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Theorem log2ublem3 25453
Description: Lemma for log2ub 25454. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 11726 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 15368 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 15043 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 15066 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2841 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 7156 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 11706 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 11907 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 13435 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 11713 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 11719 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 10636 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 10636 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 10818 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2841 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 11700 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 10818 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 5087 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 11900 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 11902 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 11905 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12101 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 12101 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 11901 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 12101 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 12101 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2818 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 11897 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addid2i 10816 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 11903 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addid1i 10815 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mulid2i 10634 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 11747 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 7155 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 11923 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 12101 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 11909 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 11767 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 11908 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 11725 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 13423 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 12215 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2841 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 16402 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 11722 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 12214 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 10638 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mulid2i 10634 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 53, 54decmul1 12150 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 16402 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 12101 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2818 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2818 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 12198 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 10638 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 12161 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 10820 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11770 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 10820 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 11904 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 12196 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 10638 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 11710 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 11771 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 10820 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 12146 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 7155 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 12101 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 11897 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addid1i 10815 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 12138 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 12108 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 11791 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 7157 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 11773 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 12186 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 12117 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 12138 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 12139 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 12209 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 10638 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 12162 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 12147 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 12211 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 10638 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 12151 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 12152 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2852 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 25452 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 12101 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 12101 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 11697 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2818 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2818 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 11906 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 12101 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 12101 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 11772 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2818 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2818 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2818 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 12117 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 12176 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 10820 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 12147 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 12140 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 12117 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 12157 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 12142 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 13531 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 11792 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 10640 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2847 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 7156 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 10636 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 10823 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 12101 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 7157 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 11785 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addid2i 10816 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 12146 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 12138 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 12146 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 12151 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 12152 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 7156 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2841 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 11689 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulid1i 10633 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2844 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 7155 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2845 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 25452 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 12101 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 12101 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 12101 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 11751 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2818 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2818 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2818 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2818 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 12117 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 12160 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 12147 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addid2i 10816 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 12140 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 11768 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 7156 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 10640 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 12213 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 10638 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 7156 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2841 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 11691 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 11789 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2844 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 7155 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2845 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 25452 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 12101 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 12101 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 12101 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 11753 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2818 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 11782 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 10820 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 12146 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 10636 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulid1i 10633 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 10637 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 13421 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 7157 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 7155 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 11693 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2844 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 7155 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2851 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 25452 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2818 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2818 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2818 . . . . 5 265 = 265
201 00id 10803 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 12108 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2841 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2818 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2841 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 7157 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2841 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 11716 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 12190 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 12117 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 12139 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 10638 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 7155 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 12129 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2841 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 12139 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 12108 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2845 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 12139 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 12201 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 10638 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 12152 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 5082 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  0cn0 11885  cdc 12086  ...cfz 12880  cexp 13417  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  log2ub  25454
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