Theorem 3exp4mod41 47621

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12323	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12274	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14076	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14170	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12785	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7400	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12659	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2739	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11133	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11507	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7402	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12672	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12203	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11188	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11188	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12178	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11191	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11188	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11193	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2759	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2753	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7400	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12676	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12203	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11188	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11372	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7400	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12179	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12970	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12572	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13875	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2753	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2757	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  8c8 12254  9c9 12255  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ;cdc 12656  ℝ⁺crp 12958   mod cmo 13838  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47623