Theorem c0snmhm 20374

Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4		mndmgm 18641	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6		fveq2 6817	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7		c0snmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	7	fvexi 6831	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9		hashsng 14268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑍}) = 1
11	6, 10	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13		zrrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
14		zrrhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
15		zrrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	13, 14, 15	c0snmgmhm 20373	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
17	3, 5, 12, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
18	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
19		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
20	8	snid 4613	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ {𝑍}
21		eleq2 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ {𝑍}))
22	20, 21	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	24, 14	mndidcl 18649	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27	18, 19, 23, 26	fvmptd 6931	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻‘𝑍) = 0 )
28	17, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 ))
29		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
30		eqid 2730	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
31	13, 24, 29, 30, 7, 14	ismhm0 18690	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 )))
32	2, 28, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434  {csn 4574   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1c1 10999  ♯chash 14229  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  0_gc0g 17335  Mgmcmgm 18538   MgmHom cmgmhm 18590  Mndcmnd 18634   MndHom cmhm 18681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9786  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-hash 14230  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-mgmhm 18592  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-mhm 18683

This theorem is referenced by:  c0snghm  20375