Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp4mod41 42315
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 11455 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
21eqcomi 2808 . . . . 5 4 = (2 + 2)
32oveq2i 6889 . . . 4 (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4 3cn 11394 . . . . 5 3 ∈ ℂ
5 2nn0 11599 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 expadd 13156 . . . . 5 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
74, 5, 5, 6mp3an 1586 . . . 4 (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8 sq3 13215 . . . . . 6 (3↑2) = 9
98, 8oveq12i 6890 . . . . 5 ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10 9t9e81 11914 . . . . 5 (9 · 9) = 81
119, 10eqtri 2821 . . . 4 ((3↑2) · (3↑2)) = 81
123, 7, 113eqtri 2825 . . 3 (3↑4) = 81
1312oveq1i 6888 . 2 ((3↑4) mod 41) = (81 mod 41)
14 dfdec10 11786 . . . 4 81 = ((10 · 8) + 1)
15 4cn 11399 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
16 2cn 11388 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11488 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10338 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2808 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
2019oveq2i 6889 . . . . . 6 (10 · 8) = (10 · (2 · 4))
21 ax-1cn 10282 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2216, 21negsubi 10651 . . . . . . . 8 (2 + -1) = (2 − 1)
23 2m1e1 11446 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
2422, 23eqtri 2821 . . . . . . 7 (2 + -1) = 1
2524eqcomi 2808 . . . . . 6 1 = (2 + -1)
2620, 25oveq12i 6890 . . . . 5 ((10 · 8) + 1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27 10nn 11799 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ
2827nncni 11323 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2916, 15mulcli 10336 . . . . . . 7 (2 · 4) ∈ ℂ
3028, 29mulcli 10336 . . . . . 6 (10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31 neg1cn 11434 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3230, 16, 31addassi 10339 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
3328, 15mulcli 10336 . . . . . . . 8 (10 · 4) ∈ ℂ
3416, 33, 21adddii 10341 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1))
35 dfdec10 11786 . . . . . . . . 9 41 = ((10 · 4) + 1)
3635eqcomi 2808 . . . . . . . 8 ((10 · 4) + 1) = 41
3736oveq2i 6889 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = (2 · 41)
3816, 28, 15mul12i 10521 . . . . . . . 8 (2 · (10 · 4)) = (10 · (2 · 4))
39 2t1e2 11483 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
4038, 39oveq12i 6890 . . . . . . 7 ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1)) = ((10 · (2 · 4)) + 2)
4134, 37, 403eqtr3ri 2830 . . . . . 6 ((10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · 41)
4241oveq1i 6888 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · 41) + -1)
4326, 32, 423eqtr2i 2827 . . . 4 ((10 · 8) + 1) = ((2 · 41) + -1)
4414, 43eqtri 2821 . . 3 81 = ((2 · 41) + -1)
4544oveq1i 6888 . 2 (81 mod 41) = (((2 · 41) + -1) mod 41)
46 4nn0 11601 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
47 1nn 11325 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47decnncl 11804 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
4948nncni 11323 . . . . . 6 41 ∈ ℂ
5016, 49mulcli 10336 . . . . 5 (2 · 41) ∈ ℂ
5150, 31addcomi 10517 . . . 4 ((2 · 41) + -1) = (-1 + (2 · 41))
5251oveq1i 6888 . . 3 (((2 · 41) + -1) mod 41) = ((-1 + (2 · 41)) mod 41)
53 neg1rr 11435 . . . 4 -1 ∈ ℝ
54 nnrp 12087 . . . . 5 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
5548, 54ax-mp 5 . . . 4 41 ∈ ℝ+
56 2z 11699 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 modcyc 12960 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41))
5853, 55, 56, 57mp3an 1586 . . 3 ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41)
5952, 58eqtri 2821 . 2 (((2 · 41) + -1) mod 41) = (-1 mod 41)
6013, 45, 593eqtri 2825 1 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  cmin 10556  -cneg 10557  cn 11312  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  8c8 11374  9c9 11375  0cn0 11580  cz 11666  cdc 11783  +crp 12074   mod cmo 12923  cexp 13114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  42317
  Copyright terms: Public domain W3C validator