Theorem 3exp4mod41 48670

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12470	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12417	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14240	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14334	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12941	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7428	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12810	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		2t4e8 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
16	15	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
17	16	oveq2i 7429	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
18		2cn 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
19		ax-1cn 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	negsubi 11629	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
21		2m1e1 12460	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
22	20, 21	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
23	22	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
24	17, 23	oveq12i 7430	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
25		10nn 12827	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
26	25	nncni 12338	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
27		4cn 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
28	18, 27	mulcli 11309	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
29	26, 28	mulcli 11309	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
30		neg1cn 12298	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
31	29, 18, 30	addassi 11312	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
32	26, 27	mulcli 11309	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
33	18, 32, 19	adddii 11314	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
34		dfdec10 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
35	34	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
36	35	oveq2i 7429	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
37	18, 26, 27	mul12i 11498	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
38		2t1e2 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
39	37, 38	oveq12i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
40	33, 36, 39	3eqtr3ri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
41	40	oveq1i 7428	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
42	24, 31, 41	3eqtr2i 2790	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
43	14, 42	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
44	43	oveq1i 7428	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
45		4nn0 12618	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
46		1nn 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
47	45, 46	decnncl 12831	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
48	47	nncni 12338	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
49	18, 48	mulcli 11309	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
50	49, 30	addcomi 11494	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
51	50	oveq1i 7428	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
52		neg1rr 12299	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
53		nnrp 13125	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
54	47, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
55		2z 12721	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
56		modcyc 14039	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
57	52, 54, 55, 56	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
58	51, 57	eqtri 2784	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	13, 44, 58	3eqtri 2788	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   − cmin 11534  -cneg 11535  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391  4c4 12392  8c8 12396  9c9 12397  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ;cdc 12807  ℝ⁺crp 13113   mod cmo 14002  ↑cexp 14197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198

This theorem is used by:  41prothprmlem2  48672