Theorem 3exp4mod41 47862

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12275	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12226	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14027	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14121	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12736	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7368	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12610	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12230	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2745	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11459	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12266	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7370	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12623	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12155	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11139	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12130	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11142	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11139	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11144	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7369	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2765	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7368	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12420	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12156	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12627	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12155	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11139	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11324	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12131	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12917	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12523	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13826	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2763	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  -cneg 11365  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  8c8 12206  9c9 12207  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ;cdc 12607  ℝ⁺crp 12905   mod cmo 13789  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47864