Theorem c0snmhm 20491

Description: The constant mapping to zero is a monoid homomorphism from the trivial monoid (consisting of the zero only) to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
c0snmhm.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
c0snmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.22 463	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
2	1	3adant3 1144	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd))
3		simp1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑆 ∈ Mnd)
4		mndmgm 18758	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Mnd → 𝑇 ∈ Mgm)
5	4	3ad2ant2 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑇 ∈ Mgm)
6		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = (♯‘{𝑍}))
7		c0snmhm.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑇)
8	7	fvexi 6877	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
9		hashsng 14379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ V → (♯‘{𝑍}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑍}) = 1
11	6, 10	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (♯‘𝐵) = 1)
12	11	3ad2ant3 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (♯‘𝐵) = 1)
13		zrrhm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
14		zrrhm.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
15		zrrhm.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	13, 14, 15	c0snmgmhm 20490	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
17	3, 5, 12, 16	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))
18	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
19		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) ∧ 𝑥 = 𝑍) → 0 = 0 )
20	8	snid 4620	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ {𝑍}
21		eleq2 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ 𝑍 ∈ {𝑍}))
22	20, 21	mpbiri 260	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = {𝑍} → 𝑍 ∈ 𝐵)
23	22	3ad2ant3 1147	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝑍 ∈ 𝐵)
24		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	24, 14	mndidcl 18766	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
26	25	3ad2ant1 1145	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
27	18, 19, 23, 26	fvmptd 6979	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻‘𝑍) = 0 )
28	17, 27	jca 519	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 ))
29		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
30		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
31	13, 24, 29, 30, 7, 14	ismhm0 18807	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) ∧ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ∧ (𝐻‘𝑍) = 0 )))
32	2, 28, 31	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝐵 = {𝑍}) → 𝐻 ∈ (𝑇 MndHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071  ♯chash 14340  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Mgmcmgm 18655   MgmHom cmgmhm 18707  Mndcmnd 18751   MndHom cmhm 18798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-hash 14341  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-mgmhm 18709  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800

This theorem is referenced by:  c0snghm  20492