MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2efiatan 26430
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 26396 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) = ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))))
21oveq2d 7427 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) Β· (arctanβ€˜π΄)) = ((2 Β· i) Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
3 2cn 12289 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 2 ∈ β„‚)
5 ax-icn 11171 . . . . . 6 i ∈ β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i ∈ β„‚)
7 atancl 26393 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
84, 6, 7mulassd 11239 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) Β· (arctanβ€˜π΄)) = (2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄))))
9 halfcl 12439 . . . . . . . . . 10 (i ∈ β„‚ β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i / 2) ∈ β„‚
113, 5, 10mulassi 11227 . . . . . . . 8 ((2 Β· i) Β· (i / 2)) = (2 Β· (i Β· (i / 2)))
123, 5, 10mul12i 11411 . . . . . . . 8 (2 Β· (i Β· (i / 2))) = (i Β· (2 Β· (i / 2)))
13 2ne0 12318 . . . . . . . . . . 11 2 β‰  0
145, 3, 13divcan2i 11959 . . . . . . . . . 10 (2 Β· (i / 2)) = i
1514oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (i Β· (2 Β· (i / 2))) = (i Β· i)
16 ixi 11845 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
1715, 16eqtri 2760 . . . . . . . 8 (i Β· (2 Β· (i / 2))) = -1
1811, 12, 173eqtri 2764 . . . . . . 7 ((2 Β· i) Β· (i / 2)) = -1
1918oveq1i 7421 . . . . . 6 (((2 Β· i) Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = (-1 Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
20 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
21 atandm2 26389 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0 ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0))
2221simp1bi 1145 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
23 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
245, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
25 subcl 11461 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2620, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
2721simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0)
2826, 27logcld 26086 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
29 addcl 11194 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚) β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3020, 24, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚)
3121simp3bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0)
3230, 31logcld 26086 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚)
3328, 32subcld 11573 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) ∈ β„‚)
3433mulm1d 11668 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-1 Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
3519, 34eqtrid 2784 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))
36 2mulicn 12437 . . . . . . 7 (2 Β· i) ∈ β„‚
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
3810a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i / 2) ∈ β„‚)
3937, 38, 33mulassd 11239 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) Β· (i / 2)) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))))) = ((2 Β· i) Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))))
4028, 32negsubdi2d 11589 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
4135, 39, 403eqtr3d 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) Β· ((i / 2) Β· ((logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
422, 8, 413eqtr3d 2780 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄))) = ((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))))
4342fveq2d 6895 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (expβ€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
44 efsub 16045 . . 3 (((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = ((expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) / (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
4532, 28, 44syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜((logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴))) βˆ’ (logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = ((expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) / (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))))
46 eflog 26092 . . . . 5 (((1 + (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (1 + (i Β· 𝐴)) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (1 + (i Β· 𝐴)))
4730, 31, 46syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) = (1 + (i Β· 𝐴)))
48 eflog 26092 . . . . 5 (((1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) ∈ β„‚ ∧ (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)) β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))
4926, 27, 48syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))
5047, 49oveq12d 7429 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) / (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = ((1 + (i Β· 𝐴)) / (1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))
51 negsub 11510 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
525, 22, 51sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
536mulridd 11233 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· 1) = i)
5416oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((i Β· i) Β· 𝐴) = (-1 Β· 𝐴)
556, 6, 22mulassd 11239 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· i) Β· 𝐴) = (i Β· (i Β· 𝐴)))
5622mulm1d 11668 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-1 Β· 𝐴) = -𝐴)
5754, 55, 563eqtr3a 2796 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (i Β· 𝐴)) = -𝐴)
5853, 57oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· 1) + (i Β· (i Β· 𝐴))) = (i + -𝐴))
596, 22, 6pnpcan2d 11611 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + i) βˆ’ (𝐴 + i)) = (i βˆ’ 𝐴))
6052, 58, 593eqtr4d 2782 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· 1) + (i Β· (i Β· 𝐴))) = ((i + i) βˆ’ (𝐴 + i)))
6120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 1 ∈ β„‚)
626, 61, 24adddid 11240 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (1 + (i Β· 𝐴))) = ((i Β· 1) + (i Β· (i Β· 𝐴))))
6362timesd 12457 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) = (i + i))
6463oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) βˆ’ (𝐴 + i)) = ((i + i) βˆ’ (𝐴 + i)))
6560, 62, 643eqtr4d 2782 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (1 + (i Β· 𝐴))) = ((2 Β· i) βˆ’ (𝐴 + i)))
666, 61, 24subdid 11672 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = ((i Β· 1) βˆ’ (i Β· (i Β· 𝐴))))
6753, 57oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· 1) βˆ’ (i Β· (i Β· 𝐴))) = (i βˆ’ -𝐴))
68 subneg 11511 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i βˆ’ -𝐴) = (i + 𝐴))
695, 22, 68sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i βˆ’ -𝐴) = (i + 𝐴))
7067, 69eqtrd 2772 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· 1) βˆ’ (i Β· (i Β· 𝐴))) = (i + 𝐴))
71 addcom 11402 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
725, 22, 71sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
7366, 70, 723eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· (1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = (𝐴 + i))
7465, 73oveq12d 7429 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (1 + (i Β· 𝐴))) / (i Β· (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = (((2 Β· i) βˆ’ (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)))
75 ine0 11651 . . . . . 6 i β‰  0
7675a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i β‰  0)
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 12018 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (1 + (i Β· 𝐴))) / (i Β· (1 βˆ’ (i Β· 𝐴)))) = ((1 + (i Β· 𝐴)) / (1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))
78 addcl 11194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
7922, 5, 78sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
80 subneg 11511 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
8122, 5, 80sylancl 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
82 atandm 26388 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
8382simp2bi 1146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 β‰  -i)
84 negicn 11463 . . . . . . . 8 -i ∈ β„‚
85 subeq0 11488 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
8685necon3bid 2985 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
8722, 84, 86sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
8883, 87mpbird 256 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) β‰  0)
8981, 88eqnetrrd 3009 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) β‰  0)
9037, 79, 79, 89divsubdird 12031 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9174, 77, 903eqtr3d 2780 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((1 + (i Β· 𝐴)) / (1 βˆ’ (i Β· 𝐴))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9279, 89dividd 11990 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((𝐴 + i) / (𝐴 + i)) = 1)
9392oveq2d 7427 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
9450, 91, 933eqtrd 2776 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(logβ€˜(1 + (i Β· 𝐴)))) / (expβ€˜(logβ€˜(1 βˆ’ (i Β· 𝐴))))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
9543, 45, 943eqtrd 2776 1 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  expce 16007  logclog 26070  arctancatan 26376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-atan 26379
This theorem is referenced by:  tanatan  26431
  Copyright terms: Public domain W3C validator