Theorem 3exp4mod41 44134

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 11760	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2807	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7146	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 11706	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 11902	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 13467	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 13557	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12215	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2825	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7145	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12089	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 11710	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 11700	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11793	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10639	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2807	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 10584	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 10953	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2807	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7147	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12102	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 11635	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 10637	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 10637	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 11739	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 10640	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 10637	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 10642	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12089	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7146	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 10824	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 11788	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7147	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2830	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7145	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2827	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2821	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7145	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 11904	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 11636	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12106	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 11635	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 10637	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 10820	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7145	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 11740	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12388	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12002	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13269	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2821	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2825	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  -cneg 10860  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  8c8 11686  9c9 11687  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ;cdc 12086  ℝ⁺crp 12377   mod cmo 13232  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  44136