, 23, 26	fvmptd 6949	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻‘𝑍) = 0 )
28	17, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 ))
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
31	13, 24, 29, 30, 7, 14	ismhm0 18749	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 )))
32	2, 28, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1c1 11030  ♯chash 14283  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Mgmcmgm 18597   MgmHom cmgmhm 18649  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-mgmhm 18651  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742

This theorem is referenced by:  c0snghm  20435