Theorem 3exp4mod41 43788

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 11775	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2833	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7170	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 11721	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 11917	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 13474	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1457	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 13564	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7171	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12230	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2847	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2851	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7169	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12104	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 11715	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 11808	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2833	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7170	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 10598	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 10967	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 11766	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2847	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2833	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7171	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12117	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 11651	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 10651	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 10651	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 11754	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 10654	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 10651	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 10656	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12104	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7170	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 10838	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 11803	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2856	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7169	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2853	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2847	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7169	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 11919	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 11652	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12121	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 11651	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 10651	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 10834	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7169	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 11755	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12403	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12017	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13277	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2847	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2851	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   − cmin 10873  -cneg 10874  ℕcn 11641  2c2 11695  3c3 11696  4c4 11697  8c8 11701  9c9 11702  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ;cdc 12101  ℝ⁺crp 12392   mod cmo 13240  ↑cexp 13432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  43790