MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2efiatan 24950
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 24916 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
21oveq2d 6862 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3 2cn 11351 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5 ax-icn 10252 . . . . . 6 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
7 atancl 24913 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
84, 6, 7mulassd 10321 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
9 halfcl 11507 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i / 2) ∈ ℂ
113, 5, 10mulassi 10309 . . . . . . . 8 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
123, 5, 10mul12i 10489 . . . . . . . 8 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
13 2ne0 11387 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
145, 3, 13divcan2i 11026 . . . . . . . . . 10 (2 · (i / 2)) = i
1514oveq2i 6857 . . . . . . . . 9 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
16 ixi 10914 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
1715, 16eqtri 2787 . . . . . . . 8 (i · (2 · (i / 2))) = -1
1811, 12, 173eqtri 2791 . . . . . . 7 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
1918oveq1i 6856 . . . . . 6 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
20 ax-1cn 10251 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 atandm2 24909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2221simp1bi 1175 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
23 mulcl 10277 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
245, 22, 23sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 subcl 10538 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2620, 24, 25sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2721simp2bi 1176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2826, 27logcld 24622 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 addcl 10275 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3020, 24, 29sylancr 581 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121simp3bi 1177 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3230, 31logcld 24622 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3328, 32subcld 10650 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3433mulm1d 10740 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3519, 34syl5eq 2811 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
36 2mulicn 11505 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
3810a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
3937, 38, 33mulassd 10321 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4028, 32negsubdi2d 10666 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4135, 39, 403eqtr3d 2807 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
422, 8, 413eqtr3d 2807 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4342fveq2d 6383 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
44 efsub 15126 . . 3 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4532, 28, 44syl2anc 579 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 eflog 24628 . . . . 5 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
4730, 31, 46syl2anc 579 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
48 eflog 24628 . . . . 5 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
4926, 27, 48syl2anc 579 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
5047, 49oveq12d 6864 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
51 negsub 10587 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
525, 22, 51sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
536mulid1d 10315 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 1) = i)
5416oveq1i 6856 . . . . . . . . 9 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
556, 6, 22mulassd 10321 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5622mulm1d 10740 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
5754, 55, 563eqtr3a 2823 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
5853, 57oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = (i + -𝐴))
596, 22, 6pnpcan2d 10688 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + i) − (𝐴 + i)) = (i − 𝐴))
6052, 58, 593eqtr4d 2809 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
626, 61, 24adddid 10322 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))))
6362timesd 11525 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) = (i + i))
6463oveq1d 6861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (𝐴 + i)) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6560, 62, 643eqtr4d 2809 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((2 · i) − (𝐴 + i)))
666, 61, 24subdid 10744 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))))
6753, 57oveq12d 6864 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i − -𝐴))
68 subneg 10588 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
695, 22, 68sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
7067, 69eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i + 𝐴))
71 addcom 10480 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
725, 22, 71sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
7366, 70, 723eqtrd 2803 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = (𝐴 + i))
7465, 73oveq12d 6864 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)))
75 ine0 10723 . . . . . 6 i ≠ 0
7675a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ≠ 0)
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 11085 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
78 addcl 10275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
7922, 5, 78sylancl 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
80 subneg 10588 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
8122, 5, 80sylancl 580 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
82 atandm 24908 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
8382simp2bi 1176 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
84 negicn 10540 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
85 subeq0 10565 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
8685necon3bid 2981 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8722, 84, 86sylancl 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8883, 87mpbird 248 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
8981, 88eqnetrrd 3005 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
9037, 79, 79, 89divsubdird 11098 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9174, 77, 903eqtr3d 2807 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9279, 89dividd 11057 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 + i) / (𝐴 + i)) = 1)
9392oveq2d 6862 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9450, 91, 933eqtrd 2803 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9543, 45, 943eqtrd 2803 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  dom cdm 5279  cfv 6070  (class class class)co 6846  cc 10191  0cc0 10193  1c1 10194  ici 10195   + caddc 10196   · cmul 10198  cmin 10524  -cneg 10525   / cdiv 10942  2c2 11331  expce 15088  logclog 24606  arctancatan 24896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-mod 12882  df-seq 13014  df-exp 13073  df-fac 13270  df-bc 13299  df-hash 13327  df-shft 14106  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-limsup 14501  df-clim 14518  df-rlim 14519  df-sum 14716  df-ef 15094  df-sin 15096  df-cos 15097  df-pi 15099  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-rest 16363  df-topn 16364  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-topgen 16384  df-pt 16385  df-prds 16388  df-xrs 16442  df-qtop 16447  df-imas 16448  df-xps 16450  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-submnd 17616  df-mulg 17822  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-fbas 20030  df-fg 20031  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-perf 21235  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-haus 21413  df-tx 21659  df-hmeo 21852  df-fil 21943  df-fm 22035  df-flim 22036  df-flf 22037  df-xms 22418  df-ms 22419  df-tms 22420  df-cncf 22974  df-limc 23935  df-dv 23936  df-log 24608  df-atan 24899
This theorem is referenced by:  tanatan  24951
  Copyright terms: Public domain W3C validator