![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > decsplit | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
decsplit0.1 | โข ๐ด โ โ0 |
decsplit.2 | โข ๐ต โ โ0 |
decsplit.3 | โข ๐ท โ โ0 |
decsplit.4 | โข ๐ โ โ0 |
decsplit.5 | โข (๐ + 1) = ๐ |
decsplit.6 | โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต) = ๐ถ |
Ref | Expression |
---|---|
decsplit | โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ;๐ถ๐ท |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 10nn0 12733 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ0 | |
2 | decsplit0.1 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ0 | |
3 | decsplit.4 | . . . . . . . 8 โข ๐ โ โ0 | |
4 | 1, 3 | nn0expcli 14093 | . . . . . . 7 โข (;10โ๐) โ โ0 |
5 | 2, 4 | nn0mulcli 12548 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) โ โ0 |
6 | 1, 5 | nn0mulcli 12548 | . . . . 5 โข (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) โ โ0 |
7 | 6 | nn0cni 12522 | . . . 4 โข (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) โ โ |
8 | decsplit.2 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ0 | |
9 | 1, 8 | nn0mulcli 12548 | . . . . 5 โข (;10 ยท ๐ต) โ โ0 |
10 | 9 | nn0cni 12522 | . . . 4 โข (;10 ยท ๐ต) โ โ |
11 | decsplit.3 | . . . . 5 โข ๐ท โ โ0 | |
12 | 11 | nn0cni 12522 | . . . 4 โข ๐ท โ โ |
13 | 7, 10, 12 | addassi 11262 | . . 3 โข (((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) |
14 | 1 | nn0cni 12522 | . . . . . 6 โข ;10 โ โ |
15 | 5 | nn0cni 12522 | . . . . . 6 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) โ โ |
16 | 8 | nn0cni 12522 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
17 | 14, 15, 16 | adddii 11264 | . . . . 5 โข (;10 ยท ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต)) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) |
18 | decsplit.6 | . . . . . 6 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต) = ๐ถ | |
19 | 18 | oveq2i 7437 | . . . . 5 โข (;10 ยท ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ๐ต)) = (;10 ยท ๐ถ) |
20 | 17, 19 | eqtr3i 2758 | . . . 4 โข ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) = (;10 ยท ๐ถ) |
21 | 20 | oveq1i 7436 | . . 3 โข (((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + (;10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) |
22 | 13, 21 | eqtr3i 2758 | . 2 โข ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) |
23 | decsplit.5 | . . . . . 6 โข (๐ + 1) = ๐ | |
24 | 4 | nn0cni 12522 | . . . . . . 7 โข (;10โ๐) โ โ |
25 | 24, 14 | mulcomi 11260 | . . . . . 6 โข ((;10โ๐) ยท ;10) = (;10 ยท (;10โ๐)) |
26 | 1, 3, 23, 25 | numexpp1 17054 | . . . . 5 โข (;10โ๐) = (;10 ยท (;10โ๐)) |
27 | 26 | oveq2i 7437 | . . . 4 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) = (๐ด ยท (;10 ยท (;10โ๐))) |
28 | 2 | nn0cni 12522 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ |
29 | 28, 14, 24 | mul12i 11447 | . . . 4 โข (๐ด ยท (;10 ยท (;10โ๐))) = (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) |
30 | 27, 29 | eqtri 2756 | . . 3 โข (๐ด ยท (;10โ๐)) = (;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) |
31 | dfdec10 12718 | . . 3 โข ;๐ต๐ท = ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท) | |
32 | 30, 31 | oveq12i 7438 | . 2 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ((;10 ยท (๐ด ยท (;10โ๐))) + ((;10 ยท ๐ต) + ๐ท)) |
33 | dfdec10 12718 | . 2 โข ;๐ถ๐ท = ((;10 ยท ๐ถ) + ๐ท) | |
34 | 22, 32, 33 | 3eqtr4i 2766 | 1 โข ((๐ด ยท (;10โ๐)) + ;๐ต๐ท) = ;๐ถ๐ท |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 0cc0 11146 1c1 11147 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โ0cn0 12510 ;cdc 12715 โcexp 14066 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-3 12314 df-4 12315 df-5 12316 df-6 12317 df-7 12318 df-8 12319 df-9 12320 df-n0 12511 df-z 12597 df-dec 12716 df-uz 12861 df-seq 14007 df-exp 14067 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |