MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul10add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decmul10add 12733
Description: A multiplication of a number and a numeral expressed as addition with first summand as multiple of 10. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul10add.1 𝐴 ∈ ℕ0
decmul10add.2 𝐵 ∈ ℕ0
decmul10add.3 𝑀 ∈ ℕ0
decmul10add.4 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
decmul10add.5 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
Assertion
Ref Expression
decmul10add (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝐸0 + 𝐹)

Proof of Theorem decmul10add
StepHypRef Expression
1 dfdec10 12667 . . 3 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq2i 7407 . 2 (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝑀 · ((10 · 𝐴) + 𝐵))
3 decmul10add.3 . . . 4 𝑀 ∈ ℕ0
43nn0cni 12471 . . 3 𝑀 ∈ ℂ
5 10nn0 12682 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
6 decmul10add.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
75, 6nn0mulcli 12497 . . . 4 (10 · 𝐴) ∈ ℕ0
87nn0cni 12471 . . 3 (10 · 𝐴) ∈ ℂ
9 decmul10add.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 12471 . . 3 𝐵 ∈ ℂ
114, 8, 10adddii 11213 . 2 (𝑀 · ((10 · 𝐴) + 𝐵)) = ((𝑀 · (10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵))
125nn0cni 12471 . . . . 5 10 ∈ ℂ
136nn0cni 12471 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
144, 12, 13mul12i 11396 . . . 4 (𝑀 · (10 · 𝐴)) = (10 · (𝑀 · 𝐴))
153, 6nn0mulcli 12497 . . . . 5 (𝑀 · 𝐴) ∈ ℕ0
1615dec0u 12685 . . . 4 (10 · (𝑀 · 𝐴)) = (𝑀 · 𝐴)0
17 decmul10add.4 . . . . . 6 𝐸 = (𝑀 · 𝐴)
1817eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑀 · 𝐴) = 𝐸
1918deceq1i 12671 . . . 4 (𝑀 · 𝐴)0 = 𝐸0
2014, 16, 193eqtri 2765 . . 3 (𝑀 · (10 · 𝐴)) = 𝐸0
21 decmul10add.5 . . . 4 𝐹 = (𝑀 · 𝐵)
2221eqcomi 2742 . . 3 (𝑀 · 𝐵) = 𝐹
2320, 22oveq12i 7408 . 2 ((𝑀 · (10 · 𝐴)) + (𝑀 · 𝐵)) = (𝐸0 + 𝐹)
242, 11, 233eqtri 2765 1 (𝑀 · 𝐴𝐵) = (𝐸0 + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7396  0cc0 11097  1c1 11098   + caddc 11100   · cmul 11102  0cn0 12459  cdc 12664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-om 7843  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-ltxr 11240  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-dec 12665
This theorem is referenced by:  fmtno5lem4  46097  fmtno4prmfac  46113  fmtno5fac  46123
  Copyright terms: Public domain W3C validator