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Theorem log2ublem3 26314
Description: Lemma for log2ub 26315. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 12261 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 15916 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 15590 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 15613 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2765 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 12442 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 12248 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 12254 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 11169 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 11169 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 11352 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2765 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 11352 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 5140 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 12435 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 12437 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 12440 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12640 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 12640 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 12436 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 12640 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 12640 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2737 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 12432 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 12438 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addid1i 11349 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 7372 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 12282 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 12458 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 12640 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 12444 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 12302 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 12443 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 12285 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 13980 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 12754 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 16957 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 12257 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 12753 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mulid2i 11167 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 53, 54decmul1 12689 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 16957 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 12640 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2737 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2737 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 12737 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 12700 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 11354 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 12305 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 12735 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 12245 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 12306 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 11354 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 12685 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 12640 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 12432 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addid1i 11349 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 12677 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 12647 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 12326 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 12308 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 12725 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 12656 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 12677 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 12678 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 12748 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 11171 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 12701 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 12686 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 12750 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 11171 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 12690 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 12691 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2776 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 26313 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 12640 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 12640 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 12232 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2737 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2737 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 12441 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 12640 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 12640 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 12307 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2737 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2737 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2737 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 12656 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 12715 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 12686 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 12679 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 12656 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 12696 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 12681 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 14091 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 12327 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 11173 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2771 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 7373 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 11169 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 11357 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 12640 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 7374 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 12320 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addid2i 11350 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 12685 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 12677 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 12685 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 12690 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 12691 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 7373 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2765 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 12224 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2768 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 7372 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2769 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 26313 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 12640 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 12640 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 12640 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 12286 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2737 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2737 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2737 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2737 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 12656 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 12699 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 12686 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addid2i 11350 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 12679 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 12303 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 7373 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 11173 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 12752 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 11171 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 7373 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2765 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 12226 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 12324 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2768 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 7372 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2769 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 26313 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 12640 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 12640 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 12640 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 12288 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2737 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 12317 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 11354 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 12685 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 11169 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulid1i 11166 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 11170 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 13978 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 7374 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 12228 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2768 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 7372 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2775 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 26313 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2737 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2737 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2737 . . . . 5 265 = 265
201 00id 11337 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 12647 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2765 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2737 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2765 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 12251 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 12729 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 12656 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 12678 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 7372 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 12668 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2765 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 12678 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 12647 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2769 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 12678 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 12740 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 11171 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 12691 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 5135 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4287   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  0cn0 12420  cdc 12625  ...cfz 13431  cexp 13974  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  log2ub  26315
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