Theorem 1cubrlem 26758

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12178	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 12180	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 12272	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12234	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 11195	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 26581	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘-1)))
10		logm1 26505	. . . . . 6 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 11134	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 26373	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 11195	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 11376	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘-1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6864	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘-1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 12234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 11195	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 26410	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 12233	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 11919	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6864	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 26432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 483	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 11421	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 11133	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 11881	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = (-1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = (-1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = (-1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = (-1 / 2)
49		sinhalfpip 26408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 15226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 11195	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 11945	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7402	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 11188	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 16127	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 11188	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 11946	. . . 4 ⊢ ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) = ((-1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2757	. 2 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12570	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 26673	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 692	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 26590	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 14039	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (-1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6864	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 11187	. . . . . 6 ⊢ (-1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 15164	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘((-1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 15161	. . . . . 6 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 12179	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 15112	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-1) = -1
87	12, 60	cjmuli 15162	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 15132	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 15112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = (-i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11631	. . . . . . . 8 ⊢ (-i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7402	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = (-1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 11507	. . . . . 6 ⊢ (-1 + -(i · (√‘3))) = (-1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) = (-1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 15112	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7402	. . . 4 ⊢ ((∗‘(-1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2757	. . 3 ⊢ (∗‘((-1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 12316	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2762	. 2 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 470	1 ⊢ ((-1↑𝑐(2 / 3)) = ((-1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ ((-1↑𝑐(2 / 3))↑2) = ((-1 − (i · (√‘3))) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  6c6 12252  ℤcz 12536  ↑cexp 14033  ∗ccj 15069  √csqrt 15206  expce 16034  sincsin 16036  cosccos 16037  πcpi 16039  logclog 26470  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  1cubr  26759