Theorem 3exp4mod41 44956

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12038	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 11984	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12180	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 13753	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1459	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 13843	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12495	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7265	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12369	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 11988	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12071	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10915	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 10860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12029	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12382	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 11913	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 10913	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 10913	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12017	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 10916	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 10913	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 10918	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12369	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7266	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11100	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12066	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7267	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2775	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2772	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7265	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12182	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 11914	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12386	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 10913	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11096	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7265	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12018	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12670	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12282	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13554	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1459	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2766	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2770	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  8c8 11964  9c9 11965  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ;cdc 12366  ℝ⁺crp 12659   mod cmo 13517  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  44958