Theorem c0snmgmhm 20698

Description: The constant mapping to zero is a magma homomorphism from a magma with one element to any monoid. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrrhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
zrrhm.0	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
zrrhm.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )

Assertion

Ref	Expression
c0snmgmhm	⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem c0snmgmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 18936	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 𝑆 ∈ Mgm)
2	1	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑆 ∈ Mgm ∧ 𝑇 ∈ Mgm))
4	3	ancomd 467	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ∈ Mgm))
5		zrrhm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑇)
6	5	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 14568	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑏 𝐵 = {𝑏}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑏 𝐵 = {𝑏})
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10		zrrhm.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11	9, 10	mndidcl 18945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑆))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
13	12	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
14	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ (Base‘𝑆))
15		zrrhm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 )
16	14, 15	fmptd 7115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆))
17	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 0 ))
18		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑥 = 𝑏) → 0 = 0 )
19		vsnid 4620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ {𝑏}
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝑏 ∈ {𝑏})
21		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ {𝑏}))
22	20, 21	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝑏 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝑏 ∈ 𝐵)
24	17, 18, 23, 13	fvmptd 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘𝑏) = 0 )
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘𝑏) = 0 )
26	25, 25	oveq12d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)) = ( 0 (+g‘𝑆) 0 ))
27		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
28	9, 27, 10	mndlid 18950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (Base‘𝑆)) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
29	11, 28	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → ( 0 (+g‘𝑆) 0 ) = 0 )
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → 𝑇 ∈ Mgm)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → 𝑇 ∈ Mgm)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ Mgm)
36		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
37		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
38	5, 37	mgmcl 18825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵)
39	35, 36, 36, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵)
40		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 ↔ (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ {𝑏}))
41		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ {𝑏} → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
42	40, 41	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏(+g‘𝑇)𝑏) ∈ 𝐵 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏))
45	39, 44	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
46	23, 45	mpdan 700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝑏(+g‘𝑇)𝑏) = 𝑏)
47	46	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = (𝐻‘𝑏))
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = (𝐻‘𝑏))
49	48, 25	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → 0 = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)))
50	26, 32, 49	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) ∧ (𝐻‘𝑏) = 0 ) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
51	24, 50	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
52		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → 𝐵 = {𝑏})
53	52	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
54	52, 53	raleqbidv 3334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑏} → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
55	54	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
56		fvoveq1 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)))
57		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐻‘𝑎) = (𝐻‘𝑏))
58	57	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))
59	56, 58	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
60		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝑏(+g‘𝑇)𝑐) = (𝑏(+g‘𝑇)𝑏))
61	60	fveq2d 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)))
62		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝐻‘𝑐) = (𝐻‘𝑏))
63	62	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
64	61, 63	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
65	59, 64	2ralsng 4635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
66	65	el2v 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑎 ∈ {𝑏}∀𝑐 ∈ {𝑏} (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏)))
67	55, 66	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)) ↔ (𝐻‘(𝑏(+g‘𝑇)𝑏)) = ((𝐻‘𝑏)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑏))))
68	51, 67	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))
69	16, 68	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) ∧ 𝐵 = {𝑏}) → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
70	69	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (𝐵 = {𝑏} → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
71	70	exlimdv 1965	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → (∃𝑏 𝐵 = {𝑏} → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
72	8, 71	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm) → ((♯‘𝐵) = 1 → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
73	72	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐))))
74	5, 9, 37, 27	ismgmhm 18891	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆) ↔ ((𝑇 ∈ Mgm ∧ 𝑆 ∈ Mgm) ∧ (𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑐 ∈ 𝐵 (𝐻‘(𝑎(+g‘𝑇)𝑐)) = ((𝐻‘𝑎)(+g‘𝑆)(𝐻‘𝑐)))))
75	4, 73, 74	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mgm ∧ (♯‘𝐵) = 1) → 𝐻 ∈ (𝑇 MgmHom 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1c1 11205  ♯chash 14478  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Mgmcmgm 18820   MgmHom cmgmhm 18885  Mndcmnd 18929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-hash 14479  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-mgmhm 18887  df-sgrp 18914  df-mnd 18930

This theorem is used by:  c0snmhm  20699