Theorem 3exp4mod41 47630

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12375	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12321	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14122	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14216	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12837	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7415	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12711	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11244	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2744	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11561	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12366	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7417	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12724	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12250	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11242	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11242	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12354	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11245	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11247	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12711	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7415	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2758	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7415	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12728	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12250	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11242	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11426	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7415	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12355	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 13020	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12624	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13923	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2758	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2762	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  8c8 12301  9c9 12302  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ;cdc 12708  ℝ⁺crp 13008   mod cmo 13886  ↑cexp 14079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  47632