Theorem 3exp4mod41 47540

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12398	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7441	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12344	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14141	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14233	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7442	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12859	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2766	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7440	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12733	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12431	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7441	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11584	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7442	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12273	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11265	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11265	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12377	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11268	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11270	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11453	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2771	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7440	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2768	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7440	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12750	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12273	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11265	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11449	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7440	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12378	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13043	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12646	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13942	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2762	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2766	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489  -cneg 11490  ℕcn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  8c8 12324  9c9 12325  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ;cdc 12730  ℝ⁺crp 13031   mod cmo 13905  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47542