Theorem 3exp4mod41 48256

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12374	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2778	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12321	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14139	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1487	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14233	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12844	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2796	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7421	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12713	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2778	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11157	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12242	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11215	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11215	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12202	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11218	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11215	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11220	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12713	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11404	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12402	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2801	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2798	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2792	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7421	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12522	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12243	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12734	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12242	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11215	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11400	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12203	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13027	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12625	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13938	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1487	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2792	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2796	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  8c8 12300  9c9 12301  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ;cdc 12710  ℝ⁺crp 13015   mod cmo 13901  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48258