Theorem 3exp4mod41 45068

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12108	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12054	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 13825	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 13915	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12566	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2770	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7285	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12440	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12058	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12141	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 10984	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2747	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11299	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12099	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12453	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 11983	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 10982	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 10982	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12087	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 10985	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 10982	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 10987	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11170	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2775	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2772	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7285	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12252	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12457	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 10982	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11166	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12088	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12741	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12352	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13626	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2766	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2770	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  8c8 12034  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ;cdc 12437  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  45070