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Theorem polid2i 28613
Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1 𝐴 ∈ ℋ
polid2.2 𝐵 ∈ ℋ
polid2.3 𝐶 ∈ ℋ
polid2.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
polid2i (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 4cn 11559 . 2 4 ∈ ℂ
2 polid2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℋ
3 polid2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
42, 3hicli 28537 . 2 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
5 4ne0 11582 . 2 4 ≠ 0
6 2cn 11549 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 polid2.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℋ
8 polid2.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℋ
97, 8hicli 28537 . . . . 5 (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
104, 9addcli 10482 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
114, 9subcli 10799 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
126, 10, 11adddii 10488 . . 3 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
13 ppncan 10765 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
144, 9, 4, 13mp3an 1451 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1542timesi 11612 . . . . . 6 (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1614, 15eqtr4i 2820 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = (2 · (𝐴 ·ih 𝐵))
1716oveq2i 7018 . . . 4 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
186, 6, 4mulassi 10487 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
19 2t2e4 11638 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2019oveq1i 7017 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (4 · (𝐴 ·ih 𝐵))
2117, 18, 203eqtr2ri 2824 . . 3 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
222, 8hicli 28537 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
237, 3hicli 28537 . . . . . . 7 (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2422, 23addcli 10482 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2524, 10, 10pnncani 10818 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
262, 7, 8, 3normlem8 28573 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
272, 7, 8, 3normlem9 28574 . . . . . 6 ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
2826, 27oveq12i 7019 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))))
29102timesi 11612 . . . . 5 (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
3025, 28, 293eqtr4i 2827 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
31 ax-icn 10431 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
3231, 7hvmulcli 28470 . . . . . . . . 9 (i · 𝐶) ∈ ℋ
3331, 3hvmulcli 28470 . . . . . . . . 9 (i · 𝐵) ∈ ℋ
342, 32, 8, 33normlem8 28573 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
352, 32, 8, 33normlem9 28574 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
3634, 35oveq12i 7019 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))))
3732, 33hicli 28537 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
3822, 37addcli 10482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) ∈ ℂ
392, 33hicli 28537 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
4032, 8hicli 28537 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) ∈ ℂ
4139, 40addcli 10482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
4238, 41, 41pnncani 10818 . . . . . . 7 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
43412timesi 11612 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
44 his5 28542 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
4531, 2, 3, 44mp3an 1451 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵))
46 cji 14340 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘i) = -i
4746oveq1i 7017 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
4845, 47eqtri 2817 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
49 ax-his3 28540 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5031, 7, 8, 49mp3an 1451 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷))
5148, 50oveq12i 7019 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) = ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5251oveq2i 7018 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5343, 52eqtr3i 2819 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5436, 42, 533eqtri 2821 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5554oveq2i 7018 . . . . 5 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
56 negicn 10723 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
5756, 4mulcli 10483 . . . . . . 7 (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5831, 9mulcli 10483 . . . . . . 7 (i · (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5957, 58addcli 10482 . . . . . 6 ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) ∈ ℂ
606, 31, 59mul12i 10671 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
6131, 57, 58adddii 10488 . . . . . . 7 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
6231, 31mulneg2i 10924 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = -(i · i)
63 ixi 11106 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
6463negeqi 10715 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
65 negneg1e1 11592 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6662, 64, 653eqtri 2821 . . . . . . . . . 10 (i · -i) = 1
6766oveq1i 7017 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))
6831, 56, 4mulassi 10487 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)))
694mulid2i 10481 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7067, 68, 693eqtr3i 2825 . . . . . . . 8 (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7163oveq1i 7017 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷))
7231, 31, 9mulassi 10487 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
739mulm1i 10922 . . . . . . . . 9 (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷)) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7471, 72, 733eqtr3i 2825 . . . . . . . 8 (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7570, 74oveq12i 7019 . . . . . . 7 ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷))
764, 9negsubi 10801 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7761, 75, 763eqtri 2821 . . . . . 6 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7877oveq2i 7018 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
7955, 60, 783eqtr2i 2823 . . . 4 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
8030, 79oveq12i 7019 . . 3 ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
8112, 21, 803eqtr4i 2827 . 2 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))))
821, 4, 5, 81mvllmuli 11310 1 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1520  wcel 2079  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  1c1 10373  ici 10374   + caddc 10375   · cmul 10377  cmin 10706  -cneg 10707   / cdiv 11134  2c2 11529  4c4 11531  ccj 14277  chba 28375   + cva 28376   · csm 28377   ·ih csp 28378   cmv 28381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-hfvadd 28456  ax-hfvmul 28461  ax-hfi 28535  ax-his1 28538  ax-his2 28539  ax-his3 28540
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-hvsub 28427
This theorem is referenced by:  polidi  28614  lnopeq0lem1  29461  lnophmlem2  29473
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