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Theorem ipasslem10 30858
Description: Lemma for ipassi 30860. Show the inner product associative law for the imaginary number i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem10.a 𝐴𝑋
ipasslem10.b 𝐵𝑋
ipasslem10.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipasslem10 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))

Proof of Theorem ipasslem10
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30835 . . . . . 6 𝑈 ∈ NrmCVec
3 ipasslem10.b . . . . . 6 𝐵𝑋
4 ax-icn 11214 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5 ipasslem10.a . . . . . . 7 𝐴𝑋
6 ip1i.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 ip1i.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
86, 7nvscl 30645 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
92, 4, 5, 8mp3an 1463 . . . . . 6 (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
10 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
11 ipasslem10.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCV𝑈)
12 ip1i.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
136, 10, 7, 11, 124ipval2 30727 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))))
142, 3, 9, 13mp3an 1463 . . . . 5 (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
15 4cn 12351 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
16 negicn 11509 . . . . . . 7 -i ∈ ℂ
176, 12dipcl 30731 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ)
182, 3, 5, 17mp3an 1463 . . . . . . 7 (𝐵𝑃𝐴) ∈ ℂ
1915, 16, 18mul12i 11456 . . . . . 6 (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
206, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
212, 3, 9, 20mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐺(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
226, 11, 2, 21nvcli 30681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
2322recni 11275 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
2423sqcli 14220 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
25 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
266, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
272, 25, 9, 26mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
286, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
292, 3, 27, 28mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
306, 11, 2, 29nvcli 30681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3130recni 11275 . . . . . . . . . . 11 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
3231sqcli 14220 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
3324, 32subcli 11585 . . . . . . . . 9 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
346, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
352, 4, 9, 34mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
366, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
372, 3, 35, 36mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
386, 11, 2, 37nvcli 30681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
3938recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
4039sqcli 14220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
416, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
422, 16, 9, 41mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
436, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-i𝑆(i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋)
442, 3, 42, 43mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) ∈ 𝑋
456, 11, 2, 44nvcli 30681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℝ
4645recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) ∈ ℂ
4746sqcli 14220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) ∈ ℂ
4840, 47subcli 11585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) ∈ ℂ
494, 48mulcli 11268 . . . . . . . . 9 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) ∈ ℂ
5033, 49addcomi 11452 . . . . . . . 8 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
516, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋)
522, 3, 5, 51mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺𝐴) ∈ 𝑋
536, 11, 2, 52nvcli 30681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℝ
5453recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴)) ∈ ℂ
5554sqcli 14220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) ∈ ℂ
566, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
572, 25, 5, 56mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋
586, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
592, 3, 57, 58mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
606, 11, 2, 59nvcli 30681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6160recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))) ∈ ℂ
6261sqcli 14220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
6355, 62subcli 11585 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
646, 7nvscl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
652, 16, 5, 64mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋
666, 10nvgcl 30639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋)
672, 3, 65, 66mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)) ∈ 𝑋
686, 11, 2, 67nvcli 30681 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℝ
6968recni 11275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))) ∈ ℂ
7069sqcli 14220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2) ∈ ℂ
7124, 70subcli 11585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)) ∈ ℂ
724, 71mulcli 11268 . . . . . . . . . 10 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) ∈ ℂ
7316, 63, 72adddii 11273 . . . . . . . . 9 (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
744, 4, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
756, 7nvsass 30647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴)))
762, 74, 75mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i)𝑆𝐴) = (i𝑆(i𝑆𝐴))
77 ixi 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · i) = -1
7877oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆𝐴)
7976, 78eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i𝑆(i𝑆𝐴)) = (-1𝑆𝐴)
8079oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-1𝑆𝐴))
8180fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))
8281oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)
834, 4mulneg1i 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-i · i) = -(i · i)
8477negeqi 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(i · i) = --1
85 negneg1e1 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 --1 = 1
8683, 84, 853eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i · i) = 1
8786oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i · i)𝑆𝐴) = (1𝑆𝐴)
8816, 4, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
896, 7nvsass 30647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴)))
902, 88, 89mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-i · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆(i𝑆𝐴))
916, 7nvsid 30646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1𝑆𝐴) = 𝐴)
922, 5, 91mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1𝑆𝐴) = 𝐴
9387, 90, 923eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-i𝑆(i𝑆𝐴)) = 𝐴
9493oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺𝐴)
9594fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))
9695oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)
9782, 96oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
9897oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)))
9963mulm1i 11708 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))
10055, 62negsubdi2i 11595 . . . . . . . . . . . . . 14 -(((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))
10199, 100eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2)) = (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
102101oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
1034, 25, 63mulassi 11272 . . . . . . . . . . . 12 ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (i · (-1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))))
104102, 103eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2))) = ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
1054mulm1i 11708 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 · i) = -i
10625, 4, 105mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . 12 (i · -1) = -i
107106oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((i · -1) · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10898, 104, 1073eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = (-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)))
10925, 4, 53pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)
1106, 7nvsass 30647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴)))
1112, 109, 110mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-1𝑆(i𝑆𝐴))
112105oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-1 · i)𝑆𝐴) = (-i𝑆𝐴)
113111, 112eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1𝑆(i𝑆𝐴)) = (-i𝑆𝐴)
114113oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))
115114fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
116115oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) = ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)
117116oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
11871mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))
119117, 118eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12086oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (1 · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
121119, 120eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))
12216, 4, 71mulassi 11272 . . . . . . . . . . 11 ((-i · i) · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
123121, 122eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) = (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
124108, 123oveq12i 7443 . . . . . . . . 9 ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) = ((-i · (((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2))) + (-i · (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
12573, 124eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))) = ((i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))) + (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))
12650, 125eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1276, 10, 7, 11, 124ipval2 30727 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
1282, 3, 5, 127mp3an 1463 . . . . . . . 8 (4 · (𝐵𝑃𝐴)) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2))))
129128oveq2i 7442 . . . . . . 7 (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴))) = (-i · ((((𝑁‘(𝐵𝐺𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))↑2)))))
130126, 129eqtr4i 2768 . . . . . 6 ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)))) = (-i · (4 · (𝐵𝑃𝐴)))
13119, 130eqtr4i 2768 . . . . 5 (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-1𝑆(i𝑆𝐴))))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐵𝐺(i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2) − ((𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐴))))↑2))))
13214, 131eqtr4i 2768 . . . 4 (4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
1336, 12dipcl 30731 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ)
1342, 3, 9, 133mp3an 1463 . . . . 5 (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) ∈ ℂ
13516, 18mulcli 11268 . . . . 5 (-i · (𝐵𝑃𝐴)) ∈ ℂ
136 4ne0 12374 . . . . 5 4 ≠ 0
137134, 135, 15, 136mulcani 11902 . . . 4 ((4 · (𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (4 · (-i · (𝐵𝑃𝐴))) ↔ (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴)))
138132, 137mpbi 230 . . 3 (𝐵𝑃(i𝑆𝐴)) = (-i · (𝐵𝑃𝐴))
139138fveq2i 6909 . 2 (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴)))
1406, 12dipcj 30733 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋 ∧ (i𝑆𝐴) ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵))
1412, 3, 9, 140mp3an 1463 . 2 (∗‘(𝐵𝑃(i𝑆𝐴))) = ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵)
14216, 18cjmuli 15228 . . 3 (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴)))
14325, 4cjmuli 15228 . . . . 5 (∗‘(-1 · i)) = ((∗‘-1) · (∗‘i))
144105fveq2i 6909 . . . . 5 (∗‘(-1 · i)) = (∗‘-i)
145 neg1rr 12381 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
14625cjrebi 15213 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ ↔ (∗‘-1) = -1)
147145, 146mpbi 230 . . . . . . 7 (∗‘-1) = -1
148 cji 15198 . . . . . . 7 (∗‘i) = -i
149147, 148oveq12i 7443 . . . . . 6 ((∗‘-1) · (∗‘i)) = (-1 · -i)
150 ax-1cn 11213 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
151150, 4mul2negi 11711 . . . . . 6 (-1 · -i) = (1 · i)
1524mullidi 11266 . . . . . 6 (1 · i) = i
153149, 151, 1523eqtri 2769 . . . . 5 ((∗‘-1) · (∗‘i)) = i
154143, 144, 1533eqtr3i 2773 . . . 4 (∗‘-i) = i
1556, 12dipcj 30733 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵))
1562, 3, 5, 155mp3an 1463 . . . 4 (∗‘(𝐵𝑃𝐴)) = (𝐴𝑃𝐵)
157154, 156oveq12i 7443 . . 3 ((∗‘-i) · (∗‘(𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
158142, 157eqtri 2765 . 2 (∗‘(-i · (𝐵𝑃𝐴))) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
159139, 141, 1583eqtr3i 2773 1 ((i𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (i · (𝐴𝑃𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493  2c2 12321  4c4 12323  cexp 14102  ccj 15135  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  normCVcnmcv 30609  ·𝑖OLDcdip 30719  CPreHilOLDccphlo 30831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-nmcv 30619  df-dip 30720  df-ph 30832
This theorem is referenced by:  ipasslem11  30859
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