MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1cubrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cubrlem 24788
Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
1cubrlem ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11325 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 neg1ne0 11327 . . . 4 -1 ≠ 0
3 2re 11291 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 3nn 11387 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
5 nndivre 11257 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 664 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℝ
76recni 10253 . . . 4 (2 / 3) ∈ ℂ
8 cxpef 24631 . . . 4 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
91, 2, 7, 8mp3an 1571 . . 3 (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10 logm1 24555 . . . . . 6 (log‘-1) = (i · π)
1110oveq2i 6803 . . . . 5 ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12 ax-icn 10196 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 pire 24430 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
1413recni 10253 . . . . . 6 π ∈ ℂ
157, 12, 14mul12i 10432 . . . . 5 ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
1611, 15eqtri 2792 . . . 4 ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
1716fveq2i 6335 . . 3 (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18 6nn 11390 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
19 nndivre 11257 . . . . . . . . 9 ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
2013, 18, 19mp2an 664 . . . . . . . 8 (π / 6) ∈ ℝ
2120recni 10253 . . . . . . 7 (π / 6) ∈ ℂ
22 coshalfpip 24466 . . . . . . 7 ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24 2cn 11292 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
25 2ne0 11314 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
26 divrec2 10903 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
2714, 24, 25, 26mp3an 1571 . . . . . . . . 9 (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28 6cn 11303 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
2918nnne0i 11256 . . . . . . . . . 10 6 ≠ 0
30 divrec2 10903 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
3114, 28, 29, 30mp3an 1571 . . . . . . . . 9 (π / 6) = ((1 / 6) · π)
3227, 31oveq12i 6804 . . . . . . . 8 ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
3324, 25reccli 10956 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℂ
3428, 29reccli 10956 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℂ
3533, 34, 14adddiri 10252 . . . . . . . 8 (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36 halfpm6th 11454 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
3736simpri 473 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
3837oveq1i 6802 . . . . . . . 8 (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
3932, 35, 383eqtr2i 2798 . . . . . . 7 ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
4039fveq2i 6335 . . . . . 6 (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41 sincos6thpi 24487 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
4241simpli 470 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
4342negeqi 10475 . . . . . . 7 -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44 ax-1cn 10195 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
45 divneg 10920 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
4644, 24, 25, 45mp3an 1571 . . . . . . 7 -(1 / 2) = (-1 / 2)
4743, 46eqtri 2792 . . . . . 6 -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
4823, 40, 473eqtr3i 2800 . . . . 5 (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49 sinhalfpip 24464 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
5021, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
5139fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
5241simpri 473 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
5350, 51, 523eqtr3i 2800 . . . . . . 7 (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
5453oveq2i 6803 . . . . . 6 (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55 3re 11295 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
56 3nn0 11511 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
5756nn0ge0i 11521 . . . . . . . . 9 0 ≤ 3
58 resqrtcl 14201 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
5955, 57, 58mp2an 664 . . . . . . . 8 (√‘3) ∈ ℝ
6059recni 10253 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℂ
6112, 60, 24, 25divassi 10982 . . . . . 6 ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
6254, 61eqtr4i 2795 . . . . 5 (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
6348, 62oveq12i 6804 . . . 4 ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
647, 14mulcli 10246 . . . . 5 ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65 efival 15087 . . . . 5 (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
6664, 65ax-mp 5 . . . 4 (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
6712, 60mulcli 10246 . . . . 5 (i · (√‘3)) ∈ ℂ
681, 67, 24, 25divdiri 10983 . . . 4 ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
6963, 66, 683eqtr4i 2802 . . 3 (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
709, 17, 693eqtri 2796 . 2 (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71 1z 11608 . . . 4 1 ∈ ℤ
72 root1cj 24717 . . . 4 ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
734, 71, 72mp2an 664 . . 3 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74 cxpcl 24640 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
751, 7, 74mp2an 664 . . . . . . 7 (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76 exp1 13072 . . . . . . 7 ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
7775, 76ax-mp 5 . . . . . 6 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
7877, 70eqtri 2792 . . . . 5 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
7978fveq2i 6335 . . . 4 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
801, 67addcli 10245 . . . . . 6 (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
8180, 24cjdivi 14138 . . . . 5 (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
8225, 81ax-mp 5 . . . 4 (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
831, 67cjaddi 14135 . . . . . 6 (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84 neg1rr 11326 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
85 cjre 14086 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 (∗‘-1) = -1
8712, 60cjmuli 14136 . . . . . . . 8 (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88 cji 14106 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
89 cjre 14086 . . . . . . . . . 10 ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
9059, 89ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
9188, 90oveq12i 6804 . . . . . . . 8 ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
9212, 60mulneg1i 10677 . . . . . . . 8 (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
9387, 91, 923eqtri 2796 . . . . . . 7 (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
9486, 93oveq12i 6804 . . . . . 6 ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
951, 67negsubi 10560 . . . . . 6 (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
9683, 94, 953eqtri 2796 . . . . 5 (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97 cjre 14086 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
983, 97ax-mp 5 . . . . 5 (∗‘2) = 2
9996, 98oveq12i 6804 . . . 4 ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
10079, 82, 993eqtri 2796 . . 3 (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101 3m1e2 11338 . . . 4 (3 − 1) = 2
102101oveq2i 6803 . . 3 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
10373, 100, 1023eqtr3ri 2801 . 2 ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
10470, 103pm3.2i 447 1 ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  ici 10139   + caddc 10140   · cmul 10142  cle 10276  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  3c3 11272  6c6 11275  cz 11578  cexp 13066  ccj 14043  csqrt 14180  expce 14997  sincsin 14999  cosccos 15000  πcpi 15002  logclog 24521  𝑐ccxp 24522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-cxp 24524
This theorem is referenced by:  1cubr  24789
  Copyright terms: Public domain W3C validator