Theorem efiatan2 26960

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11214	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		atancl 26924	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3		mulcl 11239	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5		efcl 16118	. . . 4 ⊢ ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11213	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 26920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqcld 14184	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		addcl 11237	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15476	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	12	sqsqrtd 15478	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15		atandm4 26922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
17	14, 16	eqnetrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18		sqne0 14163	. . . . 5 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
20	17, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
21	6, 13, 20	divcan4d 12049	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22		halfcn 12481	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
23	12, 16	logcld 26612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24		mulcl 11239	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26		efadd 16130	. . . . . 6 ⊢ (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
27	4, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28		2cn 12341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30		mulcl 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 9, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32		addcl 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	7, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	8	simp3bi 1148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
35	33, 34	logcld 26612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
36	29, 35, 4	subdid 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37		atanval 26927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
38	37	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
40	29, 39, 2	mulassd 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41		halfcl 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
42	1, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
43	28, 1, 42	mulassi 11272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
44	28, 1, 42	mul12i 11456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45		2ne0 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≠ 0
46	1, 28, 45	divcan2i 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (i / 2)) = i
47	46	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48		ixi 11892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
49	47, 48	eqtri 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = -1
50	43, 44, 49	3eqtri 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = -1
51	50	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52		subcl 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53	7, 31, 52	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
54	8	simp2bi 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
55	53, 54	logcld 26612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
56	55, 35	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
57	56	mulm1d 11715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
58	51, 57	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59		2mulicn 12489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
62	60, 61, 56	mulassd 11284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
63	55, 35	negsubdi2d 11636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
64	58, 62, 63	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
65	38, 40, 64	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
66	65	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67		mulcl 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
68	28, 35, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
69	68, 35, 55	subsubd 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70	35	2timesd 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
71	35, 35, 70	mvrladdd 11676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
73		atanlogadd 26957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
74		logef 26623	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
76		efadd 16130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
77	35, 55, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
78		eflog 26618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
79	33, 34, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
80		eflog 26618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
81	53, 54, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
82	79, 81	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
83		sq1 14234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
85		sqmul 14159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
86	1, 9, 85	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
87		i2 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i↑2) = -1
88	87	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
89	10	mulm1d 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
90	88, 89	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
91	86, 90	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
92	84, 91	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
93		subsq 14249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
94	7, 31, 93	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
95		subneg 11558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
96	7, 10, 95	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
97	92, 94, 96	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
98	77, 82, 97	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
99	98	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
100	75, 99	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
101	69, 72, 100	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
102	36, 66, 101	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
103	102	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
104	35, 4	subcld 11620	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
105	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
106	104, 29, 105	divcan3d 12048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
107	23, 29, 105	divrec2d 12047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
108	103, 106, 107	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
109	35, 4, 25	subaddd 11638	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
110	108, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
111	110	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112	27, 111	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
113	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
114	12, 16, 113	cxpefd 26754	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
115		cxpsqrt 26745	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
116	12, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
117	114, 116	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
118	117	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
119	112, 118, 79	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
120	119	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121	21, 120	eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  dom cdm 5685  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  ↑cexp 14102  √csqrt 15272  expce 16097  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597  arctancatan 26907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910

This theorem is referenced by:  cosatan  26964