Theorem 3exp4mod41 47600

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12258	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7360	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12209	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12401	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14011	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14105	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12720	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7359	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12594	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12213	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2738	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7360	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11442	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12607	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12138	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11122	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11122	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12113	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11125	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11122	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11127	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7360	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2758	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7359	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12139	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12611	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12138	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11122	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11307	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7359	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12114	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12905	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12507	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13810	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2752	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2756	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   − cmin 11347  -cneg 11348  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  8c8 12189  9c9 12190  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ;cdc 12591  ℝ⁺crp 12893   mod cmo 13773  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47602