Theorem 1cubrlem 25421

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11754	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 11756	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 11714	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 11719	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 11681	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 10657	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 25250	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10		logm1 25174	. . . . . 6 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7169	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 10598	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 25046	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 10657	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 10837	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2846	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6675	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 11729	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 10657	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 25082	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 11715	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 11731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 11680	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7170	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 10656	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 11861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7168	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6675	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 25103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 486	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 10881	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 10597	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 11334	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1457	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2854	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49		sinhalfpip 25080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6675	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 488	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7169	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 14615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 10657	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 11398	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2849	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7170	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 10650	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 15507	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 10650	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 11399	. . . 4 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2856	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2850	. 2 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12015	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 25339	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 690	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 25259	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6675	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 10649	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 14552	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 14549	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 11755	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 14500	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
87	12, 60	cjmuli 14550	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 14500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7170	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11088	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2850	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7170	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 10966	. . . . . 6 ⊢ (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2850	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 14500	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7170	. . . 4 ⊢ ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2850	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 11768	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7169	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2855	. 2 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 473	1 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  ici 10541   + caddc 10542   · cmul 10544   ≤ cle 10678   − cmin 10872  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  6c6 11699  ℤcz 11984  ↑cexp 13432  ∗ccj 14457  √csqrt 14594  expce 15417  sincsin 15419  cosccos 15420  πcpi 15422  logclog 25140  ↑_𝑐ccxp 25141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142  df-cxp 25143

This theorem is referenced by:  1cubr  25422