Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3exp4mod41 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3exp4mod41 43613
Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
3exp4mod41 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)

Proof of Theorem 3exp4mod41
StepHypRef Expression
1 2p2e4 11761 . . . . . 6 (2 + 2) = 4
21eqcomi 2835 . . . . 5 4 = (2 + 2)
32oveq2i 7159 . . . 4 (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4 3cn 11707 . . . . 5 3 ∈ ℂ
5 2nn0 11903 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 expadd 13461 . . . . 5 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
74, 5, 5, 6mp3an 1454 . . . 4 (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8 sq3 13551 . . . . . 6 (3↑2) = 9
98, 8oveq12i 7160 . . . . 5 ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10 9t9e81 12216 . . . . 5 (9 · 9) = 81
119, 10eqtri 2849 . . . 4 ((3↑2) · (3↑2)) = 81
123, 7, 113eqtri 2853 . . 3 (3↑4) = 81
1312oveq1i 7158 . 2 ((3↑4) mod 41) = (81 mod 41)
14 dfdec10 12090 . . . 4 81 = ((10 · 8) + 1)
15 4cn 11711 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
16 2cn 11701 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
17 4t2e8 11794 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
1815, 16, 17mulcomli 10639 . . . . . . . 8 (2 · 4) = 8
1918eqcomi 2835 . . . . . . 7 8 = (2 · 4)
2019oveq2i 7159 . . . . . 6 (10 · 8) = (10 · (2 · 4))
21 ax-1cn 10584 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
2216, 21negsubi 10953 . . . . . . . 8 (2 + -1) = (2 − 1)
23 2m1e1 11752 . . . . . . . 8 (2 − 1) = 1
2422, 23eqtri 2849 . . . . . . 7 (2 + -1) = 1
2524eqcomi 2835 . . . . . 6 1 = (2 + -1)
2620, 25oveq12i 7160 . . . . 5 ((10 · 8) + 1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27 10nn 12103 . . . . . . . 8 10 ∈ ℕ
2827nncni 11637 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
2916, 15mulcli 10637 . . . . . . 7 (2 · 4) ∈ ℂ
3028, 29mulcli 10637 . . . . . 6 (10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31 neg1cn 11740 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
3230, 16, 31addassi 10640 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
3328, 15mulcli 10637 . . . . . . . 8 (10 · 4) ∈ ℂ
3416, 33, 21adddii 10642 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1))
35 dfdec10 12090 . . . . . . . . 9 41 = ((10 · 4) + 1)
3635eqcomi 2835 . . . . . . . 8 ((10 · 4) + 1) = 41
3736oveq2i 7159 . . . . . . 7 (2 · ((10 · 4) + 1)) = (2 · 41)
3816, 28, 15mul12i 10824 . . . . . . . 8 (2 · (10 · 4)) = (10 · (2 · 4))
39 2t1e2 11789 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
4038, 39oveq12i 7160 . . . . . . 7 ((2 · (10 · 4)) + (2 · 1)) = ((10 · (2 · 4)) + 2)
4134, 37, 403eqtr3ri 2858 . . . . . 6 ((10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · 41)
4241oveq1i 7158 . . . . 5 (((10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · 41) + -1)
4326, 32, 423eqtr2i 2855 . . . 4 ((10 · 8) + 1) = ((2 · 41) + -1)
4414, 43eqtri 2849 . . 3 81 = ((2 · 41) + -1)
4544oveq1i 7158 . 2 (81 mod 41) = (((2 · 41) + -1) mod 41)
46 4nn0 11905 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
47 1nn 11638 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
4846, 47decnncl 12107 . . . . . . 7 41 ∈ ℕ
4948nncni 11637 . . . . . 6 41 ∈ ℂ
5016, 49mulcli 10637 . . . . 5 (2 · 41) ∈ ℂ
5150, 31addcomi 10820 . . . 4 ((2 · 41) + -1) = (-1 + (2 · 41))
5251oveq1i 7158 . . 3 (((2 · 41) + -1) mod 41) = ((-1 + (2 · 41)) mod 41)
53 neg1rr 11741 . . . 4 -1 ∈ ℝ
54 nnrp 12390 . . . . 5 (41 ∈ ℕ → 41 ∈ ℝ+)
5548, 54ax-mp 5 . . . 4 41 ∈ ℝ+
56 2z 12003 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 modcyc 13264 . . . 4 ((-1 ∈ ℝ ∧ 41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41))
5853, 55, 56, 57mp3an 1454 . . 3 ((-1 + (2 · 41)) mod 41) = (-1 mod 41)
5952, 58eqtri 2849 . 2 (((2 · 41) + -1) mod 41) = (-1 mod 41)
6013, 45, 593eqtri 2853 1 ((3↑4) mod 41) = (-1 mod 41)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  -cneg 10860  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  4c4 11683  8c8 11687  9c9 11688  0cn0 11886  cz 11970  cdc 12087  +crp 12379   mod cmo 13227  cexp 13419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420
This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  43615
  Copyright terms: Public domain W3C validator