Theorem efiatan2 25489

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10590	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		atancl 25453	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3		mulcl 10615	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5		efcl 15430	. . . 4 ⊢ ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10589	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 25449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqcld 13502	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		addcl 10613	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 14791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	12	sqsqrtd 14793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15		atandm4 25451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
17	14, 16	eqnetrd 3083	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18		sqne0 13483	. . . . 5 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
20	17, 19	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
21	6, 13, 20	divcan4d 11416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22		halfcn 11846	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
23	12, 16	logcld 25148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24		mulcl 10615	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26		efadd 15441	. . . . . 6 ⊢ (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
27	4, 25, 26	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28		2cn 11706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30		mulcl 10615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 9, 30	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32		addcl 10613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	7, 31, 32	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	8	simp3bi 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
35	33, 34	logcld 25148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
36	29, 35, 4	subdid 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37		atanval 25456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
38	37	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
40	29, 39, 2	mulassd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41		halfcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
42	1, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
43	28, 1, 42	mulassi 10646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
44	28, 1, 42	mul12i 10829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45		2ne0 11735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≠ 0
46	1, 28, 45	divcan2i 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (i / 2)) = i
47	46	oveq2i 7161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48		ixi 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
49	47, 48	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = -1
50	43, 44, 49	3eqtri 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = -1
51	50	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52		subcl 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53	7, 31, 52	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
54	8	simp2bi 1142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
55	53, 54	logcld 25148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
56	55, 35	subcld 10991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
57	56	mulm1d 11086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
58	51, 57	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59		2mulicn 11854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
62	60, 61, 56	mulassd 10658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
63	55, 35	negsubdi2d 11007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
64	58, 62, 63	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
65	38, 40, 64	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
66	65	oveq2d 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67		mulcl 10615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
68	28, 35, 67	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
69	68, 35, 55	subsubd 11019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70	35	2timesd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
71	35, 35, 70	mvrladdd 11047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
73		atanlogadd 25486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
74		logef 25159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
76		efadd 15441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
77	35, 55, 76	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
78		eflog 25154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
79	33, 34, 78	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
80		eflog 25154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
81	53, 54, 80	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
82	79, 81	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
83		sq1 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
85		sqmul 13479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
86	1, 9, 85	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
87		i2 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i↑2) = -1
88	87	oveq1i 7160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
89	10	mulm1d 11086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
90	88, 89	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
91	86, 90	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
92	84, 91	oveq12d 7168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
93		subsq 13566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
94	7, 31, 93	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
95		subneg 10929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
96	7, 10, 95	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
97	92, 94, 96	3eqtr3d 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
98	77, 82, 97	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
99	98	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
100	75, 99	eqtr3d 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
101	69, 72, 100	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
102	36, 66, 101	3eqtrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
103	102	oveq1d 7165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
104	35, 4	subcld 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
105	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
106	104, 29, 105	divcan3d 11415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
107	23, 29, 105	divrec2d 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
108	103, 106, 107	3eqtr3d 2864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
109	35, 4, 25	subaddd 11009	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
110	108, 109	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
111	110	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112	27, 111	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
113	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
114	12, 16, 113	cxpefd 25289	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
115		cxpsqrt 25280	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
116	12, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
117	114, 116	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
118	117	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
119	112, 118, 79	3eqtr3d 2864	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
120	119	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121	21, 120	eqtr3d 2858	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  dom cdm 5549  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  ↑cexp 13423  √csqrt 14586  expce 15409  logclog 25132  ↑_𝑐ccxp 25133  arctancatan 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135  df-atan 25439

This theorem is referenced by:  cosatan  25493