Theorem 1cubrlem 26903

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12180	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 12182	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 12292	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12254	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 11196	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 26727	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1482	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10		logm1 26651	. . . . . 6 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7407	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 11132	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 26516	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 11196	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 11378	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6870	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 11196	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 26556	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 12253	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6870	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 26578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 487	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 11423	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 11131	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 11882	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1482	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2793	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49		sinhalfpip 26554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6870	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 489	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2793	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7407	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 12499	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 12508	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 15280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 702	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 11196	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 11947	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7408	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 11189	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 16184	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 11189	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 11948	. . . 4 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2789	. 2 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12601	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 26818	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 702	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 26736	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 14080	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6870	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 11188	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 15218	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 15215	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 12181	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 15166	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
87	12, 60	cjmuli 15216	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 15186	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 15166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11633	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7408	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 11509	. . . . . 6 ⊢ (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 15166	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7408	. . . 4 ⊢ ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2789	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 12345	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7407	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2794	. 2 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 474	1 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074  ici 11075   + caddc 11076   · cmul 11078   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  6c6 12276  ℤcz 12568  ↑cexp 14074  ∗ccj 15123  √csqrt 15260  expce 16091  sincsin 16093  cosccos 16094  πcpi 16096  logclog 26616  ↑_𝑐ccxp 26617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-log 26618  df-cxp 26619

This theorem is referenced by:  1cubr  26904