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Theorem log2ublem3 27006
Description: Lemma for log2ub 27007. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 12365 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 16059 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 15730 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 15754 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2763 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 7442 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 12345 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 12546 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 14117 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 12352 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 12358 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 11266 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 11266 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 11449 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2763 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 11449 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 5178 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 12539 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 12541 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 12544 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12746 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 12746 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 12540 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 12746 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 12746 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2735 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 12536 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addlidi 11447 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 12542 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addridi 11446 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mullidi 11264 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 12386 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2763 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 12562 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 12746 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 12548 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 12406 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 12547 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 12364 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 14105 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 12860 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 17112 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 12361 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 12859 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 11268 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mullidi 11264 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 53, 54decmul1 12795 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 17112 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 12746 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2735 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2735 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 12843 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 11268 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 12806 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 11451 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 12409 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 11451 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 12543 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 12841 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 11268 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 12349 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 12410 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 11451 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 12791 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 12746 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 12536 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addridi 11446 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 12783 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 12753 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 12430 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 12412 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 12831 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 12762 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 12783 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 12784 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 12854 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 11268 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 12807 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 12792 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 12856 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 12796 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 12797 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2774 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 27005 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 12746 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 12746 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 12336 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2735 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2735 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 12545 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 12746 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 12746 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 12411 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2735 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2735 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2735 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 12762 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 12821 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 11451 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 12792 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 12785 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 12762 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 12802 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 12787 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 14216 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 12431 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 11270 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2769 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 7442 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 11266 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 11454 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 12746 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 7443 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 12424 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2763 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addlidi 11447 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 12791 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 12783 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 12791 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 12796 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 12797 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 7442 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2763 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 12328 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2766 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 7441 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2767 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 27005 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 12746 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 12746 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 12746 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 12390 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2735 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2735 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2735 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2735 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 12762 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 12805 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 12792 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addlidi 11447 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 12785 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 12407 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 7442 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 11270 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 12858 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 11268 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 7442 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2763 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 12330 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 12428 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2766 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 7441 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2767 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 27005 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 12746 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 12746 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 12746 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 12392 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2735 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 12421 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 11451 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 12791 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 11266 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulridi 11263 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 11267 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 14103 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 7443 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 12332 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2766 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 7441 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2773 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 27005 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2735 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2735 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2735 . . . . 5 265 = 265
201 00id 11434 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 12753 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2763 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2735 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2763 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 12355 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 12835 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 12762 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 12784 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 7441 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 12774 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2763 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 12784 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 12753 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2767 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 12784 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 12846 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 11268 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 12797 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 5173 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cdc 12731  ...cfz 13544  cexp 14099  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  log2ub  27007
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