MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplit 17014
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplit ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit
StepHypRef Expression
1 10nn0 12691 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
2 decsplit0.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
3 decsplit.4 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
41, 3nn0expcli 14050 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℕ0
52, 4nn0mulcli 12506 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℕ0
61, 5nn0mulcli 12506 . . . . 5 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℕ0
76nn0cni 12480 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
8 decsplit.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
91, 8nn0mulcli 12506 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
109nn0cni 12480 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
11 decsplit.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12480 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
137, 10, 12addassi 11220 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
141nn0cni 12480 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
155nn0cni 12480 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
168nn0cni 12480 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1714, 15, 16adddii 11222 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplit.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 7412 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2754 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 7411 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2213, 21eqtr3i 2754 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplit.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
244nn0cni 12480 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℂ
2524, 14mulcomi 11218 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
261, 3, 23, 25numexpp1 17009 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2726oveq2i 7412 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
282nn0cni 12480 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2928, 14, 24mul12i 11405 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
3027, 29eqtri 2752 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
31 dfdec10 12676 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3230, 31oveq12i 7413 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
33 dfdec10 12676 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3422, 32, 333eqtr4i 2762 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  (class class class)co 7401  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  0cn0 12468  cdc 12673  cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator