Theorem 1cubrlem 27226

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12345	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 12347	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 12457	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 12462	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12419	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 11362	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 27050	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1491	. . 3 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1)))
10		logm1 26974	. . . . . 6 ⊢ (log‘ -1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘ -1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 11298	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 26840	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 11362	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 11544	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘ -1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6919	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 12472	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 12419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 11362	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 26880	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 12458	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 12474	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 12418	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 12087	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6919	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 26901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 489	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 11589	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 11297	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 12048	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = ( -1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1491	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = ( -1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = ( -1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2794	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = ( -1 / 2)
49		sinhalfpip 26878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2794	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 12664	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 11362	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 12113	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7463	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 11355	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 16364	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 11355	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 12114	. . . 4 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) = (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2796	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2790	. 2 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12766	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 27141	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 705	. . 3 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 27059	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 14250	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6919	. . . 4 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 11354	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 15401	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 15398	. . . . . 6 ⊢ (∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘ -1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 12346	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 15349	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (∗‘ -1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘ -1) = -1
87	12, 60	cjmuli 15399	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 15369	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 15349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = ( -i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11801	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2790	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7463	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘ -1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = ( -1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 11675	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + -(i · (√‘3))) = ( -1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ (∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) = ( -1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 15349	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7463	. . . 4 ⊢ ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2790	. . 3 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 12510	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2795	. 2 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 476	1 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  6c6 12441  ℤcz 12733  ↑cexp 14244  ∗ccj 15306  √csqrt 15443  expce 16271  sincsin 16273  cosccos 16274  πcpi 16276  logclog 26939  ↑_𝑐ccxp 26940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941  df-cxp 26942

This theorem is used by:  1cubr  27227