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Theorem log2ublem3 26991
Description: Lemma for log2ub 26992. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 12367 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 16062 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 15733 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 15757 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2765 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 12347 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 12548 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 14120 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 12354 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 12360 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 11268 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 11268 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 11451 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2765 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 11451 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 5173 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 12541 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 12543 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 12546 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12748 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 12748 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 12542 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 12748 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 12748 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2737 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 12538 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addlidi 11449 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 12544 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addridi 11448 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 12388 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 12564 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 12748 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 12550 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 12408 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 12549 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 12391 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 12366 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 14108 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 12862 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 17115 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 12363 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 12861 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 11270 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mullidi 11266 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 53, 54decmul1 12797 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 17115 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 12748 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2737 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 12845 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 11270 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 12808 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 11453 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 12411 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 11453 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 12545 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 12843 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 12412 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 11453 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 12793 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 12748 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 12538 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addridi 11448 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 12785 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 12755 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 12432 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 12414 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 12833 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 12764 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 12785 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 12786 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 12856 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 11270 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 12809 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 12794 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 12858 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 11270 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 12798 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 12799 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2776 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 26990 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 12748 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 12748 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 12338 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2737 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2737 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 12547 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 12748 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 12748 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 12413 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2737 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2737 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2737 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 12764 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 12823 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 11453 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 12794 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 12787 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 12764 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 12804 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 12789 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 14219 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 12433 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 11272 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2771 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 7442 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 11268 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 11456 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 12748 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 12426 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addlidi 11449 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 12793 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 12785 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 12793 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 12798 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 12799 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 7442 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2765 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 12330 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulridi 11265 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2768 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 7441 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2769 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 26990 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 12748 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 12748 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 12748 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 12392 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2737 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2737 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2737 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2737 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 12764 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 12807 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 12794 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addlidi 11449 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 12787 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 12409 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 7442 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 11272 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 12860 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 11270 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 7442 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2765 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 12332 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 12430 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2768 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 7441 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2769 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 26990 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 12748 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 12748 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 12748 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 12394 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2737 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 12423 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 11453 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 12793 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 11268 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulridi 11265 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 11269 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 14106 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 7443 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 12334 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2768 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 7441 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2775 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 26990 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2737 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2737 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2737 . . . . 5 265 = 265
201 00id 11436 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 12755 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2765 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2737 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2765 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 12357 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 12837 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 12764 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 12786 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 12776 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 12786 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 12755 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2769 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 12786 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 12848 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 11270 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 12799 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 5168 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  0cn0 12526  cdc 12733  ...cfz 13547  cexp 14102  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723
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