MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubrlem 26884
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1cubrlem ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12380 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 neg1ne0 12382 . . . 4 -1 ≠ 0
3 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 3nn 12345 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
5 nndivre 12307 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 692 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℝ
76recni 11275 . . . 4 (2 / 3) ∈ ℂ
8 cxpef 26707 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
91, 2, 7, 8mp3an 1463 . . 3 (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10 logm1 26631 . . . . . 6 (log‘-1) = (i · π)
1110oveq2i 7442 . . . . 5 ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12 ax-icn 11214 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 pire 26500 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1413recni 11275 . . . . . 6 π ∈ ℂ
157, 12, 14mul12i 11456 . . . . 5 ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
1611, 15eqtri 2765 . . . 4 ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
1716fveq2i 6909 . . 3 (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18 6nn 12355 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
19 nndivre 12307 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
2013, 18, 19mp2an 692 . . . . . . . 8 (π / 6) ∈ ℝ
2120recni 11275 . . . . . . 7 (π / 6) ∈ ℂ
22 coshalfpip 26536 . . . . . . 7 ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
25 2ne0 12370 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
26 divrec2 11939 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
2714, 24, 25, 26mp3an 1463 . . . . . . . . 9 (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28 6cn 12357 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
2918nnne0i 12306 . . . . . . . . . 10 6 ≠ 0
30 divrec2 11939 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
3114, 28, 29, 30mp3an 1463 . . . . . . . . 9 (π / 6) = ((1 / 6) · π)
3227, 31oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
3324, 25reccli 11997 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
3428, 29reccli 11997 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℂ
3533, 34, 14adddiri 11274 . . . . . . . 8 (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36 halfpm6th 12487 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
3736simpri 485 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
3837oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
3932, 35, 383eqtr2i 2771 . . . . . . 7 ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
4039fveq2i 6909 . . . . . 6 (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41 sincos6thpi 26558 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
4241simpli 483 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
4342negeqi 11501 . . . . . . 7 -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44 ax-1cn 11213 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
45 divneg 11959 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
4644, 24, 25, 45mp3an 1463 . . . . . . 7 -(1 / 2) = (-1 / 2)
4743, 46eqtri 2765 . . . . . 6 -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
4823, 40, 473eqtr3i 2773 . . . . 5 (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49 sinhalfpip 26534 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
5021, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
5139fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
5241simpri 485 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
5350, 51, 523eqtr3i 2773 . . . . . . 7 (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
5453oveq2i 7442 . . . . . 6 (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55 3re 12346 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
56 3nn0 12544 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
5756nn0ge0i 12553 . . . . . . . . 9 0 ≤ 3
58 resqrtcl 15292 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
5955, 57, 58mp2an 692 . . . . . . . 8 (√‘3) ∈ ℝ
6059recni 11275 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℂ
6112, 60, 24, 25divassi 12023 . . . . . 6 ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
6254, 61eqtr4i 2768 . . . . 5 (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
6348, 62oveq12i 7443 . . . 4 ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
647, 14mulcli 11268 . . . . 5 ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65 efival 16188 . . . . 5 (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
6664, 65ax-mp 5 . . . 4 (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
6712, 60mulcli 11268 . . . . 5 (i · (√‘3)) ∈ ℂ
681, 67, 24, 25divdiri 12024 . . . 4 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
6963, 66, 683eqtr4i 2775 . . 3 (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
709, 17, 693eqtri 2769 . 2 (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71 1z 12647 . . . 4 1 ∈ ℤ
72 root1cj 26799 . . . 4 ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
734, 71, 72mp2an 692 . . 3 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74 cxpcl 26716 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
751, 7, 74mp2an 692 . . . . . . 7 (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76 exp1 14108 . . . . . . 7 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
7877, 70eqtri 2765 . . . . 5 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7978fveq2i 6909 . . . 4 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
801, 67addcli 11267 . . . . . 6 (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
8180, 24cjdivi 15230 . . . . 5 (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
8225, 81ax-mp 5 . . . 4 (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
831, 67cjaddi 15227 . . . . . 6 (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84 neg1rr 12381 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
85 cjre 15178 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 (∗‘-1) = -1
8712, 60cjmuli 15228 . . . . . . . 8 (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88 cji 15198 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
89 cjre 15178 . . . . . . . . . 10 ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
9059, 89ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
9188, 90oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
9212, 60mulneg1i 11709 . . . . . . . 8 (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
9387, 91, 923eqtri 2769 . . . . . . 7 (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
9486, 93oveq12i 7443 . . . . . 6 ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
951, 67negsubi 11587 . . . . . 6 (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
9683, 94, 953eqtri 2769 . . . . 5 (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97 cjre 15178 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
983, 97ax-mp 5 . . . . 5 (∗‘2) = 2
9996, 98oveq12i 7443 . . . 4 ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
10079, 82, 993eqtri 2769 . . 3 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101 3m1e2 12394 . . . 4 (3 − 1) = 2
102101oveq2i 7442 . . 3 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
10373, 100, 1023eqtr3ri 2774 . 2 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
10470, 103pm3.2i 470 1 ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  cz 12613  cexp 14102  ccj 15135  csqrt 15272  expce 16097  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  logclog 26596  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  1cubr  26885
  Copyright terms: Public domain W3C validator