Theorem decsplit 17048

Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsplit0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsplit	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12657	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decsplit0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decsplit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	1, 3	nn0expcli 14045	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℕ0
5	2, 4	nn0mulcli 12470	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℕ0
6	1, 5	nn0mulcli 12470	. . . . 5 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12444	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
8		decsplit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	1, 8	nn0mulcli 12470	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12444	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
11		decsplit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12444	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
13	7, 10, 12	addassi 11150	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
14	1	nn0cni 12444	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
15	5	nn0cni 12444	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
16	8	nn0cni 12444	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 15, 16	adddii 11152	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵))
18		decsplit.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
19	18	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
20	17, 19	eqtr3i 2766	. . . 4 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
21	20	oveq1i 7370	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
22	13, 21	eqtr3i 2766	. 2 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
23		decsplit.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	4	nn0cni 12444	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
25	24, 14	mulcomi 11148	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑𝑀) · ;10) = (;10 · (;10↑𝑀))
26	1, 3, 23, 25	numexpp1 17043	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑁) = (;10 · (;10↑𝑀))
27	26	oveq2i 7371	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀)))
28	2	nn0cni 12444	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	28, 14, 24	mul12i 11336	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀))) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
30	27, 29	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
31		dfdec10 12642	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
32	30, 31	oveq12i 7372	. 2 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
33		dfdec10 12642	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
34	22, 32, 33	3eqtr4i 2774	1 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038  ℕ₀cn0 12432  ;cdc 12639  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by: (None)