Theorem 3exp4mod41 45928

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12297	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2740	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12243	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12439	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14020	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14112	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12756	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7372	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12630	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11118	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11488	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12288	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7374	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12643	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12172	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11171	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11171	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12276	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11174	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11176	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7373	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12325	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7372	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2765	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7372	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12441	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12647	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12172	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11171	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11355	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7372	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12277	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12935	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12544	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13821	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1461	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2759	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2763	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  ℝcr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394  -cneg 11395  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  8c8 12223  9c9 12224  ℕ₀cn0 12422  ℤcz 12508  ;cdc 12627  ℝ⁺crp 12924   mod cmo 13784  ↑cexp 13977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-inf 9388  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fl 13707  df-mod 13785  df-seq 13917  df-exp 13978

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  45930