MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srg1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srg1zr 20233
Description: The only semiring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srg1zr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg1zr.p + = (+g𝑅)
srg1zr.t = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srg1zr (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem srg1zr
StepHypRef Expression
1 pm4.24 563 . 2 (𝐵 = {𝑍} ↔ (𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}))
2 srgmnd 20208 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
323ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
5 mndmgm 18767 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mgm)
7 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑍𝐵)
8 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
9 srg1zr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 srg1zr.p . . . . 5 + = (+g𝑅)
119, 10mgmb1mgm1 18681 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵+ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
126, 7, 8, 11syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
13 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
14 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514srgmgp 20209 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16 mndmgm 18767 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
1713, 15, 163syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
18 srg1zr.t . . . . . . . . . 10 = (.r𝑅)
1914, 18mgpplusg 20156 . . . . . . . . 9 = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2019fneq1i 6666 . . . . . . . 8 ( Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2120biimpi 216 . . . . . . 7 ( Fn (𝐵 × 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
22213ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2322adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2414, 9mgpbas 20158 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2735 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2624, 25mgmb1mgm1 18681 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵 ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2717, 7, 23, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2819eqcomi 2744 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) =
2928a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = )
3029eqeq1d 2737 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3127, 30bitrd 279 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3212, 31anbi12d 632 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}) ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
331, 32bitrid 283 1 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cop 4637   × cxp 5687   Fn wfn 6558  cfv 6563  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Mgmcmgm 18664  Mndcmnd 18760  mulGrpcmgp 20152  SRingcsrg 20204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-srg 20205
This theorem is referenced by:  srgen1zr  20234  ring1zr  20794
  Copyright terms: Public domain W3C validator