Theorem 3exp4mod41 48974

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12517	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12464	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14287	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14381	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12988	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7461	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12857	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		2t4e8 12552	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
18		2cn 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		ax-1cn 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	negsubi 11675	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
21		2m1e1 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
22	20, 21	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
23	22	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
24	17, 23	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
25		10nn 12874	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
26	25	nncni 12385	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
27		4cn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
28	18, 27	mulcli 11355	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
29	26, 28	mulcli 11355	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
30		neg1cn 12345	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
31	29, 18, 30	addassi 11358	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
32	26, 27	mulcli 11355	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
33	18, 32, 19	adddii 11360	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
34		dfdec10 12857	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
35	34	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
36	35	oveq2i 7462	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
37	18, 26, 27	mul12i 11544	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
38		2t1e2 12545	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
39	37, 38	oveq12i 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
40	33, 36, 39	3eqtr3ri 2795	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
41	40	oveq1i 7461	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
42	24, 31, 41	3eqtr2i 2792	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
43	14, 42	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
44	43	oveq1i 7461	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
45		4nn0 12665	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
46		1nn 12386	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
47	45, 46	decnncl 12878	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
48	47	nncni 12385	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
49	18, 48	mulcli 11355	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
50	49, 30	addcomi 11540	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = ( -1 + (2 · ;41))
51	50	oveq1i 7461	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41)
52		neg1rr 12346	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
53		nnrp 13172	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
54	47, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
55		2z 12768	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		modcyc 14086	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41) = ( -1 mod ;41))
57	52, 54, 55, 56	mp3an 1491	. . 3 ⊢ (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
58	51, 57	eqtri 2786	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
59	13, 44, 58	3eqtri 2790	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  8c8 12443  9c9 12444  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ;cdc 12854  ℝ⁺crp 13160   mod cmo 14049  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48976