Theorem 3exp4mod41 48094

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12302	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12253	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14057	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1469	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14151	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12764	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2766	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12638	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12335	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12293	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12651	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12175	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11143	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11143	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12135	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11146	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11148	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12638	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2771	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2768	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2762	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12176	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12655	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12175	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11143	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11328	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12136	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12945	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12550	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13856	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1469	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2762	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2766	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  8c8 12233  9c9 12234  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ;cdc 12635  ℝ⁺crp 12933   mod cmo 13819  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48096