MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  c0snmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem c0snmhm 20401
Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
zrrhm.b 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0 0 = (0g𝑆)
zrrhm.h 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
c0snmhm.z 𝑍 = (0g𝑇)
Assertion
Ref Expression
c0snmhm ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm
StepHypRef Expression
1 pm3.22 459 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
213adant3 1130 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3 simp1 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4 mndmgm 18700 . . . . 5 (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
543ad2ant2 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6 fveq2 6897 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7 c0snmhm.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑇)
87fvexi 6911 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
9 hashsng 14360 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝑍}) = 1
116, 10eqtrdi 2784 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12113ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13 zrrhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑇)
14 zrrhm.0 . . . . 5 0 = (0g𝑆)
15 zrrhm.h . . . . 5 𝐻 = (𝑥𝐵0 )
1613, 14, 15c0snmgmhm 20400 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
173, 5, 12, 16syl3anc 1369 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
1815a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥𝐵0 ))
19 eqidd 2729 . . . 4 (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
208snid 4665 . . . . . 6 𝑍 ∈ {𝑍}
21 eleq2 2818 . . . . . 6 (𝐵 = {𝑍} → (𝑍𝐵𝑍 ∈ {𝑍}))
2220, 21mpbiri 258 . . . . 5 (𝐵 = {𝑍} → 𝑍𝐵)
23223ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍𝐵)
24 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2524, 14mndidcl 18708 . . . . 5 (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26253ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
2718, 19, 23, 26fvmptd 7012 . . 3 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻𝑍) = 0 )
2817, 27jca 511 . 2 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 ))
29 eqid 2728 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
30 eqid 2728 . . 3 (+g𝑆) = (+g𝑆)
3113, 24, 29, 30, 7, 14ismhm0 18746 . 2 (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻𝑍) = 0 )))
322, 28, 31sylanbrc 582 1 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  1c1 11139  chash 14321  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  Mgmcmgm 18597   MgmHom cmgmhm 18649  Mndcmnd 18693   MndHom cmhm 18737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-hash 14322  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-mgmhm 18651  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739
This theorem is referenced by:  c0snghm  20402
  Copyright terms: Public domain W3C validator