Theorem 1cubrlem 26801

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12352	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 12354	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 12312	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 12317	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12279	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 11247	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 26624	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10		logm1 26548	. . . . . 6 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7414	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 11186	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 26416	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 11247	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 11428	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6878	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 11247	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 26453	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 11969	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 11969	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 11246	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6878	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 26475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 11473	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 11931	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49		sinhalfpip 26451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7414	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 12318	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 12517	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 15270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 11247	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 11995	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7415	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 11240	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 16168	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 11240	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 11996	. . . 4 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2762	. 2 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12620	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 26716	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 692	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 26633	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 14083	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6878	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 11239	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 15208	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 15205	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 12353	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 15156	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
87	12, 60	cjmuli 15206	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 15176	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 15156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11681	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7415	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 11559	. . . . . 6 ⊢ (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 15156	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7415	. . . 4 ⊢ ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2762	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 12366	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7414	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2767	. 2 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 470	1 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132   ≤ cle 11268   − cmin 11464  -cneg 11465   / cdiv 11892  ℕcn 12238  2c2 12293  3c3 12294  6c6 12297  ℤcz 12586  ↑cexp 14077  ∗ccj 15113  √csqrt 15250  expce 16075  sincsin 16077  cosccos 16078  πcpi 16080  logclog 26513  ↑_𝑐ccxp 26514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818  df-log 26515  df-cxp 26516

This theorem is referenced by:  1cubr  26802