Theorem decsplit 16994

Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsplit0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsplit	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12609	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decsplit0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decsplit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	1, 3	nn0expcli 13995	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℕ0
5	2, 4	nn0mulcli 12422	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℕ0
6	1, 5	nn0mulcli 12422	. . . . 5 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12396	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
8		decsplit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	1, 8	nn0mulcli 12422	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12396	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
11		decsplit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12396	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
13	7, 10, 12	addassi 11125	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
14	1	nn0cni 12396	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
15	5	nn0cni 12396	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
16	8	nn0cni 12396	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 15, 16	adddii 11127	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵))
18		decsplit.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
19	18	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
20	17, 19	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
21	20	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
22	13, 21	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
23		decsplit.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	4	nn0cni 12396	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
25	24, 14	mulcomi 11123	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑𝑀) · ;10) = (;10 · (;10↑𝑀))
26	1, 3, 23, 25	numexpp1 16989	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑁) = (;10 · (;10↑𝑀))
27	26	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀)))
28	2	nn0cni 12396	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	28, 14, 24	mul12i 11311	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀))) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
30	27, 29	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
31		dfdec10 12594	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
32	30, 31	oveq12i 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
33		dfdec10 12594	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
34	22, 32, 33	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  ℕ₀cn0 12384  ;cdc 12591  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

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