Theorem c0snmhm 20489

Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 459	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4		mndmgm 18779	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7		c0snmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	7	fvexi 6934	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9		hashsng 14418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑍}) = 1
11	6, 10	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12	11	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13		zrrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
14		zrrhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
15		zrrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	13, 14, 15	c0snmgmhm 20488	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
17	3, 5, 12, 16	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
18	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
19		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
20	8	snid 4684	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ {𝑍}
21		eleq2 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ {𝑍}))
22	20, 21	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	24, 14	mndidcl 18787	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27	18, 19, 23, 26	fvmptd 7036	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻‘𝑍) = 0 )
28	17, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 ))
29		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
30		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
31	13, 24, 29, 30, 7, 14	ismhm0 18825	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 )))
32	2, 28, 31	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185  ♯chash 14379  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mgmcmgm 18676   MgmHom cmgmhm 18728  Mndcmnd 18772   MndHom cmhm 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-mgmhm 18730  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818

This theorem is referenced by:  c0snghm  20490