Theorem 3exp4mod41 48368

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12370	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7421	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12317	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14136	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14230	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12840	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7420	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12709	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12404	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11213	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7421	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7422	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12726	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12238	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11211	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11211	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12198	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11214	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11216	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2795	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2792	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7420	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12239	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12238	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11211	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11396	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12199	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13023	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12621	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13935	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2786	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2790	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  -cneg 11437  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  8c8 12296  9c9 12297  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ;cdc 12706  ℝ⁺crp 13011   mod cmo 13898  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48370