Theorem decsplit 17207

Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decsplit0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decsplit.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decsplit.3	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decsplit.4	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decsplit.5	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
decsplit.6	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decsplit	⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

Proof of Theorem decsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 12791	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
2		decsplit0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decsplit.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	1, 3	nn0expcli 14185	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℕ0
5	2, 4	nn0mulcli 12599	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℕ0
6	1, 5	nn0mulcli 12599	. . . . 5 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℕ0
7	6	nn0cni 12573	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) ∈ ℂ
8		decsplit.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
9	1, 8	nn0mulcli 12599	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12573	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐵) ∈ ℂ
11		decsplit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12	11	nn0cni 12573	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
13	7, 10, 12	addassi 11276	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
14	1	nn0cni 12573	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℂ
15	5	nn0cni 12573	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑀)) ∈ ℂ
16	8	nn0cni 12573	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 15, 16	adddii 11278	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵))
18		decsplit.6	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝐶
19	18	oveq2i 7420	. . . . 5 ⊢ (;10 · ((𝐴 · (;10↑𝑀)) + 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
20	17, 19	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) = (;10 · 𝐶)
21	20	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ (((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + (;10 · 𝐵)) + 𝐷) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
22	13, 21	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷)) = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
23		decsplit.5	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
24	4	nn0cni 12573	. . . . . . 7 ⊢ (;10↑𝑀) ∈ ℂ
25	24, 14	mulcomi 11274	. . . . . 6 ⊢ ((;10↑𝑀) · ;10) = (;10 · (;10↑𝑀))
26	1, 3, 23, 25	numexpp1 17202	. . . . 5 ⊢ (;10↑𝑁) = (;10 · (;10↑𝑀))
27	26	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀)))
28	2	nn0cni 12573	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	28, 14, 24	mul12i 11462	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (;10 · (;10↑𝑀))) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
30	27, 29	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝐴 · (;10↑𝑁)) = (;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀)))
31		dfdec10 12772	. . 3 ⊢ ;𝐵𝐷 = ((;10 · 𝐵) + 𝐷)
32	30, 31	oveq12i 7421	. 2 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ((;10 · (𝐴 · (;10↑𝑀))) + ((;10 · 𝐵) + 𝐷))
33		dfdec10 12772	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((;10 · 𝐶) + 𝐷)
34	22, 32, 33	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ((𝐴 · (;10↑𝑁)) + ;𝐵𝐷) = ;𝐶𝐷

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162  ℕ₀cn0 12561  ;cdc 12769  ↑cexp 14158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-seq 14099  df-exp 14159

This theorem is used by: (None)