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Theorem log2ublem3 24895
Description: Lemma for log2ub 24896. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for log2 is less than 53056 / 76545. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
log2ublem3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056

Proof of Theorem log2ublem3
StepHypRef Expression
1 0le0 11315 . . . . . . 7 0 ≤ 0
2 risefall0lem 14962 . . . . . . . . . . 11 (0...(0 − 1)) = ∅
32sumeq1i 14635 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4 sum0 14659 . . . . . . . . . 10 Σ𝑛 ∈ ∅ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
53, 4eqtri 2793 . . . . . . . . 9 Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = 0
65oveq2i 6806 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = (((3↑7) · (5 · 7)) · 0)
7 3cn 11300 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
8 7nn0 11520 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℕ0
9 expcl 13084 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℂ)
107, 8, 9mp2an 672 . . . . . . . . . 10 (3↑7) ∈ ℂ
11 5cn 11305 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℂ
12 7cn 11309 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℂ
1311, 12mulcli 10250 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) ∈ ℂ
1410, 13mulcli 10250 . . . . . . . . 9 ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℂ
1514mul01i 10431 . . . . . . . 8 (((3↑7) · (5 · 7)) · 0) = 0
166, 15eqtri 2793 . . . . . . 7 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = 0
17 2cn 11296 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1817mul01i 10431 . . . . . . 7 (2 · 0) = 0
191, 16, 183brtr4i 4817 . . . . . 6 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...(0 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 0)
20 0nn0 11513 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
21 2nn0 11515 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
22 5nn0 11518 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11718 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
2423, 22deccl 11718 . . . . . . . 8 255 ∈ ℕ0
25 1nn0 11514 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2624, 25deccl 11718 . . . . . . 7 2551 ∈ ℕ0
2726, 22deccl 11718 . . . . . 6 25515 ∈ ℕ0
28 eqid 2771 . . . . . 6 (0 − 1) = (0 − 1)
2927nn0cni 11510 . . . . . . 7 25515 ∈ ℂ
3029addid2i 10429 . . . . . 6 (0 + 25515) = 25515
31 3nn0 11516 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
327addid1i 10428 . . . . . 6 (3 + 0) = 3
3329mulid2i 10248 . . . . . . 7 (1 · 25515) = 25515
3418oveq1i 6805 . . . . . . . . 9 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
35 0p1e1 11337 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
3634, 35eqtri 2793 . . . . . . . 8 ((2 · 0) + 1) = 1
3736oveq1i 6805 . . . . . . 7 (((2 · 0) + 1) · 25515) = (1 · 25515)
3822, 8nn0mulcli 11537 . . . . . . . 8 (5 · 7) ∈ ℕ0
398, 21deccl 11718 . . . . . . . 8 72 ∈ ℕ0
40 9nn0 11522 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ0
41 2p1e3 11357 . . . . . . . . 9 (2 + 1) = 3
42 8nn0 11521 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
43 1p1e2 11340 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
44 9cn 11313 . . . . . . . . . . . . . 14 9 ∈ ℂ
45 exp1 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ → (9↑1) = 9)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (9↑1) = 9
4746oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . 12 ((9↑1) · 9) = (9 · 9)
48 9t9e81 11875 . . . . . . . . . . . 12 (9 · 9) = 81
4947, 48eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 ((9↑1) · 9) = 81
5040, 25, 43, 49numexpp1 15988 . . . . . . . . . 10 (9↑2) = 81
51 8cn 11311 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℂ
52 9t8e72 11874 . . . . . . . . . . 11 (9 · 8) = 72
5344, 51, 52mulcomli 10252 . . . . . . . . . 10 (8 · 9) = 72
5444mulid2i 10248 . . . . . . . . . 10 (1 · 9) = 9
5540, 42, 25, 50, 40, 53, 54decmul1 11790 . . . . . . . . 9 ((9↑2) · 9) = 729
5640, 21, 41, 55numexpp1 15988 . . . . . . . 8 (9↑3) = 729
5731, 25deccl 11718 . . . . . . . 8 31 ∈ ℕ0
58 eqid 2771 . . . . . . . . 9 72 = 72
59 eqid 2771 . . . . . . . . 9 31 = 31
60 7t5e35 11856 . . . . . . . . . . 11 (7 · 5) = 35
6112, 11, 60mulcomli 10252 . . . . . . . . . 10 (5 · 7) = 35
62 7p3e10 11808 . . . . . . . . . . 11 (7 + 3) = 10
6312, 7, 62addcomli 10433 . . . . . . . . . 10 (3 + 7) = 10
64 ax-1cn 10199 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
65 3p1e4 11359 . . . . . . . . . . . . 13 (3 + 1) = 4
667, 64, 65addcomli 10433 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 3) = 4
6766oveq2i 6806 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + (1 + 3)) = ((3 · 7) + 4)
68 4nn0 11517 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
69 7t3e21 11854 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 3) = 21
7012, 7, 69mulcomli 10252 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 7) = 21
71 4cn 11303 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
72 4p1e5 11360 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 1) = 5
7371, 64, 72addcomli 10433 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 4) = 5
7421, 25, 68, 70, 73decaddi 11784 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 7) + 4) = 25
7567, 74eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + (1 + 3)) = 25
7661oveq1i 6805 . . . . . . . . . . 11 ((5 · 7) + 0) = (35 + 0)
7731, 22deccl 11718 . . . . . . . . . . . . 13 35 ∈ ℕ0
7877nn0cni 11510 . . . . . . . . . . . 12 35 ∈ ℂ
7978addid1i 10428 . . . . . . . . . . 11 (35 + 0) = 35
8076, 79eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((5 · 7) + 0) = 35
8131, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80decmac 11771 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 7) + (3 + 7)) = 255
8225dec0h 11728 . . . . . . . . . 10 1 = 01
83 3t2e6 11385 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
8483, 35oveq12i 6807 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (0 + 1)) = (6 + 1)
85 6p1e7 11362 . . . . . . . . . . 11 (6 + 1) = 7
8684, 85eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (0 + 1)) = 7
87 5t2e10 11839 . . . . . . . . . . 11 (5 · 2) = 10
8825, 20, 35, 87decsuc 11741 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 1) = 11
8931, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88decmac 11771 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 1) = 71
908, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89decma2c 11773 . . . . . . . 8 (((5 · 7) · 72) + 31) = 2551
91 9t3e27 11869 . . . . . . . . . . 11 (9 · 3) = 27
9244, 7, 91mulcomli 10252 . . . . . . . . . 10 (3 · 9) = 27
93 7p4e11 11810 . . . . . . . . . 10 (7 + 4) = 11
9421, 8, 68, 92, 41, 25, 93decaddci 11785 . . . . . . . . 9 ((3 · 9) + 4) = 31
95 9t5e45 11871 . . . . . . . . . 10 (9 · 5) = 45
9644, 11, 95mulcomli 10252 . . . . . . . . 9 (5 · 9) = 45
9740, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96decmul1c 11792 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · 9) = 315
9838, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97decmul2c 11794 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (9↑3)) = 25515
9933, 37, 983eqtr4ri 2804 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑3)) = (((2 · 0) + 1) · 25515)
10019, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99log2ublem2 24894 . . . . 5 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...0)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 25515)
10140, 68deccl 11718 . . . . . 6 94 ∈ ℕ0
102101, 22deccl 11718 . . . . 5 945 ∈ ℕ0
103 1m1e0 11294 . . . . 5 (1 − 1) = 0
104 eqid 2771 . . . . . 6 25515 = 25515
105 eqid 2771 . . . . . 6 945 = 945
106 6nn0 11519 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ0
10721, 106deccl 11718 . . . . . . . 8 26 ∈ ℕ0
108107, 68deccl 11718 . . . . . . 7 264 ∈ ℕ0
109 5p1e6 11361 . . . . . . 7 (5 + 1) = 6
110 eqid 2771 . . . . . . . 8 2551 = 2551
111 eqid 2771 . . . . . . . 8 94 = 94
112 eqid 2771 . . . . . . . . 9 255 = 255
113 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 25 = 25
11421, 22, 109, 113decsuc 11741 . . . . . . . . 9 (25 + 1) = 26
115 9p5e14 11828 . . . . . . . . . 10 (9 + 5) = 14
11644, 11, 115addcomli 10433 . . . . . . . . 9 (5 + 9) = 14
11723, 22, 40, 112, 114, 68, 116decaddci 11785 . . . . . . . 8 (255 + 9) = 264
11824, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73decadd 11775 . . . . . . 7 (2551 + 94) = 2645
119108, 22, 109, 118decsuc 11741 . . . . . 6 ((2551 + 94) + 1) = 2646
120 5p5e10 11801 . . . . . 6 (5 + 5) = 10
12126, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120decaddc2 11780 . . . . 5 (25515 + 945) = 26460
12244sqvali 13149 . . . . . . . 8 (9↑2) = (9 · 9)
123 3t3e9 11386 . . . . . . . . 9 (3 · 3) = 9
124123oveq1i 6805 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (9 · 9)
1257, 7, 44mulassi 10254 . . . . . . . 8 ((3 · 3) · 9) = (3 · (3 · 9))
126122, 124, 1253eqtr2i 2799 . . . . . . 7 (9↑2) = (3 · (3 · 9))
127126oveq2i 6806 . . . . . 6 ((5 · 7) · (9↑2)) = ((5 · 7) · (3 · (3 · 9)))
1287, 44mulcli 10250 . . . . . . . 8 (3 · 9) ∈ ℂ
12913, 7, 128mul12i 10436 . . . . . . 7 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · ((5 · 7) · (3 · 9)))
13021, 68deccl 11718 . . . . . . . . 9 24 ∈ ℕ0
131 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 24 = 24
13283, 41oveq12i 6807 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 2) + (2 + 1)) = (6 + 3)
133 6p3e9 11376 . . . . . . . . . . 11 (6 + 3) = 9
134132, 133eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 ((3 · 2) + (2 + 1)) = 9
13571addid2i 10429 . . . . . . . . . . 11 (0 + 4) = 4
13625, 20, 68, 87, 135decaddi 11784 . . . . . . . . . 10 ((5 · 2) + 4) = 14
13731, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136decmac 11771 . . . . . . . . 9 (((5 · 7) · 2) + 24) = 94
13821, 25, 31, 70, 66decaddi 11784 . . . . . . . . . 10 ((3 · 7) + 3) = 24
1398, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61decmul1c 11792 . . . . . . . . 9 ((5 · 7) · 7) = 245
14038, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139decmul2c 11794 . . . . . . . 8 ((5 · 7) · (3 · 9)) = 945
141140oveq2i 6806 . . . . . . 7 (3 · ((5 · 7) · (3 · 9))) = (3 · 945)
142129, 141eqtri 2793 . . . . . 6 ((5 · 7) · (3 · (3 · 9))) = (3 · 945)
143 df-3 11285 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
14417mulid1i 10247 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
145144oveq1i 6805 . . . . . . . 8 ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
146143, 145eqtr4i 2796 . . . . . . 7 3 = ((2 · 1) + 1)
147146oveq1i 6805 . . . . . 6 (3 · 945) = (((2 · 1) + 1) · 945)
148127, 142, 1473eqtri 2797 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑2)) = (((2 · 1) + 1) · 945)
149100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148log2ublem2 24894 . . . 4 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...1)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26460)
150108, 106deccl 11718 . . . . 5 2646 ∈ ℕ0
151150, 20deccl 11718 . . . 4 26460 ∈ ℕ0
152106, 31deccl 11718 . . . 4 63 ∈ ℕ0
153 2m1e1 11341 . . . 4 (2 − 1) = 1
154 eqid 2771 . . . . 5 26460 = 26460
155 eqid 2771 . . . . 5 63 = 63
156 eqid 2771 . . . . . 6 2646 = 2646
157 eqid 2771 . . . . . . 7 264 = 264
158107, 68, 72, 157decsuc 11741 . . . . . 6 (264 + 1) = 265
159 6p6e12 11807 . . . . . 6 (6 + 6) = 12
160108, 106, 106, 156, 158, 21, 159decaddci 11785 . . . . 5 (2646 + 6) = 2652
1617addid2i 10429 . . . . 5 (0 + 3) = 3
162150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161decadd 11775 . . . 4 (26460 + 63) = 26523
163 1p2e3 11358 . . . 4 (1 + 2) = 3
16446oveq2i 6806 . . . . 5 ((5 · 7) · (9↑1)) = ((5 · 7) · 9)
16511, 12, 44mulassi 10254 . . . . . 6 ((5 · 7) · 9) = (5 · (7 · 9))
166 9t7e63 11873 . . . . . . . 8 (9 · 7) = 63
16744, 12, 166mulcomli 10252 . . . . . . 7 (7 · 9) = 63
168167oveq2i 6806 . . . . . 6 (5 · (7 · 9)) = (5 · 63)
169165, 168eqtri 2793 . . . . 5 ((5 · 7) · 9) = (5 · 63)
170 df-5 11287 . . . . . . 7 5 = (4 + 1)
171 2t2e4 11383 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
172171oveq1i 6805 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
173170, 172eqtr4i 2796 . . . . . 6 5 = ((2 · 2) + 1)
174173oveq1i 6805 . . . . 5 (5 · 63) = (((2 · 2) + 1) · 63)
175164, 169, 1743eqtri 2797 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑1)) = (((2 · 2) + 1) · 63)
176149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175log2ublem2 24894 . . 3 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...2)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26523)
177107, 22deccl 11718 . . . . 5 265 ∈ ℕ0
178177, 21deccl 11718 . . . 4 2652 ∈ ℕ0
179178, 31deccl 11718 . . 3 26523 ∈ ℕ0
180 3m1e2 11343 . . 3 (3 − 1) = 2
181 eqid 2771 . . . 4 26523 = 26523
182 5p3e8 11372 . . . . 5 (5 + 3) = 8
18311, 7, 182addcomli 10433 . . . 4 (3 + 5) = 8
184178, 31, 22, 181, 183decaddi 11784 . . 3 (26523 + 5) = 26528
18512, 11mulcli 10250 . . . . 5 (7 · 5) ∈ ℂ
186185mulid1i 10247 . . . 4 ((7 · 5) · 1) = (7 · 5)
18711, 12mulcomi 10251 . . . . 5 (5 · 7) = (7 · 5)
188 exp0 13070 . . . . . 6 (9 ∈ ℂ → (9↑0) = 1)
18944, 188ax-mp 5 . . . . 5 (9↑0) = 1
190187, 189oveq12i 6807 . . . 4 ((5 · 7) · (9↑0)) = ((7 · 5) · 1)
1917, 17, 83mulcomli 10252 . . . . . . 7 (2 · 3) = 6
192191oveq1i 6805 . . . . . 6 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
193 df-7 11289 . . . . . 6 7 = (6 + 1)
194192, 193eqtr4i 2796 . . . . 5 ((2 · 3) + 1) = 7
195194oveq1i 6805 . . . 4 (((2 · 3) + 1) · 5) = (7 · 5)
196186, 190, 1953eqtr4i 2803 . . 3 ((5 · 7) · (9↑0)) = (((2 · 3) + 1) · 5)
197176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196log2ublem2 24894 . 2 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (2 · 26528)
198 eqid 2771 . . 3 26528 = 26528
199 eqid 2771 . . . 4 2652 = 2652
200 eqid 2771 . . . . 5 265 = 265
201 00id 10416 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
20220dec0h 11728 . . . . . 6 0 = 00
203201, 202eqtri 2793 . . . . 5 (0 + 0) = 00
204 eqid 2771 . . . . . 6 26 = 26
20535, 82eqtri 2793 . . . . . 6 (0 + 1) = 01
206171, 35oveq12i 6807 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
207206, 72eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
208 6cn 11307 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
209 6t2e12 11846 . . . . . . . 8 (6 · 2) = 12
210208, 17, 209mulcomli 10252 . . . . . . 7 (2 · 6) = 12
21125, 21, 41, 210decsuc 11741 . . . . . 6 ((2 · 6) + 1) = 13
21221, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211decma2c 11773 . . . . 5 ((2 · 26) + (0 + 1)) = 53
21311, 17, 87mulcomli 10252 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
214213oveq1i 6805 . . . . . 6 ((2 · 5) + 0) = (10 + 0)
215 dec10p 11759 . . . . . 6 (10 + 0) = 10
216214, 215eqtri 2793 . . . . 5 ((2 · 5) + 0) = 10
217107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216decma2c 11773 . . . 4 ((2 · 265) + (0 + 0)) = 530
21822dec0h 11728 . . . . 5 5 = 05
219172, 72, 2183eqtri 2797 . . . 4 ((2 · 2) + 1) = 05
220177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219decma2c 11773 . . 3 ((2 · 2652) + 1) = 5305
221 8t2e16 11859 . . . 4 (8 · 2) = 16
22251, 17, 221mulcomli 10252 . . 3 (2 · 8) = 16
22321, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222decmul2c 11794 . 2 (2 · 26528) = 53056
224197, 223breqtri 4812 1 (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ 53056
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  c0 4063   class class class wbr 4787  (class class class)co 6795  cc 10139  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  cle 10280  cmin 10471   / cdiv 10889  2c2 11275  3c3 11276  4c4 11277  5c5 11278  6c6 11279  7c7 11280  8c8 11281  9c9 11282  0cn0 11498  cdc 11699  ...cfz 12532  cexp 13066  Σcsu 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-oi 8574  df-card 8968  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624
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