MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplit 16636
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0.1 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5 (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
decsplit ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit
StepHypRef Expression
1 10nn0 12311 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
2 decsplit0.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
3 decsplit.4 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ0
41, 3nn0expcli 13661 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℕ0
52, 4nn0mulcli 12128 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℕ0
61, 5nn0mulcli 12128 . . . . 5 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℕ0
76nn0cni 12102 . . . 4 (10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
8 decsplit.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
91, 8nn0mulcli 12128 . . . . 5 (10 · 𝐵) ∈ ℕ0
109nn0cni 12102 . . . 4 (10 · 𝐵) ∈ ℂ
11 decsplit.3 . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1211nn0cni 12102 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
137, 10, 12addassi 10843 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
141nn0cni 12102 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
155nn0cni 12102 . . . . . 6 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
168nn0cni 12102 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
1714, 15, 16adddii 10845 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵))
18 decsplit.6 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
1918oveq2i 7224 . . . . 5 (10 · ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2017, 19eqtr3i 2767 . . . 4 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) = (10 · 𝐶)
2120oveq1i 7223 . . 3 (((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + (10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
2213, 21eqtr3i 2767 . 2 ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
23 decsplit.5 . . . . . 6 (𝑀 + 1) = 𝑁
244nn0cni 12102 . . . . . . 7 (10↑𝑀) ∈ ℂ
2524, 14mulcomi 10841 . . . . . 6 ((10↑𝑀) · 10) = (10 · (10↑𝑀))
261, 3, 23, 25numexpp1 16631 . . . . 5 (10↑𝑁) = (10 · (10↑𝑀))
2726oveq2i 7224 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (𝐴 · (10 · (10↑𝑀)))
282nn0cni 12102 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2928, 14, 24mul12i 11027 . . . 4 (𝐴 · (10 · (10↑𝑀))) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
3027, 29eqtri 2765 . . 3 (𝐴 · (10↑𝑁)) = (10 · (𝐴 · (10↑𝑀)))
31 dfdec10 12296 . . 3 𝐵𝐷 = ((10 · 𝐵) + 𝐷)
3230, 31oveq12i 7225 . 2 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = ((10 · (𝐴 · (10↑𝑀))) + ((10 · 𝐵) + 𝐷))
33 dfdec10 12296 . 2 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
3422, 32, 333eqtr4i 2775 1 ((𝐴 · (10↑𝑁)) + 𝐵𝐷) = 𝐶𝐷
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  0cn0 12090  cdc 12293  cexp 13635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator