Theorem 3exp4mod41 48222

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12352	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7407	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12299	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14117	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1482	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14211	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7408	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12822	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7406	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12691	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12303	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11191	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7407	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7408	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12708	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12220	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11189	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11189	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12180	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11192	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11189	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11194	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12691	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7407	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2794	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7406	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2791	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7406	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12500	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12221	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12712	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12220	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11189	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11374	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7406	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12181	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13005	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12603	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13916	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1482	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2785	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2789	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   − cmin 11414  -cneg 11415  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  8c8 12278  9c9 12279  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ;cdc 12688  ℝ⁺crp 12993   mod cmo 13879  ↑cexp 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48224