Theorem efiatan2 26067

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10930	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		atancl 26031	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3		mulcl 10955	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5		efcl 15792	. . . 4 ⊢ ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10929	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 26027	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqcld 13862	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		addcl 10953	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	12	sqsqrtd 15151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15		atandm4 26029	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
17	14, 16	eqnetrd 3011	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18		sqne0 13843	. . . . 5 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
20	17, 19	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
21	6, 13, 20	divcan4d 11757	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22		halfcn 12188	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
23	12, 16	logcld 25726	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24		mulcl 10955	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26		efadd 15803	. . . . . 6 ⊢ (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
27	4, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28		2cn 12048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 9, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32		addcl 10953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	7, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	8	simp3bi 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
35	33, 34	logcld 25726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
36	29, 35, 4	subdid 11431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37		atanval 26034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
38	37	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
40	29, 39, 2	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41		halfcl 12198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
42	1, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
43	28, 1, 42	mulassi 10986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
44	28, 1, 42	mul12i 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≠ 0
46	1, 28, 45	divcan2i 11718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (i / 2)) = i
47	46	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48		ixi 11604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
49	47, 48	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = -1
50	43, 44, 49	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = -1
51	50	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52		subcl 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53	7, 31, 52	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
54	8	simp2bi 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
55	53, 54	logcld 25726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
56	55, 35	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
57	56	mulm1d 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
58	51, 57	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59		2mulicn 12196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
62	60, 61, 56	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
63	55, 35	negsubdi2d 11348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
64	58, 62, 63	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
65	38, 40, 64	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
66	65	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67		mulcl 10955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
68	28, 35, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
69	68, 35, 55	subsubd 11360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70	35	2timesd 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
71	35, 35, 70	mvrladdd 11388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
73		atanlogadd 26064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
74		logef 25737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
76		efadd 15803	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
77	35, 55, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
78		eflog 25732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
79	33, 34, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
80		eflog 25732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
81	53, 54, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
82	79, 81	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
83		sq1 13912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
85		sqmul 13839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
86	1, 9, 85	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
87		i2 13919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i↑2) = -1
88	87	oveq1i 7285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
89	10	mulm1d 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
90	88, 89	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
91	86, 90	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
92	84, 91	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
93		subsq 13926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
94	7, 31, 93	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
95		subneg 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
96	7, 10, 95	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
97	92, 94, 96	3eqtr3d 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
98	77, 82, 97	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
99	98	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
100	75, 99	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
101	69, 72, 100	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
102	36, 66, 101	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
103	102	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
104	35, 4	subcld 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
105	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
106	104, 29, 105	divcan3d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
107	23, 29, 105	divrec2d 11755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
108	103, 106, 107	3eqtr3d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
109	35, 4, 25	subaddd 11350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
110	108, 109	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
111	110	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112	27, 111	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
113	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
114	12, 16, 113	cxpefd 25867	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
115		cxpsqrt 25858	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
116	12, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
117	114, 116	eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
118	117	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
119	112, 118, 79	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
120	119	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121	21, 120	eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  dom cdm 5589  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872  ici 10873   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  2c2 12028  ↑cexp 13782  √csqrt 14944  expce 15771  logclog 25710  ↑_𝑐ccxp 25711  arctancatan 26014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-atan 26017

This theorem is referenced by:  cosatan  26071