Theorem efiatan2 26854

Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiatan2	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11065	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		atancl 26818	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3		mulcl 11090	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5		efcl 15989	. . . 4 ⊢ ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 11064	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		atandm2 26814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
9	8	simp1bi 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	sqcld 14051	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11		addcl 11088	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
12	7, 10, 11	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
13	12	sqrtcld 15347	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
14	12	sqsqrtd 15349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15		atandm4 26816	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
16	15	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
17	14, 16	eqnetrd 2995	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18		sqne0 14030	. . . . 5 ⊢ ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
19	13, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
20	17, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
21	6, 13, 20	divcan4d 11903	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22		halfcn 12335	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
23	12, 16	logcld 26506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24		mulcl 11090	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26		efadd 16001	. . . . . 6 ⊢ (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
27	4, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28		2cn 12200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30		mulcl 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
31	1, 9, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32		addcl 11088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
33	7, 31, 32	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
34	8	simp3bi 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
35	33, 34	logcld 26506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
36	29, 35, 4	subdid 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37		atanval 26821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
38	37	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
39	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
40	29, 39, 2	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41		halfcl 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
42	1, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i / 2) ∈ ℂ
43	28, 1, 42	mulassi 11123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
44	28, 1, 42	mul12i 11308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45		2ne0 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ≠ 0
46	1, 28, 45	divcan2i 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · (i / 2)) = i
47	46	oveq2i 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48		ixi 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (i · i) = -1
49	47, 48	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (i · (2 · (i / 2))) = -1
50	43, 44, 49	3eqtri 2758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · i) · (i / 2)) = -1
51	50	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52		subcl 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53	7, 31, 52	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
54	8	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
55	53, 54	logcld 26506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
56	55, 35	subcld 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
57	56	mulm1d 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
58	51, 57	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59		2mulicn 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
61	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
62	60, 61, 56	mulassd 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
63	55, 35	negsubdi2d 11488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
64	58, 62, 63	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
65	38, 40, 64	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
66	65	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67		mulcl 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
68	28, 35, 67	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
69	68, 35, 55	subsubd 11500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70	35	2timesd 12364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
71	35, 35, 70	mvrladdd 11530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
72	71	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
73		atanlogadd 26851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
74		logef 26517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
76		efadd 16001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
77	35, 55, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
78		eflog 26512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
79	33, 34, 78	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
80		eflog 26512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
81	53, 54, 80	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
82	79, 81	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
83		sq1 14102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1↑2) = 1
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
85		sqmul 14026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
86	1, 9, 85	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
87		i2 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i↑2) = -1
88	87	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
89	10	mulm1d 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
90	88, 89	eqtrid 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
91	86, 90	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
92	84, 91	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
93		subsq 14117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
94	7, 31, 93	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
95		subneg 11410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
96	7, 10, 95	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
97	92, 94, 96	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
98	77, 82, 97	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
99	98	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
100	75, 99	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
101	69, 72, 100	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
102	36, 66, 101	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
103	102	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
104	35, 4	subcld 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
105	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
106	104, 29, 105	divcan3d 11902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
107	23, 29, 105	divrec2d 11901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
108	103, 106, 107	3eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
109	35, 4, 25	subaddd 11490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
110	108, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
111	110	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112	27, 111	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
113	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
114	12, 16, 113	cxpefd 26648	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
115		cxpsqrt 26639	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
116	12, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
117	114, 116	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
118	117	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
119	112, 118, 79	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
120	119	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121	21, 120	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  dom cdm 5614  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345   / cdiv 11774  2c2 12180  ↑cexp 13968  √csqrt 15140  expce 15968  logclog 26490  ↑_𝑐ccxp 26491  arctancatan 26801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-haus 23230  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492  df-cxp 26493  df-atan 26804

This theorem is referenced by:  cosatan  26858