MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiatan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efiatan2 24935
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiatan2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10248 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 atancl 24899 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3 mulcl 10273 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 581 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5 efcl 15095 . . . 4 ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7 ax-1cn 10247 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 atandm2 24895 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
98simp1bi 1175 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
109sqcld 13213 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11 addcl 10271 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
127, 10, 11sylancr 581 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1312sqrtcld 14461 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
1412sqsqrtd 14463 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15 atandm4 24897 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
1615simprbi 490 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
1714, 16eqnetrd 3004 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18 sqne0 13137 . . . . 5 ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
1913, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
2017, 19mpbid 223 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
216, 13, 20divcan4d 11061 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22 halfcn 11493 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
2312, 16logcld 24608 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24 mulcl 10273 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
2522, 23, 24sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26 efadd 15106 . . . . . 6 (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
274, 25, 26syl2anc 579 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
311, 9, 30sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32 addcl 10271 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
337, 31, 32sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
348simp3bi 1177 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3533, 34logcld 24608 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3629, 35, 4subdid 10740 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37 atanval 24902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3837oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
4029, 39, 2mulassd 10317 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41 halfcl 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
421, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i / 2) ∈ ℂ
4328, 1, 42mulassi 10305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
4428, 1, 42mul12i 10485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≠ 0
461, 28, 45divcan2i 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (i / 2)) = i
4746oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48 ixi 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4947, 48eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i · (2 · (i / 2))) = -1
5043, 44, 493eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
5150oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52 subcl 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
537, 31, 52sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
548simp2bi 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
5553, 54logcld 24608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
5655, 35subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
5756mulm1d 10736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
5851, 57syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59 2mulicn 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · i) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
6260, 61, 56mulassd 10317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
6355, 35negsubdi2d 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6458, 62, 633eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6538, 40, 643eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6665oveq2d 6858 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6828, 35, 67sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6968, 35, 55subsubd 10674 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70352timesd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7170oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7235, 35pncand 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7371, 72eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7473oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75 atanlogadd 24932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
76 logef 24619 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
78 efadd 15106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
7935, 55, 78syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
80 eflog 24614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
8133, 34, 80syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
82 eflog 24614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8353, 54, 82syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8481, 83oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
85 sq1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
87 sqmul 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
881, 9, 87sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
89 i2 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i↑2) = -1
9089oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
9110mulm1d 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9290, 91syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9388, 92eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
9486, 93oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
95 subsq 13179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
967, 31, 95sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
97 subneg 10584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
987, 10, 97sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
9994, 96, 983eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
10079, 84, 993eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
101100fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10277, 101eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10369, 74, 1023eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10436, 66, 1033eqtrd 2803 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
105104oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
10635, 4subcld 10646 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
10745a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
108106, 29, 107divcan3d 11060 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
10923, 29, 107divrec2d 11059 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
110105, 108, 1093eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
11135, 4, 25subaddd 10664 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112110, 111mpbid 223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
113112fveq2d 6379 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11427, 113eqtr3d 2801 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11522a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
11612, 16, 115cxpefd 24749 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
117 cxpsqrt 24740 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
11812, 117syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
119116, 118eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
120119oveq2d 6858 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121114, 120, 813eqtr3d 2807 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
122121oveq1d 6857 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
12321, 122eqtr3d 2801 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  dom cdm 5277  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  cexp 13067  csqrt 14258  expce 15074  logclog 24592  𝑐ccxp 24593  arctancatan 24882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595  df-atan 24885
This theorem is referenced by:  cosatan  24939
  Copyright terms: Public domain W3C validator