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Theorem polid2i 29238
Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1 𝐴 ∈ ℋ
polid2.2 𝐵 ∈ ℋ
polid2.3 𝐶 ∈ ℋ
polid2.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
polid2i (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 4cn 11915 . 2 4 ∈ ℂ
2 polid2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℋ
3 polid2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
42, 3hicli 29162 . 2 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
5 4ne0 11938 . 2 4 ≠ 0
6 2cn 11905 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 polid2.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℋ
8 polid2.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℋ
97, 8hicli 29162 . . . . 5 (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
104, 9addcli 10839 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
114, 9subcli 11154 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
126, 10, 11adddii 10845 . . 3 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
13 ppncan 11120 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
144, 9, 4, 13mp3an 1463 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1542timesi 11968 . . . . . 6 (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1614, 15eqtr4i 2768 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = (2 · (𝐴 ·ih 𝐵))
1716oveq2i 7224 . . . 4 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
186, 6, 4mulassi 10844 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
19 2t2e4 11994 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2019oveq1i 7223 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (4 · (𝐴 ·ih 𝐵))
2117, 18, 203eqtr2ri 2772 . . 3 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
222, 8hicli 29162 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
237, 3hicli 29162 . . . . . . 7 (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2422, 23addcli 10839 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2524, 10, 10pnncani 11173 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
262, 7, 8, 3normlem8 29198 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
272, 7, 8, 3normlem9 29199 . . . . . 6 ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
2826, 27oveq12i 7225 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))))
29102timesi 11968 . . . . 5 (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
3025, 28, 293eqtr4i 2775 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
31 ax-icn 10788 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
3231, 7hvmulcli 29095 . . . . . . . . 9 (i · 𝐶) ∈ ℋ
3331, 3hvmulcli 29095 . . . . . . . . 9 (i · 𝐵) ∈ ℋ
342, 32, 8, 33normlem8 29198 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
352, 32, 8, 33normlem9 29199 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
3634, 35oveq12i 7225 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))))
3732, 33hicli 29162 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
3822, 37addcli 10839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) ∈ ℂ
392, 33hicli 29162 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
4032, 8hicli 29162 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) ∈ ℂ
4139, 40addcli 10839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
4238, 41, 41pnncani 11173 . . . . . . 7 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
43412timesi 11968 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
44 his5 29167 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
4531, 2, 3, 44mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵))
46 cji 14722 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘i) = -i
4746oveq1i 7223 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
4845, 47eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
49 ax-his3 29165 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5031, 7, 8, 49mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷))
5148, 50oveq12i 7225 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) = ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5251oveq2i 7224 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5343, 52eqtr3i 2767 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5436, 42, 533eqtri 2769 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5554oveq2i 7224 . . . . 5 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
56 negicn 11079 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
5756, 4mulcli 10840 . . . . . . 7 (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5831, 9mulcli 10840 . . . . . . 7 (i · (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5957, 58addcli 10839 . . . . . 6 ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) ∈ ℂ
606, 31, 59mul12i 11027 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
6131, 57, 58adddii 10845 . . . . . . 7 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
6231, 31mulneg2i 11279 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = -(i · i)
63 ixi 11461 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
6463negeqi 11071 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
65 negneg1e1 11948 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6662, 64, 653eqtri 2769 . . . . . . . . . 10 (i · -i) = 1
6766oveq1i 7223 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))
6831, 56, 4mulassi 10844 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)))
694mulid2i 10838 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7067, 68, 693eqtr3i 2773 . . . . . . . 8 (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7163oveq1i 7223 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷))
7231, 31, 9mulassi 10844 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
739mulm1i 11277 . . . . . . . . 9 (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷)) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7471, 72, 733eqtr3i 2773 . . . . . . . 8 (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7570, 74oveq12i 7225 . . . . . . 7 ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷))
764, 9negsubi 11156 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7761, 75, 763eqtri 2769 . . . . . 6 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7877oveq2i 7224 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
7955, 60, 783eqtr2i 2771 . . . 4 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
8030, 79oveq12i 7225 . . 3 ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
8112, 21, 803eqtr4i 2775 . 2 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))))
821, 4, 5, 81mvllmuli 11665 1 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730  ici 10731   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  -cneg 11063   / cdiv 11489  2c2 11885  4c4 11887  ccj 14659  chba 29000   + cva 29001   · csm 29002   ·ih csp 29003   cmv 29006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-hfvadd 29081  ax-hfvmul 29086  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-hvsub 29052
This theorem is referenced by:  polidi  29239  lnopeq0lem1  30086  lnophmlem2  30098
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