Theorem decsplit 17260

Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsplit0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsplit	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12836	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decsplit0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decsplit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	1, 3	nn0expcli 14231	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℕ0
5	2, 4	nn0mulcli 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℕ0
6	1, 5	nn0mulcli 12644	. . . . 5 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
8		decsplit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	1, 8	nn0mulcli 12644	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
11		decsplit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
13	7, 10, 12	addassi 11319	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
14	1	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
15	5	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
16	8	nn0cni 12618	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 15, 16	adddii 11321	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵))
18		decsplit.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
19	18	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
20	17, 19	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
21	20	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
22	13, 21	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
23		decsplit.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	4	nn0cni 12618	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
25	24, 14	mulcomi 11317	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑𝑀) · ;10) = (;10 · (;10↑𝑀))
26	1, 3, 23, 25	numexpp1 17255	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑁) = (;10 · (;10↑𝑀))
27	26	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀)))
28	2	nn0cni 12618	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	28, 14, 24	mul12i 11505	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀))) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
30	27, 29	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
31		dfdec10 12817	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
32	30, 31	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
33		dfdec10 12817	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
34	22, 32, 33	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205  ℕ₀cn0 12606  ;cdc 12814  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by: (None)