Theorem decmul10add 12746

Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decmul10add.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4	⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5	⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
decmul10add	⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 12680	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2	1	oveq2i 7420	. 2 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵))
3		decmul10add.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12484	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
5		10nn0 12695	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
6		decmul10add.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0mulcli 12510	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12484	. . 3 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℂ
9		decmul10add.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12484	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
11	4, 8, 10	adddii 11226	. 2 ⊢ (𝑀 · ((;10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
12	5	nn0cni 12484	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
13	6	nn0cni 12484	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
14	4, 12, 13	mul12i 11409	. . . 4 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = (;10 · (𝑀 · 𝐴))
15	3, 6	nn0mulcli 12510	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
16	15	dec0u 12698	. . . 4 ⊢ (;10 · (𝑀 · 𝐴)) = ;(𝑀 · 𝐴)0
17		decmul10add.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
18	17	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
19	18	deceq1i 12684	. . . 4 ⊢ ;(𝑀 · 𝐴)0 = ;𝐸0
20	14, 16, 19	3eqtri 2765	. . 3 ⊢ (𝑀 · (;10 · 𝐴)) = ;𝐸0
21		decmul10add.5	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
22	21	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
23	20, 22	oveq12i 7421	. 2 ⊢ ((𝑀 · (;10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (;𝐸0 + 𝐹)
24	2, 11, 23	3eqtri 2765	1 ⊢ (𝑀 · ;𝐴𝐵) = (;𝐸0 + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-dec 12678

This theorem is referenced by:  fmtno5lem4  46224  fmtno4prmfac  46240  fmtno5fac  46250