ipasslem10 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ipasslem10 31441

Description: Lemma for ipassi 31443. Show the inner product associative law for the imaginary number i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ipasslem10.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem10.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem10.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)

**Assertion**
Ref	Expression
ipasslem10	⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

**Proof of Theorem ipasslem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
2	1	phnvi 31418	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ipasslem10.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
4		ax-icn 11259	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5		ipasslem10.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
6		ip1i.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
8	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
9	2, 4, 5, 8	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
11		ipasslem10.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
12		ip1i.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
13	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 31310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))))
14	2, 3, 9, 13	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
15		4cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		negicn 11558	. . . . . . 7 ⊢ -i ∈ ℂ
17	6, 12	dipcl 31314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
18	2, 3, 5, 17	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
19	15, 16, 18	mul12i 11505	. . . . . 6 ⊢ (4 · ( -i · (𝐵𝑃𝐴))) = ( -i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
20	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
21	2, 3, 9, 20	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
22	6, 11, 2, 21	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
23	22	recni 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
24	23	sqcli 14324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
25		neg1cn 12305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℂ
26	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ( -1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
27	2, 25, 9, 26	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
28	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
29	2, 3, 27, 28	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
30	6, 11, 2, 29	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
31	30	recni 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
32	31	sqcli 14324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
33	24, 32	subcli 11634	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
34	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
35	2, 4, 9, 34	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
36	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
38	6, 11, 2, 37	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
39	38	recni 11323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
40	39	sqcli 14324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
41	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → ( -i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
42	2, 16, 9, 41	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
43	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
44	2, 3, 42, 43	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
45	6, 11, 2, 44	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
46	45	recni 11323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
47	46	sqcli 14324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
48	40, 47	subcli 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
49	4, 48	mulcli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) ∈ ℂ
50	33, 49	addcomi 11501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
51	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
52	2, 3, 5, 51	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋
53	6, 11, 2, 52	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℝ
54	53	recni 11323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℂ
55	54	sqcli 14324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) ∈ ℂ
56	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
57	2, 25, 5, 56	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
58	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
59	2, 3, 57, 58	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
60	6, 11, 2, 59	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴))) ∈ ℝ
61	60	recni 11323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴))) ∈ ℂ
62	61	sqcli 14324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
63	55, 62	subcli 11634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
64	6, 7	nvscl 31228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
65	2, 16, 5, 64	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
66	6, 10	nvgcl 31222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ ( -i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
67	2, 3, 65, 66	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
68	6, 11, 2, 67	nvcli 31264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
69	68	recni 11323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
70	69	sqcli 14324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
71	24, 70	subcli 11634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
72	4, 71	mulcli 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))) ∈ ℂ
73	16, 63, 72	adddii 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))))) = (( -i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))) + ( -i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))))
74	4, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
75	6, 7	nvsass 31230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴)))
76	2, 74, 75	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴))
77		ixi 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i · i) = -1
78	77	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · i)𝑆𝐴) = ( -1𝑆𝐴)
79	76, 78	eqtr3i 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i𝑆(i𝑆𝐴)) = ( -1𝑆𝐴)
80	79	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺( -1𝑆𝐴))
81	80	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))
82	81	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)
83	4, 4	mulneg1i 11762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ( -i · i) = -(i · i)
84	77	negeqi 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(i · i) = - -1
85		negneg1e1 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ - -1 = 1
86	83, 84, 85	3eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( -i · i) = 1
87	86	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -i · i)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
88	16, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
89	6, 7	nvsass 31230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (( -i · i)𝑆𝐴) = ( -i𝑆(i𝑆𝐴)))
90	2, 88, 89	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -i · i)𝑆𝐴) = ( -i𝑆(i𝑆𝐴))
91	6, 7	nvsid 31229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
92	2, 5, 91	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1𝑆𝐴) = 𝐴
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -i𝑆(i𝑆𝐴)) = 𝐴
94	93	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺𝐴)
95	94	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))
96	95	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)
97	82, 96	oveq12i 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
98	97	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)))
99	63	mulm1i 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))) = -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))
100	55, 62	negsubdi2i 11644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
101	99, 100	eqtr2i 2785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)) = ( -1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)))
102	101	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = (i · ( -1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))))
103	4, 25, 63	mulassi 11320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))) = (i · ( -1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))))
104	102, 103	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)))
105	4	mulm1i 11761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( -1 · i) = -i
106	25, 4, 105	mulcomli 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · -1) = -i
107	106	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))) = ( -i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)))
108	98, 104, 107	3eqtri 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = ( -i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)))
109	25, 4, 5	3pm3.2i 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ( -1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
110	6, 7	nvsass 31230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ( -1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (( -1 · i)𝑆𝐴) = ( -1𝑆(i𝑆𝐴)))
111	2, 109, 110	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( -1 · i)𝑆𝐴) = ( -1𝑆(i𝑆𝐴))
112	105	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( -1 · i)𝑆𝐴) = ( -i𝑆𝐴)
113	111, 112	eqtr3i 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -1𝑆(i𝑆𝐴)) = ( -i𝑆𝐴)
114	113	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺( -i𝑆𝐴))
115	114	fveq2i 6888	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))
116	115	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)
117	116	oveq2i 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))
118	71	mullidi 11314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))
119	117, 118	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))
120	86	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))
121	119, 120	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (( -i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))
122	16, 4, 71	mulassi 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))) = ( -i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))))
123	121, 122	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = ( -i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))))
124	108, 123	oveq12i 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (( -i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2))) + ( -i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))))
125	73, 124	eqtr4i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
126	50, 125	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ( -i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))))
127	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 31310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))))
128	2, 3, 5, 127	mp3an 1490	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2))))
129	128	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ( -i · (4 · (𝐵𝑃𝐴))) = ( -i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆𝐴)))↑2)))))
130	126, 129	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ( -i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
131	19, 130	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (4 · ( -i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺( -i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
132	14, 131	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · ( -i · (𝐵𝑃𝐴)))
133	6, 12	dipcl 31314	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
134	2, 3, 9, 133	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ
135	16, 18	mulcli 11316	. . . . 5 ⊢ ( -i · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
136		4ne0 12454	. . . . 5 ⊢ 4 ≠ 0
137	134, 135, 15, 136	mulcani 11955	. . . 4 ⊢ ((4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · ( -i · (𝐵𝑃𝐴))) ↔ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = ( -i · (𝐵𝑃𝐴)))
138	132, 137	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = ( -i · (𝐵𝑃𝐴))
139	138	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (∗‘( -i · (𝐵𝑃𝐴)))
140	6, 12	dipcj 31316	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵))
141	2, 3, 9, 140	mp3an 1490	. 2 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)
142	16, 18	cjmuli 15356	. . 3 ⊢ (∗‘( -i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((∗‘ -i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴)))
143	25, 4	cjmuli 15356	. . . . 5 ⊢ (∗‘( -1 · i)) = ((∗‘ -1) · (∗‘i))
144	105	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (∗‘( -1 · i)) = (∗‘ -i)
145		neg1rr 12306	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
146	25	cjrebi 15341	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 ∈ ℝ ↔ (∗‘ -1) = -1)
147	145, 146	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘ -1) = -1
148		cji 15326	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘i) = -i
149	147, 148	oveq12i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘ -1) · (∗‘i)) = ( -1 · -i)
150		ax-1cn 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
151	150, 4	mul2negi 11764	. . . . . 6 ⊢ ( -1 · -i) = (1 · i)
152	4	mullidi 11314	. . . . . 6 ⊢ (1 · i) = i
153	149, 151, 152	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((∗‘ -1) · (∗‘i)) = i
154	143, 144, 153	3eqtr3i 2792	. . . 4 ⊢ (∗‘ -i) = i
155	6, 12	dipcj 31316	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
156	2, 3, 5, 155	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵)
157	154, 156	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((∗‘ -i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
158	142, 157	eqtri 2784	. 2 ⊢ (∗‘( -i · (𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
159	139, 141, 158	3eqtr3i 2792	1 ⊢ ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℂcc 11198 ℝcr 11199 1c1 11201 ici 11202 + caddc 11203 · cmul 11205 − cmin 11541 -cneg 11542 2c2 12397 4c4 12399 ↑cexp 14204 ∗ccj 15263 NrmCVeccnv 31186 +_𝑣 cpv 31187 BaseSetcba 31188 ·_𝑠OLD cns 31189 norm_CVcnmcv 31192 ·_𝑖OLDcdip 31302 CPreHil_OLDccphlo 31414

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-inf2 9642 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-sup 9434 df-oi 9504 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-rp 13121 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-seq 14145 df-exp 14205 df-hash 14475 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-clim 15655 df-sum 15854 df-grpo 31095 df-gid 31096 df-ginv 31097 df-ablo 31147 df-vc 31161 df-nv 31194 df-va 31197 df-ba 31198 df-sm 31199 df-0v 31200 df-nmcv 31202 df-dip 31303 df-ph 31415

This theorem is used by: ipasslem11 31442

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