MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly3 15946
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 12436 . . 3 3 โˆˆ โ„•0
2 bpolyval 15937 . . 3 ((3 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (3 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
31, 2mpan 689 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 BernPoly ๐‘‹) = ((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))))
4 3m1e2 12286 . . . . . . 7 (3 โˆ’ 1) = 2
5 df-2 12221 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
64, 5eqtri 2761 . . . . . 6 (3 โˆ’ 1) = (1 + 1)
76oveq2i 7369 . . . . 5 (0...(3 โˆ’ 1)) = (0...(1 + 1))
87sumeq1i 15588 . . . 4 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
9 1eluzge0 12822 . . . . . . 7 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
109a1i 11 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
11 0z 12515 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„ค
12 fzpr 13502 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
14 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1514oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = (0...1)
1614preq2i 4699 . . . . . . . . . . . 12 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
1713, 15, 163eqtr3ri 2770 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = (0...1)
185sneqi 4598 . . . . . . . . . . 11 {2} = {(1 + 1)}
1917, 18uneq12i 4122 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} โˆช {2}) = ((0...1) โˆช {(1 + 1)})
20 df-tp 4592 . . . . . . . . . 10 {0, 1, 2} = ({0, 1} โˆช {2})
21 fzsuc 13494 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (0...(1 + 1)) = ((0...1) โˆช {(1 + 1)}))
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(1 + 1)) = ((0...1) โˆช {(1 + 1)})
2319, 20, 223eqtr4ri 2772 . . . . . . . . 9 (0...(1 + 1)) = {0, 1, 2}
2423eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ {0, 1, 2})
25 vex 3448 . . . . . . . . 9 ๐‘˜ โˆˆ V
2625eltp 4650 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ {0, 1, 2} โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ = 2))
2724, 26bitri 275 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1)) โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ = 2))
28 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (3C๐‘˜) = (3C0))
29 bcn0 14216 . . . . . . . . . . . . 13 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (3C0) = 1)
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C0) = 1
3128, 30eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (3C๐‘˜) = 1)
32 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (0 BernPoly ๐‘‹))
33 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 0 โ†’ (3 โˆ’ ๐‘˜) = (3 โˆ’ 0))
3433oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((3 โˆ’ 0) + 1))
35 3cn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 โˆˆ โ„‚
3635subid1i 11478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 โˆ’ 0) = 3
3736oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆ’ 0) + 1) = (3 + 1)
38 df-4 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
3937, 38eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆ’ 0) + 1) = 4
4034, 39eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 4)
4132, 40oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4))
4231, 41oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)))
43 bpoly0 15938 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 BernPoly ๐‘‹) = 1)
4443oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4) = (1 / 4))
4544oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)) = (1 ยท (1 / 4)))
46 4cn 12243 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„‚
47 4ne0 12266 . . . . . . . . . . . . 13 4 โ‰  0
4846, 47reccli 11890 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 4) โˆˆ โ„‚
4948mulid2i 11165 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท (1 / 4)) = (1 / 4)
5045, 49eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)) = (1 / 4))
5142, 50sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 4))
5251, 48eqeltrdi 2842 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
53 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ (3C๐‘˜) = (3C1))
54 bcn1 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (3C1) = 3)
551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C1) = 3
5653, 55eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ (3C๐‘˜) = 3)
57 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (1 BernPoly ๐‘‹))
58 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 1 โ†’ (3 โˆ’ ๐‘˜) = (3 โˆ’ 1))
5958oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((3 โˆ’ 1) + 1))
60 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
61 npcan 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 โˆ’ 1) + 1) = 3)
6235, 60, 61mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆ’ 1) + 1) = 3
6359, 62eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 3)
6457, 63oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3))
6556, 64oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 1 โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3)))
66 bpoly1 15939 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 BernPoly ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
6766oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3) = ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 3))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3)) = (3 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 3)))
69 halfcn 12373 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
70 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7169, 70mpan2 690 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
72 3ne0 12264 . . . . . . . . . . . . 13 3 โ‰  0
73 divcan2 11826 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (3 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 3)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7435, 72, 73mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 3)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) / 3)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7668, 75eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3)) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7765, 76sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))
7871adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
7977, 78eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
80 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 2 โ†’ (3C๐‘˜) = (3C2))
81 bcn2 14225 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 โˆˆ โ„•0 โ†’ (3C2) = ((3 ยท (3 โˆ’ 1)) / 2))
821, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (3C2) = ((3 ยท (3 โˆ’ 1)) / 2)
834oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ยท (3 โˆ’ 1)) = (3 ยท 2)
8483oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ยท (3 โˆ’ 1)) / 2) = ((3 ยท 2) / 2)
85 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„‚
86 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โ‰  0
8735, 85, 86divcan4i 11907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ยท 2) / 2) = 3
8884, 87eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ยท (3 โˆ’ 1)) / 2) = 3
8982, 88eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (3C2) = 3
9080, 89eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 2 โ†’ (3C๐‘˜) = 3)
91 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 2 โ†’ (๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) = (2 BernPoly ๐‘‹))
92 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = 2 โ†’ (3 โˆ’ ๐‘˜) = (3 โˆ’ 2))
9392oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = 2 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = ((3 โˆ’ 2) + 1))
94 2p1e3 12300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
9535, 85, 60, 94subaddrii 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 โˆ’ 2) = 1
9695oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 โˆ’ 2) + 1) = (1 + 1)
9796, 5eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆ’ 2) + 1) = 2
9893, 97eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = 2 โ†’ ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1) = 2)
9991, 98oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 2 โ†’ ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)) = ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2))
10090, 99oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 2 โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
101 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
102 bpolycl 15940 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
103101, 102mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
104 2cnne0 12368 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
105 div12 11840 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = ((2 BernPoly ๐‘‹) ยท (3 / 2)))
10635, 104, 105mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((2 BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = ((2 BernPoly ๐‘‹) ยท (3 / 2)))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = ((2 BernPoly ๐‘‹) ยท (3 / 2)))
10835, 85, 86divcli 11902 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 2) โˆˆ โ„‚
109 mulcom 11142 . . . . . . . . . . . 12 (((2 BernPoly ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง (3 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 BernPoly ๐‘‹) ยท (3 / 2)) = ((3 / 2) ยท (2 BernPoly ๐‘‹)))
110103, 108, 109sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 BernPoly ๐‘‹) ยท (3 / 2)) = ((3 / 2) ยท (2 BernPoly ๐‘‹)))
111 bpoly2 15945 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
112111oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท (2 BernPoly ๐‘‹)) = ((3 / 2) ยท (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6))))
113 sqcl 14029 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
114 6cn 12249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 โˆˆ โ„‚
115 6re 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 โˆˆ โ„
116 6pos 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 6
117115, 116gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 โ‰  0
118114, 117reccli 11890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 6) โˆˆ โ„‚
119 subsub 11436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
120118, 119mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
121113, 120mpancom 687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6)))
122121oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) = ((3 / 2) ยท (((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ ๐‘‹) + (1 / 6))))
123 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)) โˆˆ โ„‚)
124118, 123mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)) โˆˆ โ„‚)
125 subdi 11593 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 2) ยท ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
126108, 113, 124, 125mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท ((๐‘‹โ†‘2) โˆ’ (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
127112, 122, 1263eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท (2 BernPoly ๐‘‹)) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
128107, 110, 1273eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
129100, 128sylan9eqr 2795 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
130 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‹โ†‘2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
131108, 113, 130sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
132 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆˆ โ„‚)
133108, 124, 132sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆˆ โ„‚)
134131, 133subcld 11517 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) โˆˆ โ„‚)
135134adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) โˆˆ โ„‚)
136129, 135eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
13752, 79, 1363jaodan 1431 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1 โˆจ ๐‘˜ = 2)) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
13827, 137sylan2b 595 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1))) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
1395eqeq2i 2746 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 2 โ†” ๐‘˜ = (1 + 1))
140139, 100sylbir 234 . . . . . 6 (๐‘˜ = (1 + 1) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2)))
14110, 138, 140fsump1 15646 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2))))
142128oveq2d 7374 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (3 ยท ((2 BernPoly ๐‘‹) / 2))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))))
14315sumeq1i 15588 . . . . . . . . 9 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))
144 0nn0 12433 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„•0
145 nn0uz 12810 . . . . . . . . . . . . 13 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
146144, 145eleqtri 2832 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
14813, 16eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, 1}
149148eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†” ๐‘˜ โˆˆ {0, 1})
15025elpr 4610 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ {0, 1} โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1))
151149, 150bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1)) โ†” (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1))
15252, 79jaodan 957 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ = 0 โˆจ ๐‘˜ = 1)) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
153151, 152sylan2b 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) โˆˆ โ„‚)
15414eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (0 + 1) โ†” ๐‘˜ = 1)
155154, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (0 + 1) โ†’ ((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3)))
156147, 153, 155fsump1 15646 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3))))
15750, 48eqeltrdi 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)) โˆˆ โ„‚)
15842fsum1 15637 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)))
15911, 157, 158sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 ยท ((0 BernPoly ๐‘‹) / 4)))
160159, 50eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (1 / 4))
161160, 76oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...0)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (3 ยท ((1 BernPoly ๐‘‹) / 3))) = ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))))
162156, 161eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(0 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))))
163143, 162eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))))
164163oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))) = (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))))
165 addcl 11138 . . . . . . . . 9 (((1 / 4) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆˆ โ„‚)
16648, 71, 165sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆˆ โ„‚)
167166, 131, 133addsub12d 11540 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))))
168164, 167eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))))
169133, 166negsubdi2d 11533 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -(((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆ’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))) = (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))))
170 subdi 11593 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 6) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))))
171108, 118, 170mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))))
172 addsub12 11419 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2))))
17348, 69, 172mp3an13 1453 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) = (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2))))
174171, 173oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆ’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))) = ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))) โˆ’ (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)))))
175 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
176108, 175mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
177108, 118mulcli 11167 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 2) ยท (1 / 6)) โˆˆ โ„‚
178 negsub 11454 . . . . . . . . . . . 12 ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚ โˆง ((3 / 2) ยท (1 / 6)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 / 2) ยท ๐‘‹) + -((3 / 2) ยท (1 / 6))) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))))
179176, 177, 178sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท ๐‘‹) + -((3 / 2) ยท (1 / 6))) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))))
180179oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) + -((3 / 2) ยท (1 / 6))) โˆ’ (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)))) = ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ((3 / 2) ยท (1 / 6))) โˆ’ (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)))))
18169, 48negsubdi2i 11492 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) โˆ’ (1 / 4)) = ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2))
18285, 35, 85mul12i 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ยท (3 ยท 2)) = (3 ยท (2 ยท 2))
183 3t2e6 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 ยท 2) = 6
184183oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ยท (3 ยท 2)) = (2 ยท 6)
185 2t2e4 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ยท 2) = 4
186185oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 ยท (2 ยท 2)) = (3 ยท 4)
187182, 184, 1863eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ยท 6) = (3 ยท 4)
188187oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ยท 1) / (2 ยท 6)) = ((3 ยท 1) / (3 ยท 4))
18946, 47pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
19035, 72pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
191 divcan5 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0) โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ ((3 ยท 1) / (3 ยท 4)) = (1 / 4))
19260, 189, 190, 191mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ยท 1) / (3 ยท 4)) = (1 / 4)
193188, 192eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 ยท 1) / (2 ยท 6)) = (1 / 4)
19435, 85, 60, 114, 86, 117divmuldivi 11920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) ยท (1 / 6)) = ((3 ยท 1) / (2 ยท 6))
195 2t1e2 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ยท 1) = 2
196195, 5eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ยท 1) = (1 + 1)
197196, 185oveq12i 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = ((1 + 1) / 4)
198 divcan5 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2))
19960, 104, 104, 198mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ยท 1) / (2 ยท 2)) = (1 / 2)
20060, 60, 46, 47divdiri 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 + 1) / 4) = ((1 / 4) + (1 / 4))
201197, 199, 2003eqtr3ri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
20269, 48, 48, 201subaddrii 11495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) โˆ’ (1 / 4)) = (1 / 4)
203193, 194, 2023eqtr4ri 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) โˆ’ (1 / 4)) = ((3 / 2) ยท (1 / 6))
204203negeqi 11399 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) โˆ’ (1 / 4)) = -((3 / 2) ยท (1 / 6))
205181, 204eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) = -((3 / 2) ยท (1 / 6))
20648, 69subcli 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚
207177negcli 11474 . . . . . . . . . . . . . 14 -((3 / 2) ยท (1 / 6)) โˆˆ โ„‚
208206, 207subeq0i 11486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆ’ -((3 / 2) ยท (1 / 6))) = 0 โ†” ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) = -((3 / 2) ยท (1 / 6)))
209205, 208mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆ’ -((3 / 2) ยท (1 / 6))) = 0
210209oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) โˆ’ (((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆ’ -((3 / 2) ยท (1 / 6)))) = ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) โˆ’ 0)
211 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
212206a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆˆ โ„‚)
213207a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -((3 / 2) ยท (1 / 6)) โˆˆ โ„‚)
214176, 211, 212, 213subadd4d 11565 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) โˆ’ (((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)) โˆ’ -((3 / 2) ยท (1 / 6)))) = ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) + -((3 / 2) ยท (1 / 6))) โˆ’ (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)))))
215 subdir 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((3 / 2) โˆ’ 1) ยท ๐‘‹) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (1 ยท ๐‘‹)))
216108, 60, 215mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) โˆ’ 1) ยท ๐‘‹) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (1 ยท ๐‘‹)))
217 divsubdir 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((3 โˆ’ 2) / 2) = ((3 / 2) โˆ’ (2 / 2)))
21835, 85, 104, 217mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 โˆ’ 2) / 2) = ((3 / 2) โˆ’ (2 / 2))
21995oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 โˆ’ 2) / 2) = (1 / 2)
220 2div2e1 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 / 2) = 1
221220oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) โˆ’ (2 / 2)) = ((3 / 2) โˆ’ 1)
222218, 219, 2213eqtr3ri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) โˆ’ 1) = (1 / 2)
223222oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) โˆ’ 1) ยท ๐‘‹) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹)
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) โˆ’ 1) ยท ๐‘‹) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
225 mulid2 11159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐‘‹) = ๐‘‹)
226225oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ (1 ยท ๐‘‹)) = (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹))
227216, 224, 2263eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
228227oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) โˆ’ 0) = (((1 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ 0))
229 mulcl 11140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
23069, 229mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
231230subid1d 11506 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ 0) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
232228, 231eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) โˆ’ ๐‘‹) โˆ’ 0) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
233210, 214, 2323eqtr3a 2797 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((3 / 2) ยท ๐‘‹) + -((3 / 2) ยท (1 / 6))) โˆ’ (๐‘‹ + ((1 / 4) โˆ’ (1 / 2)))) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
234174, 180, 2333eqtr2d 2779 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆ’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))) = ((1 / 2) ยท ๐‘‹))
235234negeqd 11400 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ -(((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))) โˆ’ ((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2)))) = -((1 / 2) ยท ๐‘‹))
236169, 235eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6)))) = -((1 / 2) ยท ๐‘‹))
237236oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + (((1 / 4) + (๐‘‹ โˆ’ (1 / 2))) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + -((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
238131, 230negsubd 11523 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) + -((1 / 2) ยท ๐‘‹)) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
239168, 237, 2383eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...1)((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) + (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹ โˆ’ (1 / 6))))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
240141, 142, 2393eqtrd 2777 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(1 + 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
2418, 240eqtrid 2785 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1))) = (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
242241oveq2d 7374 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(3 โˆ’ 1))((3C๐‘˜) ยท ((๐‘˜ BernPoly ๐‘‹) / ((3 โˆ’ ๐‘˜) + 1)))) = ((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹))))
243 expcl 13991 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘‹โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
2441, 243mpan2 690 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘‹โ†‘3) โˆˆ โ„‚)
245244, 131, 230subsubd 11545 . 2 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ (((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐‘‹))) = (((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
2463, 242, 2453eqtrd 2777 1 (๐‘‹ โˆˆ โ„‚ โ†’ (3 BernPoly ๐‘‹) = (((๐‘‹โ†‘3) โˆ’ ((3 / 2) ยท (๐‘‹โ†‘2))) + ((1 / 2) ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   โˆช cun 3909  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  Ccbc 14208  ฮฃcsu 15576   BernPoly cbp 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-bpoly 15935
This theorem is referenced by:  bpoly4  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator