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Theorem ipasslem10 31266

Description: Lemma for ipassi 31268. Show the inner product associative law for the imaginary number i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ipasslem10.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem10.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem10.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)

**Assertion**
Ref	Expression
ipasslem10	⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

**Proof of Theorem ipasslem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
2	1	phnvi 31243	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipasslem10.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
4		ax-icn 11178	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5		ipasslem10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
8	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 4, 5, 8	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
11		ipasslem10.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
12		ip1i.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
13	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 31135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))))
14	2, 3, 9, 13	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
15		4cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		negicn 11477	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
17	6, 12	dipcl 31139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	2, 3, 5, 17	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	15, 16, 18	mul12i 11424	. . . . . 6 ⊢ (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
20	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
21	2, 3, 9, 20	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
22	6, 11, 2, 21	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
23	22	recni 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
24	23	sqcli 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
25		neg1cn 12222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
26	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
27	2, 25, 9, 26	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
28	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
29	2, 3, 27, 28	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
30	6, 11, 2, 29	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
31	30	recni 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
32	31	sqcli 14239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
33	24, 32	subcli 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
34	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
35	2, 4, 9, 34	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
36	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
38	6, 11, 2, 37	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
39	38	recni 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
40	39	sqcli 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
41	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
42	2, 16, 9, 41	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
43	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
44	2, 3, 42, 43	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
45	6, 11, 2, 44	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
46	45	recni 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
48	40, 47	subcli 11553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
49	4, 48	mulcli 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) ∈ ℂ
50	33, 49	addcomi 11420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
51	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
52	2, 3, 5, 51	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋
53	6, 11, 2, 52	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℝ
54	53	recni 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℂ
55	54	sqcli 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) ∈ ℂ
56	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
57	2, 25, 5, 56	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
58	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
59	2, 3, 57, 58	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
60	6, 11, 2, 59	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ
61	60	recni 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ
62	61	sqcli 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
63	55, 62	subcli 11553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
64	6, 7	nvscl 31053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
65	2, 16, 5, 64	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
66	6, 10	nvgcl 31047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
67	2, 3, 65, 66	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
68	6, 11, 2, 67	nvcli 31089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
69	68	recni 11242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
70	69	sqcli 14239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
71	24, 70	subcli 11553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
72	4, 71	mulcli 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) ∈ ℂ
73	16, 63, 72	adddii 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
74	4, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
75	6, 7	nvsass 31055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴)))
76	2, 74, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴))
77		ixi 11862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i · i) = -1
78	77	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆𝐴)
79	76, 78	eqtr3i 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i𝑆(i𝑆𝐴)) = (-1𝑆𝐴)
80	79	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))
81	80	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))
82	81	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)
83	4, 4	mulneg1i 11679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-i · i) = -(i · i)
84	77	negeqi 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(i · i) = --1
85		negneg1e1 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ --1 = 1
86	83, 84, 85	3eqtri 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-i · i) = 1
87	86	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-i · i)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
88	16, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
89	6, 7	nvsass 31055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴)))
90	2, 88, 89	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴))
91	6, 7	nvsid 31054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
92	2, 5, 91	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) = 𝐴
94	93	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺𝐴)
95	94	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))
96	95	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)
97	82, 96	oveq12i 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
98	97	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)))
99	63	mulm1i 11678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))
100	55, 62	negsubdi2i 11563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
101	99, 100	eqtr2i 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)) = (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
102	101	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
103	4, 25, 63	mulassi 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
104	102, 103	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
105	4	mulm1i 11678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-1 · i) = -i
106	25, 4, 105	mulcomli 11237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -1) = -i
107	106	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
108	98, 104, 107	3eqtri 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
109	25, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
110	6, 7	nvsass 31055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴)))
111	2, 109, 110	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴))
112	105	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆𝐴)
113	111, 112	eqtr3i 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) = (-i𝑆𝐴)
114	113	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))
115	114	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
116	115	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)
117	116	oveq2i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
118	71	mullidi 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
119	117, 118	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
120	86	oveq1i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
121	119, 120	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
122	16, 4, 71	mulassi 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
123	121, 122	eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
124	108, 123	oveq12i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
125	73, 124	eqtr4i 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
126	50, 125	eqtr4i 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
127	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 31135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
128	2, 3, 5, 127	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
129	128	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
130	126, 129	eqtr4i 2791	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
131	19, 130	eqtr4i 2791	. . . . 5 ⊢ (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
132	14, 131	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
133	6, 12	dipcl 31139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
134	2, 3, 9, 133	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ
135	16, 18	mulcli 11235	. . . . 5 ⊢ (-i · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
136		4ne0 12371	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
137	134, 135, 15, 136	mulcani 11872	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) ↔ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
138	132, 137	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴))
139	138	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴)))
140	6, 12	dipcj 31141	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵))
141	2, 3, 9, 140	mp3an 1490	. 2 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)
142	16, 18	cjmuli 15268	. . 3 ⊢ (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴)))
143	25, 4	cjmuli 15268	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 · i)) = ((∗‘-1) · (∗‘i))
144	105	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 · i)) = (∗‘-i)
145		neg1rr 12223	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
146	25	cjrebi 15253	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ ↔ (∗‘-1) = -1)
147	145, 146	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
148		cji 15238	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘i) = -i
149	147, 148	oveq12i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) · (∗‘i)) = (-1 · -i)
150		ax-1cn 11177	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
151	150, 4	mul2negi 11681	. . . . . 6 ⊢ (-1 · -i) = (1 · i)
152	4	mullidi 11233	. . . . . 6 ⊢ (1 · i) = i
153	149, 151, 152	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ((∗‘-1) · (∗‘i)) = i
154	143, 144, 153	3eqtr3i 2796	. . . 4 ⊢ (∗‘-i) = i
155	6, 12	dipcj 31141	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
156	2, 3, 5, 155	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵)
157	154, 156	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
158	142, 157	eqtri 2788	. 2 ⊢ (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
159	139, 141, 158	3eqtr3i 2796	1 ⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ℂcc 11117 ℝcr 11118 1c1 11120 ici 11121 + caddc 11122 · cmul 11124 − cmin 11460 -cneg 11461 2c2 12314 4c4 12316 ↑cexp 14119 ∗ccj 15175 NrmCVeccnv 31011 +_𝑣 cpv 31012 BaseSetcba 31013 ·_𝑠OLD cns 31014 norm_CVcnmcv 31017 ·_𝑖OLDcdip 31127 CPreHil_OLDccphlo 31239

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-inf2 9617 ax-cnex 11175 ax-resscn 11176 ax-1cn 11177 ax-icn 11178 ax-addcl 11179 ax-addrcl 11180 ax-mulcl 11181 ax-mulrcl 11182 ax-mulcom 11183 ax-addass 11184 ax-mulass 11185 ax-distr 11186 ax-i2m1 11187 ax-1ne0 11188 ax-1rid 11189 ax-rnegex 11190 ax-rrecex 11191 ax-cnre 11192 ax-pre-lttri 11193 ax-pre-lttrn 11194 ax-pre-ltadd 11195 ax-pre-mulgt0 11196 ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-sup 9409 df-oi 9479 df-card 9941 df-pnf 11264 df-mnf 11265 df-xr 11266 df-ltxr 11267 df-le 11268 df-sub 11462 df-neg 11463 df-div 11891 df-nn 12253 df-2 12322 df-3 12323 df-4 12324 df-n0 12524 df-z 12611 df-uz 12883 df-rp 13037 df-fz 13556 df-fzo 13704 df-seq 14060 df-exp 14120 df-hash 14389 df-cj 15178 df-re 15179 df-im 15180 df-sqrt 15314 df-abs 15315 df-clim 15567 df-sum 15766 df-grpo 30920 df-gid 30921 df-ginv 30922 df-ablo 30972 df-vc 30986 df-nv 31019 df-va 31022 df-ba 31023 df-sm 31024 df-0v 31025 df-nmcv 31027 df-dip 31128 df-ph 31240

This theorem is used by: ipasslem11 31267

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