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Theorem ipasslem10 30130
Description: Lemma for ipassi 30132. Show the inner product associative law for the imaginary number i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem10.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem10.b 𝐡 ∈ 𝑋
ipasslem10.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
ipasslem10 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30107 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6 𝐡 ∈ 𝑋
4 ax-icn 11171 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
5 ipasslem10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ 𝑋
6 ip1i.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
86, 7nvscl 29917 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 4, 5, 8mp3an 1461 . . . . . 6 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
12 ip1i.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
136, 10, 7, 11, 124ipval2 29999 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))))
142, 3, 9, 13mp3an 1461 . . . . 5 (4 Β· (𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
15 4cn 12299 . . . . . . 7 4 ∈ β„‚
16 negicn 11463 . . . . . . 7 -i ∈ β„‚
176, 12dipcl 30003 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚)
182, 3, 5, 17mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐡𝑃𝐴) ∈ β„‚
1915, 16, 18mul12i 11411 . . . . . 6 (4 Β· (-i Β· (𝐡𝑃𝐴))) = (-i Β· (4 Β· (𝐡𝑃𝐴)))
206, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
212, 3, 9, 20mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
226, 11, 2, 21nvcli 29953 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
2322recni 11230 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ β„‚
2423sqcli 14147 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) ∈ β„‚
25 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ β„‚
266, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
272, 25, 9, 26mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
286, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
292, 3, 27, 28mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
306, 11, 2, 29nvcli 29953 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3130recni 11230 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ β„‚
3231sqcli 14147 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ β„‚
3324, 32subcli 11538 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ β„‚
346, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
352, 4, 9, 34mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
366, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
372, 3, 35, 36mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
386, 11, 2, 37nvcli 29953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3938recni 11230 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ β„‚
4039sqcli 14147 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ β„‚
416, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
422, 16, 9, 41mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
436, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
442, 3, 42, 43mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
456, 11, 2, 44nvcli 29953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
4645recni 11230 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ β„‚
4746sqcli 14147 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ β„‚
4840, 47subcli 11538 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ β„‚
494, 48mulcli 11223 . . . . . . . . 9 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) ∈ β„‚
5033, 49addcomi 11407 . . . . . . . 8 ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
516, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
522, 3, 5, 51mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡𝐺𝐴) ∈ 𝑋
536, 11, 2, 52nvcli 29953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴)) ∈ ℝ
5453recni 11230 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴)) ∈ β„‚
5554sqcli 14147 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) ∈ β„‚
566, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
572, 25, 5, 56mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
586, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
592, 3, 57, 58mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
606, 11, 2, 59nvcli 29953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6160recni 11230 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ β„‚
6261sqcli 14147 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) ∈ β„‚
6355, 62subcli 11538 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) ∈ β„‚
646, 7nvscl 29917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
652, 16, 5, 64mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
666, 10nvgcl 29911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
672, 3, 65, 66mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
686, 11, 2, 67nvcli 29953 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6968recni 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ β„‚
7069sqcli 14147 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2) ∈ β„‚
7124, 70subcli 11538 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)) ∈ β„‚
724, 71mulcli 11223 . . . . . . . . . 10 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) ∈ β„‚
7316, 63, 72adddii 11228 . . . . . . . . 9 (-i Β· ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((-i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
744, 4, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
756, 7nvsass 29919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((i Β· i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴)))
762, 74, 75mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i Β· i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴))
77 ixi 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i Β· i) = -1
7877oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i Β· i)𝑆𝐴) = (-1𝑆𝐴)
7976, 78eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i𝑆(i𝑆𝐴)) = (-1𝑆𝐴)
8079oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐡𝐺(-1𝑆𝐴))
8180fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))
8281oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)
834, 4mulneg1i 11662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-i Β· i) = -(i Β· i)
8477negeqi 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(i Β· i) = --1
85 negneg1e1 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8683, 84, 853eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i Β· i) = 1
8786oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i Β· i)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
8816, 4, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
896, 7nvsass 29919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((-i Β· i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴)))
902, 88, 89mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i Β· i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴))
916, 7nvsid 29918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐴) = 𝐴)
922, 5, 91mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1𝑆𝐴) = 𝐴
9387, 90, 923eqtr3i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) = 𝐴
9493oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐡𝐺𝐴)
9594fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))
9695oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2)
9782, 96oveq12i 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2))
9897oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2)))
9963mulm1i 11661 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = -(((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))
10055, 62negsubdi2i 11548 . . . . . . . . . . . . . 14 -(((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2))
10199, 100eqtr2i 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2)) = (-1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
102101oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2))) = (i Β· (-1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
1034, 25, 63mulassi 11227 . . . . . . . . . . . 12 ((i Β· -1) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (i Β· (-1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
104102, 103eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . 11 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2))) = ((i Β· -1) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
1054mulm1i 11661 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 Β· i) = -i
10625, 4, 105mulcomli 11225 . . . . . . . . . . . 12 (i Β· -1) = -i
107106oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((i Β· -1) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (-i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10898, 104, 1073eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (-i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10925, 4, 53pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)
1106, 7nvsass 29919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1 Β· i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴)))
1112, 109, 110mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 Β· i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴))
112105oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 Β· i)𝑆𝐴) = (-i𝑆𝐴)
113111, 112eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) = (-i𝑆𝐴)
114113oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐡𝐺(-i𝑆𝐴))
115114fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) = (π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))
116115oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)
117116oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
11871mullidi 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
119117, 118eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12086oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((-i Β· i) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (1 Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
121119, 120eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . 11 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = ((-i Β· i) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12216, 4, 71mulassi 11227 . . . . . . . . . . 11 ((-i Β· i) Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (-i Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
123121, 122eqtri 2760 . . . . . . . . . 10 (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (-i Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
124108, 123oveq12i 7423 . . . . . . . . 9 ((i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = ((-i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
12573, 124eqtr4i 2763 . . . . . . . 8 (-i Β· ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
12650, 125eqtr4i 2763 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i Β· ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1276, 10, 7, 11, 124ipval2 29999 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1282, 3, 5, 127mp3an 1461 . . . . . . . 8 (4 Β· (𝐡𝑃𝐴)) = ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
129128oveq2i 7422 . . . . . . 7 (-i Β· (4 Β· (𝐡𝑃𝐴))) = (-i Β· ((((π‘β€˜(𝐡𝐺𝐴))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
130126, 129eqtr4i 2763 . . . . . 6 ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i Β· (4 Β· (𝐡𝑃𝐴)))
13119, 130eqtr4i 2763 . . . . 5 (4 Β· (-i Β· (𝐡𝑃𝐴))) = ((((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐡𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐡𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
13214, 131eqtr4i 2763 . . . 4 (4 Β· (𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 Β· (-i Β· (𝐡𝑃𝐴)))
1336, 12dipcl 30003 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ β„‚)
1342, 3, 9, 133mp3an 1461 . . . . 5 (𝐡𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ β„‚
13516, 18mulcli 11223 . . . . 5 (-i Β· (𝐡𝑃𝐴)) ∈ β„‚
136 4ne0 12322 . . . . 5 4 β‰  0
137134, 135, 15, 136mulcani 11855 . . . 4 ((4 Β· (𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 Β· (-i Β· (𝐡𝑃𝐴))) ↔ (𝐡𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i Β· (𝐡𝑃𝐴)))
138132, 137mpbi 229 . . 3 (𝐡𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i Β· (𝐡𝑃𝐴))
139138fveq2i 6894 . 2 (βˆ—β€˜(𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = (βˆ—β€˜(-i Β· (𝐡𝑃𝐴)))
1406, 12dipcj 30005 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡))
1412, 3, 9, 140mp3an 1461 . 2 (βˆ—β€˜(𝐡𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡)
14216, 18cjmuli 15138 . . 3 (βˆ—β€˜(-i Β· (𝐡𝑃𝐴))) = ((βˆ—β€˜-i) Β· (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)))
14325, 4cjmuli 15138 . . . . 5 (βˆ—β€˜(-1 Β· i)) = ((βˆ—β€˜-1) Β· (βˆ—β€˜i))
144105fveq2i 6894 . . . . 5 (βˆ—β€˜(-1 Β· i)) = (βˆ—β€˜-i)
145 neg1rr 12329 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
14625cjrebi 15123 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ ↔ (βˆ—β€˜-1) = -1)
147145, 146mpbi 229 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜-1) = -1
148 cji 15108 . . . . . . 7 (βˆ—β€˜i) = -i
149147, 148oveq12i 7423 . . . . . 6 ((βˆ—β€˜-1) Β· (βˆ—β€˜i)) = (-1 Β· -i)
150 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
151150, 4mul2negi 11664 . . . . . 6 (-1 Β· -i) = (1 Β· i)
1524mullidi 11221 . . . . . 6 (1 Β· i) = i
153149, 151, 1523eqtri 2764 . . . . 5 ((βˆ—β€˜-1) Β· (βˆ—β€˜i)) = i
154143, 144, 1533eqtr3i 2768 . . . 4 (βˆ—β€˜-i) = i
1556, 12dipcj 30005 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡))
1562, 3, 5, 155mp3an 1461 . . . 4 (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐡)
157154, 156oveq12i 7423 . . 3 ((βˆ—β€˜-i) Β· (βˆ—β€˜(𝐡𝑃𝐴))) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))
158142, 157eqtri 2760 . 2 (βˆ—β€˜(-i Β· (𝐡𝑃𝐴))) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))
159139, 141, 1583eqtr3i 2768 1 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (i Β· (𝐴𝑃𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447  2c2 12269  4c4 12271  β†‘cexp 14029  βˆ—ccj 15045  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  normCVcnmcv 29881  Β·π‘–OLDcdip 29991  CPreHilOLDccphlo 30103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-nmcv 29891  df-dip 29992  df-ph 30104
This theorem is referenced by:  ipasslem11  30131
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