Theorem 3exp4mod41 47804

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12273	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2743	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12224	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14025	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14119	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12734	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2761	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7366	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12608	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12228	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2743	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11082	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11457	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12153	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11137	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11137	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12128	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11140	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11142	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11326	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7366	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2763	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7366	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12154	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12625	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12153	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11137	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11322	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7366	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12129	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12915	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12521	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13824	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2757	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2761	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  -cneg 11363  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  8c8 12204  9c9 12205  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ;cdc 12605  ℝ⁺crp 12903   mod cmo 13787  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47806