MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpoly3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bpoly3 15941
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 12431 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 bpolyval 15932 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
31, 2mpan 688 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))))
4 3m1e2 12281 . . . . . . 7 (3 − 1) = 2
5 df-2 12216 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
64, 5eqtri 2764 . . . . . 6 (3 − 1) = (1 + 1)
76oveq2i 7368 . . . . 5 (0...(3 − 1)) = (0...(1 + 1))
87sumeq1i 15583 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
9 1eluzge0 12817 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → 1 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 12510 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
12 fzpr 13496 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
14 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1514oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 (0...(0 + 1)) = (0...1)
1614preq2i 4698 . . . . . . . . . . . 12 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
1713, 15, 163eqtr3ri 2773 . . . . . . . . . . 11 {0, 1} = (0...1)
185sneqi 4597 . . . . . . . . . . 11 {2} = {(1 + 1)}
1917, 18uneq12i 4121 . . . . . . . . . 10 ({0, 1} ∪ {2}) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
20 df-tp 4591 . . . . . . . . . 10 {0, 1, 2} = ({0, 1} ∪ {2})
21 fzsuc 13488 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (ℤ‘0) → (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)}))
229, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(1 + 1)) = ((0...1) ∪ {(1 + 1)})
2319, 20, 223eqtr4ri 2775 . . . . . . . . 9 (0...(1 + 1)) = {0, 1, 2}
2423eleq2i 2829 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1, 2})
25 vex 3449 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ V
2625eltp 4649 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {0, 1, 2} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
2724, 26bitri 274 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(1 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2))
28 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = (3C0))
29 bcn0 14210 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C0) = 1)
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C0) = 1
3128, 30eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (3C𝑘) = 1)
32 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (0 BernPoly 𝑋))
33 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (3 − 𝑘) = (3 − 0))
3433oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 0) + 1))
35 3cn 12234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℂ
3635subid1i 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 0) = 3
3736oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 0) + 1) = (3 + 1)
38 df-4 12218 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
3937, 38eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 0) + 1) = 4
4034, 39eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((3 − 𝑘) + 1) = 4)
4132, 40oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((0 BernPoly 𝑋) / 4))
4231, 41oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
43 bpoly0 15933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (0 BernPoly 𝑋) = 1)
4443oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((0 BernPoly 𝑋) / 4) = (1 / 4))
4544oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 · (1 / 4)))
46 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
47 4ne0 12261 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
4846, 47reccli 11885 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 4) ∈ ℂ
4948mulid2i 11160 . . . . . . . . . . 11 (1 · (1 / 4)) = (1 / 4)
5045, 49eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) = (1 / 4))
5142, 50sylan9eqr 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
5251, 48eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 0) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
53 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = (3C1))
54 bcn1 14213 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℕ0 → (3C1) = 3)
551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (3C1) = 3
5653, 55eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (3C𝑘) = 3)
57 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (1 BernPoly 𝑋))
58 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → (3 − 𝑘) = (3 − 1))
5958oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 1) + 1))
60 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
61 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((3 − 1) + 1) = 3)
6235, 60, 61mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 1) + 1) = 3
6359, 62eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ((3 − 𝑘) + 1) = 3)
6457, 63oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((1 BernPoly 𝑋) / 3))
6556, 64oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
66 bpoly1 15934 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 BernPoly 𝑋) = (𝑋 − (1 / 2)))
6766oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 BernPoly 𝑋) / 3) = ((𝑋 − (1 / 2)) / 3))
6867oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)))
69 halfcn 12368 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℂ
70 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7169, 70mpan2 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
72 3ne0 12259 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
73 divcan2 11821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7435, 72, 73mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7571, 74syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((𝑋 − (1 / 2)) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7668, 75eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)) = (𝑋 − (1 / 2)))
7765, 76sylan9eqr 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (𝑋 − (1 / 2)))
7871adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ)
7977, 78eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
80 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = (3C2))
81 bcn2 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℕ0 → (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2))
821, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (3C2) = ((3 · (3 − 1)) / 2)
834oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · (3 − 1)) = (3 · 2)
8483oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · (3 − 1)) / 2) = ((3 · 2) / 2)
85 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
86 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
8735, 85, 86divcan4i 11902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) / 2) = 3
8884, 87eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 · (3 − 1)) / 2) = 3
8982, 88eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (3C2) = 3
9080, 89eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (3C𝑘) = 3)
91 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → (𝑘 BernPoly 𝑋) = (2 BernPoly 𝑋))
92 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → (3 − 𝑘) = (3 − 2))
9392oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = ((3 − 2) + 1))
94 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = 3
9535, 85, 60, 94subaddrii 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 − 2) = 1
9695oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 − 2) + 1) = (1 + 1)
9796, 5eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 − 2) + 1) = 2
9893, 97eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((3 − 𝑘) + 1) = 2)
9991, 98oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)) = ((2 BernPoly 𝑋) / 2))
10090, 99oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 2 → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
101 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
102 bpolycl 15935 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℂ) → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
103101, 102mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ)
104 2cnne0 12363 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
105 div12 11835 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10635, 104, 105mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
107103, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)))
10835, 85, 86divcli 11897 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 2) ∈ ℂ
109 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . 12 (((2 BernPoly 𝑋) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
110103, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((2 BernPoly 𝑋) · (3 / 2)) = ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)))
111 bpoly2 15940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (2 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
112111oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
113 sqcl 14023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
114 6cn 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℂ
115 6re 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℝ
116 6pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 6
117115, 116gt0ne0ii 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ≠ 0
118114, 117reccli 11885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 6) ∈ ℂ
119 subsub 11431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
120118, 119mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
121113, 120mpancom 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6))) = (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6)))
122121oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = ((3 / 2) · (((𝑋↑2) − 𝑋) + (1 / 6))))
123 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
124118, 123mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ)
125 subdi 11588 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
126108, 113, 124, 125mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · ((𝑋↑2) − (𝑋 − (1 / 6)))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
127112, 122, 1263eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (2 BernPoly 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
128107, 110, 1273eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
129100, 128sylan9eqr 2798 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
130 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
131108, 113, 130sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
132 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 6)) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
133108, 124, 132sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) ∈ ℂ)
134131, 133subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
135134adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) ∈ ℂ)
136129, 135eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 = 2) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
13752, 79, 1363jaodan 1430 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
13827, 137sylan2b 594 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(1 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
1395eqeq2i 2749 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 ↔ 𝑘 = (1 + 1))
140139, 100sylbir 234 . . . . . 6 (𝑘 = (1 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2)))
14110, 138, 140fsump1 15641 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))))
142128oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((2 BernPoly 𝑋) / 2))) = (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
14315sumeq1i 15583 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))
144 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
145 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
146144, 145eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ (ℤ‘0)
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → 0 ∈ (ℤ‘0))
14813, 16eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, 1}
149148eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ 𝑘 ∈ {0, 1})
15025elpr 4609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {0, 1} ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
151149, 150bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...(0 + 1)) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1))
15252, 79jaodan 956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 = 1)) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
153151, 152sylan2b 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...(0 + 1))) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) ∈ ℂ)
15414eqeq2i 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0 + 1) ↔ 𝑘 = 1)
155154, 65sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0 + 1) → ((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3)))
156147, 153, 155fsump1 15641 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))))
15750, 48eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ)
15842fsum1 15632 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℤ ∧ (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
15911, 157, 158sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 · ((0 BernPoly 𝑋) / 4)))
160159, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (1 / 4))
161160, 76oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...0)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (3 · ((1 BernPoly 𝑋) / 3))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
162156, 161eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(0 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
163143, 162eqtr3id 2790 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))))
164163oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
165 addcl 11133 . . . . . . . . 9 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ (𝑋 − (1 / 2)) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
16648, 71, 165sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) ∈ ℂ)
167166, 131, 133addsub12d 11535 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
168164, 167eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))))
169133, 166negsubdi2d 11528 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))))
170 subdi 11588 . . . . . . . . . . . 12 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 6) ∈ ℂ) → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
171108, 118, 170mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
172 addsub12 11414 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
17348, 69, 172mp3an13 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) = (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2))))
174171, 173oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
175 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
176108, 175mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
177108, 118mulcli 11162 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
178 negsub 11449 . . . . . . . . . . . 12 ((((3 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ ∧ ((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ) → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
179176, 177, 178sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) = (((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))))
180179oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − ((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
18169, 48negsubdi2i 11487 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = ((1 / 4) − (1 / 2))
18285, 35, 85mul12i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (3 · (2 · 2))
183 3t2e6 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 · 2) = 6
184183oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · (3 · 2)) = (2 · 6)
185 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
186185oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · (2 · 2)) = (3 · 4)
187182, 184, 1863eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 6) = (3 · 4)
188187oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (2 · 6)) = ((3 · 1) / (3 · 4))
18946, 47pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
19035, 72pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
191 divcan5 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4))
19260, 189, 190, 191mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 1) / (3 · 4)) = (1 / 4)
193188, 192eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 · 1) / (2 · 6)) = (1 / 4)
19435, 85, 60, 114, 86, 117divmuldivi 11915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) · (1 / 6)) = ((3 · 1) / (2 · 6))
195 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 1) = 2
196195, 5eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 1) = (1 + 1)
197196, 185oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = ((1 + 1) / 4)
198 divcan5 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
19960, 104, 104, 198mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
20060, 60, 46, 47divdiri 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 + 1) / 4) = ((1 / 4) + (1 / 4))
201197, 199, 2003eqtr3ri 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 4) + (1 / 4)) = (1 / 2)
20269, 48, 48, 201subaddrii 11490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2) − (1 / 4)) = (1 / 4)
203193, 194, 2023eqtr4ri 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2) − (1 / 4)) = ((3 / 2) · (1 / 6))
204203negeqi 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 -((1 / 2) − (1 / 4)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
205181, 204eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6))
20648, 69subcli 11477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ
207177negcli 11469 . . . . . . . . . . . . . 14 -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ
208206, 207subeq0i 11481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0 ↔ ((1 / 4) − (1 / 2)) = -((3 / 2) · (1 / 6)))
209205, 208mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6))) = 0
210209oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0)
211 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → 𝑋 ∈ ℂ)
212206a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 4) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
213207a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → -((3 / 2) · (1 / 6)) ∈ ℂ)
214176, 211, 212, 213subadd4d 11560 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − (((1 / 4) − (1 / 2)) − -((3 / 2) · (1 / 6)))) = ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))))
215 subdir 11589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
216108, 60, 215mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)))
217 divsubdir 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2)))
21835, 85, 104, 217mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = ((3 / 2) − (2 / 2))
21995oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 − 2) / 2) = (1 / 2)
220 2div2e1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 / 2) = 1
221220oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) − (2 / 2)) = ((3 / 2) − 1)
222218, 219, 2213eqtr3ri 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 / 2) − 1) = (1 / 2)
223222oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋)
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) − 1) · 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
225 mulid2 11154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ ℂ → (1 · 𝑋) = 𝑋)
226225oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − (1 · 𝑋)) = (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋))
227216, 224, 2263eqtr3rd 2785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) = ((1 / 2) · 𝑋))
228227oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = (((1 / 2) · 𝑋) − 0))
229 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
23069, 229mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℂ → ((1 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
231230subid1d 11501 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 2) · 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
232228, 231eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) − 𝑋) − 0) = ((1 / 2) · 𝑋))
233210, 214, 2323eqtr3a 2800 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℂ → ((((3 / 2) · 𝑋) + -((3 / 2) · (1 / 6))) − (𝑋 + ((1 / 4) − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
234174, 180, 2333eqtr2d 2782 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = ((1 / 2) · 𝑋))
235234negeqd 11395 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → -(((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))) − ((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
236169, 235eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6)))) = -((1 / 2) · 𝑋))
237236oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + (((1 / 4) + (𝑋 − (1 / 2))) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)))
238131, 230negsubd 11518 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℂ → (((3 / 2) · (𝑋↑2)) + -((1 / 2) · 𝑋)) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
239168, 237, 2383eqtrd 2780 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (Σ𝑘 ∈ (0...1)((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) + (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((3 / 2) · (𝑋 − (1 / 6))))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
240141, 142, 2393eqtrd 2780 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(1 + 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
2418, 240eqtrid 2788 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1))) = (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋)))
242241oveq2d 7373 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − Σ𝑘 ∈ (0...(3 − 1))((3C𝑘) · ((𝑘 BernPoly 𝑋) / ((3 − 𝑘) + 1)))) = ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))))
243 expcl 13985 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
2441, 243mpan2 689 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
245244, 131, 230subsubd 11540 . 2 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋↑3) − (((3 / 2) · (𝑋↑2)) − ((1 / 2) · 𝑋))) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
2463, 242, 2453eqtrd 2780 1 (𝑋 ∈ ℂ → (3 BernPoly 𝑋) = (((𝑋↑3) − ((3 / 2) · (𝑋↑2))) + ((1 / 2) · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  Ccbc 14202  Σcsu 15570   BernPoly cbp 15929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-bpoly 15930
This theorem is referenced by:  bpoly4  15942
  Copyright terms: Public domain W3C validator