Theorem 3exp4mod41 48426

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12390	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7430	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12337	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14158	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14252	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12861	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2792	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7429	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12730	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		2t4e8 12425	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	oveq2i 7430	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
18		2cn 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		ax-1cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	negsubi 11551	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
21		2m1e1 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
22	20, 21	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
23	22	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
24	17, 23	oveq12i 7431	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
25		10nn 12747	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
26	25	nncni 12258	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
27		4cn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
28	18, 27	mulcli 11231	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
29	26, 28	mulcli 11231	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
30		neg1cn 12218	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
31	29, 18, 30	addassi 11234	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
32	26, 27	mulcli 11231	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
33	18, 32, 19	adddii 11236	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
34		dfdec10 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
35	34	eqcomi 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
36	35	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
37	18, 26, 27	mul12i 11420	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
38		2t1e2 12418	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
39	37, 38	oveq12i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
40	33, 36, 39	3eqtr3ri 2797	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
41	40	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
42	24, 31, 41	3eqtr2i 2794	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
43	14, 42	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
44	43	oveq1i 7429	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
45		4nn0 12538	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
46		1nn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
47	45, 46	decnncl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
48	47	nncni 12258	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
49	18, 48	mulcli 11231	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
50	49, 30	addcomi 11416	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
51	50	oveq1i 7429	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
52		neg1rr 12219	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
53		nnrp 13044	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
54	47, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
55		2z 12641	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		modcyc 13957	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
57	52, 54, 55, 56	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
58	51, 57	eqtri 2788	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	13, 44, 58	3eqtri 2792	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457  ℕcn 12248  2c2 12310  3c3 12311  4c4 12312  8c8 12316  9c9 12317  ℕ₀cn0 12519  ℤcz 12606  ;cdc 12727  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13920  ↑cexp 14115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-rp 13033  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48428