![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > decsplit | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
decsplit0.1 | โข ๐ด โ โ0 |
decsplit.2 | โข ๐ต โ โ0 |
decsplit.3 | โข ๐ท โ โ0 |
decsplit.4 | โข ๐ โ โ0 |
decsplit.5 | โข (๐ + 1) = ๐ |
decsplit.6 | โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต) = ๐ถ |
Ref | Expression |
---|---|
decsplit | โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ;๐ถ๐ท |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 10nn0 12699 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ0 | |
2 | decsplit0.1 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
3 | decsplit.4 | . . . . . . . 8 โข ๐ โ โ0 | |
4 | 1, 3 | nn0expcli 14059 | . . . . . . 7 โข (;10โ๐) โ โ0 |
5 | 2, 4 | nn0mulcli 12514 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) โ โ0 |
6 | 1, 5 | nn0mulcli 12514 | . . . . 5 โข (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) โ โ0 |
7 | 6 | nn0cni 12488 | . . . 4 โข (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) โ โ |
8 | decsplit.2 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ0 | |
9 | 1, 8 | nn0mulcli 12514 | . . . . 5 โข (;10 ยท ๐ต) โ โ0 |
10 | 9 | nn0cni 12488 | . . . 4 โข (;10 ยท ๐ต) โ โ |
11 | decsplit.3 | . . . . 5 โข ๐ท โ โ0 | |
12 | 11 | nn0cni 12488 | . . . 4 โข ๐ท โ โ |
13 | 7, 10, 12 | addassi 11228 | . . 3 โข (((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) |
14 | 1 | nn0cni 12488 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ |
15 | 5 | nn0cni 12488 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) โ โ |
16 | 8 | nn0cni 12488 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
17 | 14, 15, 16 | adddii 11230 | . . . . 5 โข (;10 ยท ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต)) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) |
18 | decsplit.6 | . . . . . 6 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต) = ๐ถ | |
19 | 18 | oveq2i 7416 | . . . . 5 โข (;10 ยท ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต)) = (;10 ยท ๐ถ) |
20 | 17, 19 | eqtr3i 2756 | . . . 4 โข ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) = (;10 ยท ๐ถ) |
21 | 20 | oveq1i 7415 | . . 3 โข (((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) |
22 | 13, 21 | eqtr3i 2756 | . 2 โข ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) |
23 | decsplit.5 | . . . . . 6 โข (๐ + 1) = ๐ | |
24 | 4 | nn0cni 12488 | . . . . . . 7 โข (;10โ๐) โ โ |
25 | 24, 14 | mulcomi 11226 | . . . . . 6 โข ((;10โ๐) ยท ;10) = (;10 ยท (;10โ๐)) |
26 | 1, 3, 23, 25 | numexpp1 17020 | . . . . 5 โข (;10โ๐) = (;10 ยท (;10โ๐)) |
27 | 26 | oveq2i 7416 | . . . 4 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) = (๐ด ยท (;10 ยท (;10โ๐))) |
28 | 2 | nn0cni 12488 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
29 | 28, 14, 24 | mul12i 11413 | . . . 4 โข (๐ด ยท (;10 ยท (;10โ๐))) = (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) |
30 | 27, 29 | eqtri 2754 | . . 3 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) = (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) |
31 | dfdec10 12684 | . . 3 โข ;๐ต๐ท = ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท) | |
32 | 30, 31 | oveq12i 7417 | . 2 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) |
33 | dfdec10 12684 | . 2 โข ;๐ถ๐ท = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
34 | 22, 32, 33 | 3eqtr4i 2764 | 1 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ;๐ถ๐ท |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โ0cn0 12476 ;cdc 12681 โcexp 14032 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-seq 13973 df-exp 14033 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |