Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  c0snmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0snmhm 46303
Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0 0 = (0g𝑆)
zrrhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
c0snmhm.z 𝑍 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
c0snmhm ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm
StepHypRef Expression
1 pm3.22 461 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
213adant3 1133 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3 simp1 1137 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4 mndmgm 18571 . . . . 5 (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
543ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7 c0snmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑇)
87fvexi 6860 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
9 hashsng 14278 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝑍}) = 1
116, 10eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12113ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13 zrrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑇)
14 zrrhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑆)
15 zrrhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1613, 14, 15c0snmgmhm 46302 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
173, 5, 12, 16syl3anc 1372 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
1815a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥𝐵0 ))
19 eqidd 2734 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
208snid 4626 . . . . . 6 𝑍 ∈ {𝑍}
21 eleq2 2823 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (𝑍𝐵𝑍 ∈ {𝑍}))
2220, 21mpbiri 258 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → 𝑍𝐵)
23223ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍𝐵)
24 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2524, 14mndidcl 18579 . . . . 5 (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26253ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
2718, 19, 23, 26fvmptd 6959 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻𝑍) = 0 )
2817, 27jca 513 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 ))
29 eqid 2733 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
30 eqid 2733 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
3113, 24, 29, 30, 7, 14ismhm0 46189 . 2 (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 )))
322, 28, 31sylanbrc 584 1 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060  chash 14239  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Mgmcmgm 18503  Mndcmnd 18564   MndHom cmhm 18607   MgmHom cmgmhm 46161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-mgmhm 46163
This theorem is referenced by:  c0snghm  46304
  Copyright terms: Public domain W3C validator