Theorem 3exp4mod41 47590

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12292	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12243	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14045	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14139	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12754	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7379	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12628	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11102	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11476	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12641	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12172	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11157	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11157	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12147	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11160	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11162	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12628	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11345	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2758	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7379	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12645	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12172	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11157	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11341	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7379	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12148	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12939	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12541	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13844	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2752	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2756	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  8c8 12223  9c9 12224  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ;cdc 12625  ℝ⁺crp 12927   mod cmo 13807  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47592