Theorem 3exp4mod41 46947

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12372	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7426	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12318	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14096	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14188	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7427	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12831	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2760	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7425	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12705	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12322	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12312	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12405	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2737	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7426	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11563	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2737	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7427	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12718	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12247	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11246	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11246	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12351	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11249	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11251	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11434	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7425	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2762	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2756	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7425	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12722	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12247	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11246	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11430	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7425	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12352	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13012	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12619	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13898	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1458	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2756	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2760	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7415  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   − cmin 11469  -cneg 11470  ℕcn 12237  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  8c8 12298  9c9 12299  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ;cdc 12702  ℝ⁺crp 13001   mod cmo 13861  ↑cexp 14053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  46949