MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2efiatan 26976
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 26942 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
21oveq2d 7447 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3 2cn 12339 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5 ax-icn 11212 . . . . . 6 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
7 atancl 26939 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
84, 6, 7mulassd 11282 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
9 halfcl 12489 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i / 2) ∈ ℂ
113, 5, 10mulassi 11270 . . . . . . . 8 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
123, 5, 10mul12i 11454 . . . . . . . 8 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
13 2ne0 12368 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
145, 3, 13divcan2i 12008 . . . . . . . . . 10 (2 · (i / 2)) = i
1514oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
16 ixi 11890 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
1715, 16eqtri 2763 . . . . . . . 8 (i · (2 · (i / 2))) = -1
1811, 12, 173eqtri 2767 . . . . . . 7 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
1918oveq1i 7441 . . . . . 6 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
20 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 atandm2 26935 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2221simp1bi 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
23 mulcl 11237 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
245, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 subcl 11505 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2620, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2721simp2bi 1145 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2826, 27logcld 26627 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 addcl 11235 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3020, 24, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121simp3bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3230, 31logcld 26627 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3328, 32subcld 11618 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3433mulm1d 11713 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3519, 34eqtrid 2787 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
36 2mulicn 12487 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
3810a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
3937, 38, 33mulassd 11282 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4028, 32negsubdi2d 11634 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4135, 39, 403eqtr3d 2783 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
422, 8, 413eqtr3d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4342fveq2d 6911 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
44 efsub 16133 . . 3 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4532, 28, 44syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 eflog 26633 . . . . 5 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
4730, 31, 46syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
48 eflog 26633 . . . . 5 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
4926, 27, 48syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
5047, 49oveq12d 7449 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
51 negsub 11555 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
525, 22, 51sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
536mulridd 11276 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 1) = i)
5416oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
556, 6, 22mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5622mulm1d 11713 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
5754, 55, 563eqtr3a 2799 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
5853, 57oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = (i + -𝐴))
596, 22, 6pnpcan2d 11656 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + i) − (𝐴 + i)) = (i − 𝐴))
6052, 58, 593eqtr4d 2785 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
626, 61, 24adddid 11283 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))))
6362timesd 12507 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) = (i + i))
6463oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (𝐴 + i)) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6560, 62, 643eqtr4d 2785 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((2 · i) − (𝐴 + i)))
666, 61, 24subdid 11717 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))))
6753, 57oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i − -𝐴))
68 subneg 11556 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
695, 22, 68sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
7067, 69eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i + 𝐴))
71 addcom 11445 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
725, 22, 71sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
7366, 70, 723eqtrd 2779 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = (𝐴 + i))
7465, 73oveq12d 7449 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)))
75 ine0 11696 . . . . . 6 i ≠ 0
7675a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ≠ 0)
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 12067 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
78 addcl 11235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
7922, 5, 78sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
80 subneg 11556 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
8122, 5, 80sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
82 atandm 26934 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
8382simp2bi 1145 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
84 negicn 11507 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
85 subeq0 11533 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
8685necon3bid 2983 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8722, 84, 86sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8883, 87mpbird 257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
8981, 88eqnetrrd 3007 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
9037, 79, 79, 89divsubdird 12080 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9174, 77, 903eqtr3d 2783 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9279, 89dividd 12039 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 + i) / (𝐴 + i)) = 1)
9392oveq2d 7447 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9450, 91, 933eqtrd 2779 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9543, 45, 943eqtrd 2779 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  expce 16094  logclog 26611  arctancatan 26922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-atan 26925
This theorem is referenced by:  tanatan  26977
  Copyright terms: Public domain W3C validator