MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srg1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srg1zr 20212
Description: The only semiring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
srg1zr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
srg1zr.p + = (+g𝑅)
srg1zr.t = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
srg1zr (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem srg1zr
StepHypRef Expression
1 pm4.24 563 . 2 (𝐵 = {𝑍} ↔ (𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}))
2 srgmnd 20187 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
323ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → 𝑅 ∈ Mnd)
43adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
5 mndmgm 18754 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ Mgm)
64, 5syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ Mgm)
7 simpr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑍𝐵)
8 simpl2 1193 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
9 srg1zr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 srg1zr.p . . . . 5 + = (+g𝑅)
119, 10mgmb1mgm1 18668 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵+ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
126, 7, 8, 11syl3anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
13 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
14 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514srgmgp 20188 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
16 mndmgm 18754 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
1713, 15, 163syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
18 srg1zr.t . . . . . . . . . 10 = (.r𝑅)
1914, 18mgpplusg 20141 . . . . . . . . 9 = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2019fneq1i 6665 . . . . . . . 8 ( Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2120biimpi 216 . . . . . . 7 ( Fn (𝐵 × 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
22213ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2322adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
2414, 9mgpbas 20142 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2737 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
2624, 25mgmb1mgm1 18668 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑍𝐵 ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2717, 7, 23, 26syl3anc 1373 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
2819eqcomi 2746 . . . . . 6 (+g‘(mulGrp‘𝑅)) =
2928a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = )
3029eqeq1d 2739 . . . 4 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3127, 30bitrd 279 . . 3 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
3212, 31anbi12d 632 . 2 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → ((𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}) ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
331, 32bitrid 283 1 (((𝑅 ∈ SRing ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {csn 4626  cop 4632   × cxp 5683   Fn wfn 6556  cfv 6561  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Mgmcmgm 18651  Mndcmnd 18747  mulGrpcmgp 20137  SRingcsrg 20183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-srg 20184
This theorem is referenced by:  srgen1zr  20213  ring1zr  20777
  Copyright terms: Public domain W3C validator