Theorem 3exp4mod41 46582

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12351	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7422	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12297	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14074	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14166	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12810	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7421	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12684	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12301	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11227	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11170	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7423	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12226	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11225	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11225	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12330	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11228	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11230	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12684	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11413	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12379	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7421	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7421	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12495	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12701	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12226	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11225	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11409	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7421	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12331	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12989	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12598	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13875	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2758	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2762	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449  ℕcn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  8c8 12277  9c9 12278  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ;cdc 12681  ℝ⁺crp 12978   mod cmo 13838  ↑cexp 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  46584