MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decsplit 17025
Description: Split a decimal number into two parts. Inductive step. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decsplit0.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
decsplit.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
decsplit.3 ๐ท โˆˆ โ„•0
decsplit.4 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
decsplit.5 (๐‘€ + 1) = ๐‘
decsplit.6 ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) + ๐ต) = ๐ถ
Assertion
Ref Expression
decsplit ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘)) + ๐ต๐ท) = ๐ถ๐ท

Proof of Theorem decsplit
StepHypRef Expression
1 10nn0 12699 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
2 decsplit0.1 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 decsplit.4 . . . . . . . 8 ๐‘€ โˆˆ โ„•0
41, 3nn0expcli 14059 . . . . . . 7 (10โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„•0
52, 4nn0mulcli 12514 . . . . . 6 (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„•0
61, 5nn0mulcli 12514 . . . . 5 (10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) โˆˆ โ„•0
76nn0cni 12488 . . . 4 (10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) โˆˆ โ„‚
8 decsplit.2 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
91, 8nn0mulcli 12514 . . . . 5 (10 ยท ๐ต) โˆˆ โ„•0
109nn0cni 12488 . . . 4 (10 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚
11 decsplit.3 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„•0
1211nn0cni 12488 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„‚
137, 10, 12addassi 11228 . . 3 (((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + (10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + ((10 ยท ๐ต) + ๐ท))
141nn0cni 12488 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„‚
155nn0cni 12488 . . . . . 6 (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) โˆˆ โ„‚
168nn0cni 12488 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‚
1714, 15, 16adddii 11230 . . . . 5 (10 ยท ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) + ๐ต)) = ((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + (10 ยท ๐ต))
18 decsplit.6 . . . . . 6 ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) + ๐ต) = ๐ถ
1918oveq2i 7416 . . . . 5 (10 ยท ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)) + ๐ต)) = (10 ยท ๐ถ)
2017, 19eqtr3i 2756 . . . 4 ((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + (10 ยท ๐ต)) = (10 ยท ๐ถ)
2120oveq1i 7415 . . 3 (((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + (10 ยท ๐ต)) + ๐ท) = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
2213, 21eqtr3i 2756 . 2 ((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + ((10 ยท ๐ต) + ๐ท)) = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
23 decsplit.5 . . . . . 6 (๐‘€ + 1) = ๐‘
244nn0cni 12488 . . . . . . 7 (10โ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚
2524, 14mulcomi 11226 . . . . . 6 ((10โ†‘๐‘€) ยท 10) = (10 ยท (10โ†‘๐‘€))
261, 3, 23, 25numexpp1 17020 . . . . 5 (10โ†‘๐‘) = (10 ยท (10โ†‘๐‘€))
2726oveq2i 7416 . . . 4 (๐ด ยท (10โ†‘๐‘)) = (๐ด ยท (10 ยท (10โ†‘๐‘€)))
282nn0cni 12488 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
2928, 14, 24mul12i 11413 . . . 4 (๐ด ยท (10 ยท (10โ†‘๐‘€))) = (10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)))
3027, 29eqtri 2754 . . 3 (๐ด ยท (10โ†‘๐‘)) = (10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€)))
31 dfdec10 12684 . . 3 ๐ต๐ท = ((10 ยท ๐ต) + ๐ท)
3230, 31oveq12i 7417 . 2 ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘)) + ๐ต๐ท) = ((10 ยท (๐ด ยท (10โ†‘๐‘€))) + ((10 ยท ๐ต) + ๐ท))
33 dfdec10 12684 . 2 ๐ถ๐ท = ((10 ยท ๐ถ) + ๐ท)
3422, 32, 333eqtr4i 2764 1 ((๐ด ยท (10โ†‘๐‘)) + ๐ต๐ท) = ๐ถ๐ท
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•0cn0 12476  cdc 12681  โ†‘cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator