Theorem 3exp4mod41 48840

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12487	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7438	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12434	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12633	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14257	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14351	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7439	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12958	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7437	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12827	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		2t4e8 12522	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	oveq2i 7438	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
18		2cn 12428	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		ax-1cn 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	negsubi 11646	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
21		2m1e1 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
22	20, 21	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
23	22	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
24	17, 23	oveq12i 7439	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
25		10nn 12844	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
26	25	nncni 12355	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
27		4cn 12438	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
28	18, 27	mulcli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
29	26, 28	mulcli 11326	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
30		neg1cn 12315	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
31	29, 18, 30	addassi 11329	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
32	26, 27	mulcli 11326	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
33	18, 32, 19	adddii 11331	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
34		dfdec10 12827	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
35	34	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
36	35	oveq2i 7438	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
37	18, 26, 27	mul12i 11515	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
38		2t1e2 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
39	37, 38	oveq12i 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
40	33, 36, 39	3eqtr3ri 2795	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
41	40	oveq1i 7437	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
42	24, 31, 41	3eqtr2i 2792	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
43	14, 42	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
44	43	oveq1i 7437	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
45		4nn0 12635	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
46		1nn 12356	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
47	45, 46	decnncl 12848	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
48	47	nncni 12355	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
49	18, 48	mulcli 11326	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
50	49, 30	addcomi 11511	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = ( -1 + (2 · ;41))
51	50	oveq1i 7437	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41)
52		neg1rr 12316	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
53		nnrp 13142	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
54	47, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
55		2z 12738	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		modcyc 14056	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41) = ( -1 mod ;41))
57	52, 54, 55, 56	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (( -1 + (2 · ;41)) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
58	51, 57	eqtri 2786	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ( -1 mod ;41)
59	13, 44, 58	3eqtri 2790	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = ( -1 mod ;41)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   − cmin 11551   -cneg 11552  ℕcn 12345  2c2 12407  3c3 12408  4c4 12409  8c8 12413  9c9 12414  ℕ₀cn0 12616  ℤcz 12703  ;cdc 12824  ℝ⁺crp 13130   mod cmo 14019  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48842