MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c0snmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0snmhm 20441
Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0 0 = (0g𝑆)
zrrhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
c0snmhm.z 𝑍 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
c0snmhm ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm
StepHypRef Expression
1 pm3.22 458 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
213adant3 1129 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4 mndmgm 18729 . . . . 5 (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
543ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6 fveq2 6893 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7 c0snmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑇)
87fvexi 6907 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
9 hashsng 14381 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝑍}) = 1
116, 10eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12113ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13 zrrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑇)
14 zrrhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑆)
15 zrrhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1613, 14, 15c0snmgmhm 20440 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
173, 5, 12, 16syl3anc 1368 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
1815a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥𝐵0 ))
19 eqidd 2727 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
208snid 4659 . . . . . 6 𝑍 ∈ {𝑍}
21 eleq2 2815 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (𝑍𝐵𝑍 ∈ {𝑍}))
2220, 21mpbiri 257 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → 𝑍𝐵)
23223ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍𝐵)
24 eqid 2726 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2524, 14mndidcl 18737 . . . . 5 (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26253ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
2718, 19, 23, 26fvmptd 7008 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻𝑍) = 0 )
2817, 27jca 510 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 ))
29 eqid 2726 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
30 eqid 2726 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
3113, 24, 29, 30, 7, 14ismhm0 18775 . 2 (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 )))
322, 28, 31sylanbrc 581 1 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  {csn 4623  cmpt 5228  cfv 6546  (class class class)co 7416  1c1 11150  chash 14342  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  0gc0g 17449  Mgmcmgm 18626   MgmHom cmgmhm 18678  Mndcmnd 18722   MndHom cmhm 18766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-hash 14343  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-mgmhm 18680  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-mhm 18768
This theorem is referenced by:  c0snghm  20442
  Copyright terms: Public domain W3C validator