Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srg1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srg1zr 19002
 Description: The only semiring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srg1zr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg1zr.p + = (+g𝑅)
srg1zr.t = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srg1zr (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem srg1zr
StepHypRef Expression
1 pm4.24 556 . 2 (𝐵 = {𝑍} ↔ (𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}))
2 srgmnd 18982 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
323ad2ant1 1113 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
43adantr 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
5 mndmgm 17768 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mgm)
7 simpr 477 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑍𝐵)
8 simpl2 1172 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
9 srg1zr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 srg1zr.p . . . . 5 + = (+g𝑅)
119, 10mgmb1mgm1 17722 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵+ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
126, 7, 8, 11syl3anc 1351 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
13 simpl1 1171 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
14 eqid 2779 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514srgmgp 18983 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16 mndmgm 17768 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
1713, 15, 163syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
18 srg1zr.t . . . . . . . . . 10 = (.r𝑅)
1914, 18mgpplusg 18966 . . . . . . . . 9 = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2019fneq1i 6283 . . . . . . . 8 ( Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2120biimpi 208 . . . . . . 7 ( Fn (𝐵 × 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
22213ad2ant3 1115 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2322adantr 473 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2414, 9mgpbas 18968 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2779 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2624, 25mgmb1mgm1 17722 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵 ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2717, 7, 23, 26syl3anc 1351 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2819eqcomi 2788 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) =
2928a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = )
3029eqeq1d 2781 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3127, 30bitrd 271 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3212, 31anbi12d 621 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}) ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
331, 32syl5bb 275 1 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  {csn 4441  ⟨cop 4447   × cxp 5405   Fn wfn 6183  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  +gcplusg 16421  .rcmulr 16422  Mgmcmgm 17708  Mndcmnd 17762  mulGrpcmgp 18962  SRingcsrg 18978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-plusg 16434  df-plusf 17709  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-srg 18979 This theorem is referenced by:  srgen1zr  19003  ring1zr  19769
 Copyright terms: Public domain W3C validator