Theorem c0snmgmhm 20410

Description: The constant mapping to zero is a magma homomorphism from a magma with one element to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0snmgmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmgmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18678	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ Mgm)
2	1	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
3	2	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
4	3	ancomd 461	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ∈ Mgm))
5		zrrhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
6	5	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 14354	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑏 𝐵 = {𝑏}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑏 𝐵 = {𝑏})
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		zrrhm.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11	9, 10	mndidcl 18686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
13	12	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
15		zrrhm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	14, 15	fmptd 7068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆))
17	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
18		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 0 = 0 )
19		vsnid 4622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑏}
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝑏 ∈ {𝑏})
21		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ {𝑏}))
22	20, 21	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝑏 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐵)
24	17, 18, 23, 13	fvmptd 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘𝑏) = 0 )
25		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘𝑏) = 0 )
26	25, 25	oveq12d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)) = ( 0 (+g‘𝑆) 0 ))
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
28	9, 27, 10	mndlid 18691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
29	11, 28	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → 𝑇 ∈ Mgm)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝑇 ∈ Mgm)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ Mgm)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
38	5, 37	mgmcl 18580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵)
39	35, 36, 36, 38	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵)
40		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ {𝑏}))
41		elsni 4599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ {𝑏} → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
42	40, 41	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
45	39, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
46	23, 45	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
47	46	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = (𝐻‘𝑏))
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = (𝐻‘𝑏))
49	48, 25	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → 0 = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)))
50	26, 32, 49	3eqtrrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
51	24, 50	mpdan 688	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
52		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝐵 = {𝑏})
53	52	raleqdv 3298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
54	52, 53	raleqbidv 3318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
56		fvoveq1 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)))
57		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘𝑏))
58	57	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))
59	56, 58	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
60		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑐) = (𝑏(+g‘𝑇)𝑏))
61	60	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)))
62		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝐻‘𝑐) = (𝐻‘𝑏))
63	62	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
64	61, 63	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
65	59, 64	2ralsng 4637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
66	65	el2v 3449	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
67	55, 66	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
68	51, 67	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))
69	16, 68	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
70	69	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (𝐵 = {𝑏} → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
71	70	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (∃𝑏 𝐵 = {𝑏} → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
72	8, 71	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
73	72	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
74	5, 9, 37, 27	ismgmhm 18633	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ∈ Mgm) ∧ (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
75	4, 73, 74	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039  ♯chash 14265  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Mgmcmgm 18575   MgmHom cmgmhm 18627  Mndcmnd 18671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-mgmhm 18629  df-sgrp 18656  df-mnd 18672

This theorem is referenced by:  c0snmhm  20411