MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly3 15868
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 12357 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 bpolyval 15859 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 688 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
4 3m1e2 12207 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
5 df-2 12142 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
64, 5eqtri 2765 . . . . . 6 (3 − 1) = (1 + 1)
76oveq2i 7353 . . . . 5 (0...(3 − 1)) = (0...(1 + 1))
87sumeq1i 15510 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
9 1eluzge0 12738 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 12436 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
12 fzpr 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
14 0p1e1 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1514oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = (0...1)
1614preq2i 4690 . . . . . . . . . . . 12 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
1713, 15, 163eqtr3ri 2774 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = (0...1)
185sneqi 4589 . . . . . . . . . . 11 {2} = {(1 + 1)}
1917, 18uneq12i 4113 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} ∪ {2}) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
20 df-tp 4583 . . . . . . . . . 10 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21 fzsuc 13409 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ℤ‘0) → (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)}))
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
2319, 20, 223eqtr4ri 2776 . . . . . . . . 9 (0...(1 + 1)) = {0, 1, 2}
2423eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1, 2})
25 vex 3446 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
2625eltp 4641 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
2724, 26bitri 275 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
28 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = (3C0))
29 bcn0 14130 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C0) = 1)
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C0) = 1
3128, 30eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = 1)
32 oveq1 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
33 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (3 − 𝑘) = (3 − 0))
3433oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 0) + 1))
35 3cn 12160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
3635subid1i 11399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 0) = 3
3736oveq1i 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 0) + 1) = (3 + 1)
38 df-4 12144 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
3937, 38eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 0) + 1) = 4
4034, 39eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = 4)
4132, 40oveq12d 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 4))
4231, 41oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
43 bpoly0 15860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
4443oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 4) = (1 / 4))
4544oveq2d 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 · (1 / 4)))
46 4cn 12164 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
47 4ne0 12187 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
4846, 47reccli 11811 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 4) ∈ ℂ
4948mulid2i 11086 . . . . . . . . . . 11 (1 · (1 / 4)) = (1 / 4)
5045, 49eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 / 4))
5142, 50sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
5251, 48eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
53 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = (3C1))
54 bcn1 14133 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C1) = 3)
551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C1) = 3
5653, 55eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = 3)
57 oveq1 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
58 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (3 − 𝑘) = (3 − 1))
5958oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 1) + 1))
60 ax-1cn 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
61 npcan 11336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((3 − 1) + 1) = 3)
6235, 60, 61mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 1) + 1) = 3
6359, 62eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = 3)
6457, 63oveq12d 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 3))
6556, 64oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
66 bpoly1 15861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6766oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 3) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 3))
6867oveq2d 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)))
69 halfcn 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℂ
70 subcl 11326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7169, 70mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
72 3ne0 12185 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
73 divcan2 11747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7435, 72, 73mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7668, 75eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7765, 76sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7871adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7977, 78eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
80 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = (3C2))
81 bcn2 14139 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℕ0 → (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2))
821, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2)
834oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · (3 − 1)) = (3 · 2)
8483oveq1i 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · (3 − 1)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
85 2cn 12154 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
86 2ne0 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8735, 85, 86divcan4i 11828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) / 2) = 3
8884, 87eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · (3 − 1)) / 2) = 3
8982, 88eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (3C2) = 3
9080, 89eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = 3)
91 oveq1 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
92 oveq2 7350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (3 − 𝑘) = (3 − 2))
9392oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 2) + 1))
94 2p1e3 12221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
9535, 85, 60, 94subaddrii 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 2) = 1
9695oveq1i 7352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 2) + 1) = (1 + 1)
9796, 5eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 2) + 1) = 2
9893, 97eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = 2)
9991, 98oveq12d 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 2))
10090, 99oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
101 2nn0 12356 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
102 bpolycl 15862 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
103101, 102mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
104 2cnne0 12289 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
105 div12 11761 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10635, 104, 105mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10835, 85, 86divcli 11823 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 2) ∈ ℂ
109 mulcom 11063 . . . . . . . . . . . 12 (((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
110103, 108, 109sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
111 bpoly2 15867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
112111oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
113 sqcl 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
114 6cn 12170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℂ
115 6re 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℝ
116 6pos 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 6
117115, 116gt0ne0ii 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ≠ 0
118114, 117reccli 11811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 6) ∈ ℂ
119 subsub 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
120118, 119mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
121113, 120mpancom 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
122121oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
123 subcl 11326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
124118, 123mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
125 subdi 11514 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
126108, 113, 124, 125mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
127112, 122, 1263eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
128107, 110, 1273eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
129100, 128sylan9eqr 2799 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
130 mulcl 11061 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
131108, 113, 130sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
132 mulcl 11061 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
133108, 124, 132sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
134131, 133subcld 11438 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
135134adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
136129, 135eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
13752, 79, 1363jaodan 1430 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
13827, 137sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
1395eqeq2i 2750 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
140139, 100sylbir 234 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
14110, 138, 140fsump1 15568 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))))
142128oveq2d 7358 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
14315sumeq1i 15510 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
144 0nn0 12354 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
145 nn0uz 12726 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
146144, 145eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (ℤ‘0)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
14813, 16eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, 1}
149148eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1})
15025elpr 4601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {0, 1} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
151149, 150bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
15252, 79jaodan 956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
153151, 152sylan2b 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
15414eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
155154, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
156147, 153, 155fsump1 15568 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))))
15750, 48eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ)
15842fsum1 15559 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
15911, 157, 158sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
160159, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
161160, 76oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
162156, 161eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
163143, 162eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
164163oveq1d 7357 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
165 addcl 11059 . . . . . . . . 9 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
16648, 71, 165sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
167166, 131, 133addsub12d 11461 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
168164, 167eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
169133, 166negsubdi2d 11454 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
170 subdi 11514 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
171108, 118, 170mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
172 addsub12 11340 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
17348, 69, 172mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
174171, 173oveq12d 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
175 mulcl 11061 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
176108, 175mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
177108, 118mulcli 11088 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
178 negsub 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ) → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
179176, 177, 178sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
180179oveq1d 7357 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
18169, 48negsubdi2i 11413 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = ((1 / 4) − (1 / 2))
18285, 35, 85mul12i 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (3 · (2 · 2))
183 3t2e6 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 · 2) = 6
184183oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (2 · 6)
185 2t2e4 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
186185oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · (2 · 2)) = (3 · 4)
187182, 184, 1863eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 6) = (3 · 4)
188187oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (2 · 6)) = ((3 · 1) / (3 · 4))
18946, 47pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
19035, 72pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
191 divcan5 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4))
19260, 189, 190, 191mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4)
193188, 192eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 1) / (2 · 6)) = (1 / 4)
19435, 85, 60, 114, 86, 117divmuldivi 11841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) · (1 / 6)) = ((3 · 1) / (2 · 6))
195 2t1e2 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 1) = 2
196195, 5eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 1) = (1 + 1)
197196, 185oveq12i 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = ((1 + 1) / 4)
198 divcan5 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
19960, 104, 104, 198mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
20060, 60, 46, 47divdiri 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 + 1) / 4) = ((1 / 4) + (1 / 4))
201197, 199, 2003eqtr3ri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
20269, 48, 48, 201subaddrii 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) − (1 / 4)) = (1 / 4)
203193, 194, 2023eqtr4ri 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) − (1 / 4)) = ((3 / 2) · (1 / 6))
204203negeqi 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
205181, 204eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
20648, 69subcli 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ
207177negcli 11395 . . . . . . . . . . . . . 14 -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
208206, 207subeq0i 11407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0 ↔ ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6)))
209205, 208mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0
210209oveq2i 7353 . . . . . . . . . . 11 ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0)
211 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
212206a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
213207a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ)
214176, 211, 212, 213subadd4d 11486 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
215 subdir 11515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
216108, 60, 215mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
217 divsubdir 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2)))
21835, 85, 104, 217mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2))
21995oveq1i 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = (1 / 2)
220 2div2e1 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 / 2) = 1
221220oveq2i 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) − (2 / 2)) = ((3 / 2) − 1)
222218, 219, 2213eqtr3ri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) − 1) = (1 / 2)
223222oveq1i 7352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋)
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
225 mulid2 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
226225oveq2d 7358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)) = (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋))
227216, 224, 2263eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
228227oveq1d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = (((1 / 2) · 𝑋) − 0))
229 mulcl 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
23069, 229mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
231230subid1d 11427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 2) · 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
232228, 231eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
233210, 214, 2323eqtr3a 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
234174, 180, 2333eqtr2d 2783 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
235234negeqd 11321 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
236169, 235eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
237236oveq2d 7358 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)))
238131, 230negsubd 11444 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
239168, 237, 2383eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
240141, 142, 2393eqtrd 2781 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
2418, 240eqtrid 2789 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
242241oveq2d 7358 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))))
243 expcl 13906 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
2441, 243mpan2 689 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
245244, 131, 230subsubd 11466 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
2463, 242, 2453eqtrd 2781 1 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cun 3900  {csn 4578  {cpr 4580  {ctp 4582  cfv 6484  (class class class)co 7342  cc 10975  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   · cmul 10982  cmin 11311  -cneg 11312   / cdiv 11738  2c2 12134  3c3 12135  4c4 12136  6c6 12138  0cn0 12339  cz 12425  cuz 12688  ...cfz 13345  cexp 13888  Ccbc 14122  Σcsu 15497   BernPoly cbp 15856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-fac 14094  df-bc 14123  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-sum 15498  df-bpoly 15857
This theorem is referenced by:  bpoly4  15869
  Copyright terms: Public domain W3C validator