Theorem 3exp4mod41 47655

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12255	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12206	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14011	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14105	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12717	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2758	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7356	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12591	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12288	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12246	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7358	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12604	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12135	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11119	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12110	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11122	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11119	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11124	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7357	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7358	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2763	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2760	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2754	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7356	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12608	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12135	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11119	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11304	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12111	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12902	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12504	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13810	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2754	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2758	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345  ℕcn 12125  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  8c8 12186  9c9 12187  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ;cdc 12588  ℝ⁺crp 12890   mod cmo 13773  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47657