Theorem 3exp4mod41 46284

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12347	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7420	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12293	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14070	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14162	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12806	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2765	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7419	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12680	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12287	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11223	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11538	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12338	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7421	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12693	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12222	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11221	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11221	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12326	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11224	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11226	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11409	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12375	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2770	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2767	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2761	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7419	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12223	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12697	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12222	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11221	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11405	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12327	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12985	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12594	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13871	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1462	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2761	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2765	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   − cmin 11444  -cneg 11445  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  8c8 12273  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ;cdc 12677  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  46286