Theorem 3exp4mod41 48094

Description: 3 to the fourth power is -1 modulo 41. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3exp4mod41	⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Proof of Theorem 3exp4mod41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2p2e4 12305	. . . . . 6 ⊢ (2 + 2) = 4
2	1	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ 4 = (2 + 2)
3	2	oveq2i 7372	. . . 4 ⊢ (3↑4) = (3↑(2 + 2))
4		3cn 12256	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℂ
5		2nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		expadd 14060	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2)))
7	4, 5, 5, 6	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ (3↑(2 + 2)) = ((3↑2) · (3↑2))
8		sq3 14154	. . . . . 6 ⊢ (3↑2) = 9
9	8, 8	oveq12i 7373	. . . . 5 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = (9 · 9)
10		9t9e81 12767	. . . . 5 ⊢ (9 · 9) = ;81
11	9, 10	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ ((3↑2) · (3↑2)) = ;81
12	3, 7, 11	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (3↑4) = ;81
13	12	oveq1i 7371	. 2 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (;81 mod ;41)
14		dfdec10 12641	. . . 4 ⊢ ;81 = ((;10 · 8) + 1)
15		4cn 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
16		2cn 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · 2) = 8
18	15, 16, 17	mulcomli 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ 8 = (2 · 4)
20	19	oveq2i 7372	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 8) = (;10 · (2 · 4))
21		ax-1cn 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
22	16, 21	negsubi 11466	. . . . . . . 8 ⊢ (2 + -1) = (2 − 1)
23		2m1e1 12296	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
24	22, 23	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (2 + -1) = 1
25	24	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 + -1)
26	20, 25	oveq12i 7373	. . . . 5 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
27		10nn 12654	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ∈ ℕ
28	27	nncni 12178	. . . . . . 7 ⊢ ;10 ∈ ℂ
29	16, 15	mulcli 11146	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 4) ∈ ℂ
30	28, 29	mulcli 11146	. . . . . 6 ⊢ (;10 · (2 · 4)) ∈ ℂ
31		neg1cn 12138	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
32	30, 16, 31	addassi 11149	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((;10 · (2 · 4)) + (2 + -1))
33	28, 15	mulcli 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (;10 · 4) ∈ ℂ
34	16, 33, 21	adddii 11151	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1))
35		dfdec10 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ ;41 = ((;10 · 4) + 1)
36	35	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((;10 · 4) + 1) = ;41
37	36	oveq2i 7372	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ((;10 · 4) + 1)) = (2 · ;41)
38	16, 28, 15	mul12i 11335	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (;10 · 4)) = (;10 · (2 · 4))
39		2t1e2 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
40	38, 39	oveq12i 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (;10 · 4)) + (2 · 1)) = ((;10 · (2 · 4)) + 2)
41	34, 37, 40	3eqtr3ri 2769	. . . . . 6 ⊢ ((;10 · (2 · 4)) + 2) = (2 · ;41)
42	41	oveq1i 7371	. . . . 5 ⊢ (((;10 · (2 · 4)) + 2) + -1) = ((2 · ;41) + -1)
43	26, 32, 42	3eqtr2i 2766	. . . 4 ⊢ ((;10 · 8) + 1) = ((2 · ;41) + -1)
44	14, 43	eqtri 2760	. . 3 ⊢ ;81 = ((2 · ;41) + -1)
45	44	oveq1i 7371	. 2 ⊢ (;81 mod ;41) = (((2 · ;41) + -1) mod ;41)
46		4nn0 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
47		1nn 12179	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	decnncl 12658	. . . . . . 7 ⊢ ;41 ∈ ℕ
49	48	nncni 12178	. . . . . 6 ⊢ ;41 ∈ ℂ
50	16, 49	mulcli 11146	. . . . 5 ⊢ (2 · ;41) ∈ ℂ
51	50, 31	addcomi 11331	. . . 4 ⊢ ((2 · ;41) + -1) = (-1 + (2 · ;41))
52	51	oveq1i 7371	. . 3 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41)
53		neg1rr 12139	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
54		nnrp 12948	. . . . 5 ⊢ (;41 ∈ ℕ → ;41 ∈ ℝ+)
55	48, 54	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ;41 ∈ ℝ+
56		2z 12553	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		modcyc 13859	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℝ ∧ ;41 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41))
58	53, 55, 56, 57	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((-1 + (2 · ;41)) mod ;41) = (-1 mod ;41)
59	52, 58	eqtri 2760	. 2 ⊢ (((2 · ;41) + -1) mod ;41) = (-1 mod ;41)
60	13, 45, 59	3eqtri 2764	1 ⊢ ((3↑4) mod ;41) = (-1 mod ;41)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   − cmin 11371  -cneg 11372  ℕcn 12168  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  8c8 12236  9c9 12237  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ;cdc 12638  ℝ⁺crp 12936   mod cmo 13822  ↑cexp 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018

This theorem is referenced by:  41prothprmlem2  48096