Theorem 1cubrlem 27178

Description: The cube roots of unity. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
1cubrlem	⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))

Proof of Theorem 1cubrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12312	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		neg1ne0 12314	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
3		2re 12424	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		3nn 12429	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12386	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (2 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℝ
7	6	recni 11330	. . . 4 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
8		cxpef 27002	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1))))
9	1, 2, 7, 8	mp3an 1490	. . 3 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1)))
10		logm1 26926	. . . . . 6 ⊢ (log‘ -1) = (i · π)
11	10	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (log‘ -1)) = ((2 / 3) · (i · π))
12		ax-icn 11266	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		pire 26792	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
14	13	recni 11330	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℂ
15	7, 12, 14	mul12i 11512	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · (i · π)) = (i · ((2 / 3) · π))
16	11, 15	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ((2 / 3) · (log‘ -1)) = (i · ((2 / 3) · π))
17	16	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (exp‘((2 / 3) · (log‘ -1))) = (exp‘(i · ((2 / 3) · π)))
18		6nn 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
19		nndivre 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
20	13, 18, 19	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
21	20	recni 11330	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
22		coshalfpip 26832	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6)))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = -(sin‘(π / 6))
24		2cn 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
26		divrec2 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (π / 2) = ((1 / 2) · π))
27	14, 24, 25, 26	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) = ((1 / 2) · π)
28		6cn 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℂ
29	18	nnne0i 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ≠ 0
30		divrec2 11998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → (π / 6) = ((1 / 6) · π))
31	14, 28, 29, 30	mp3an 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) = ((1 / 6) · π)
32	27, 31	oveq12i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
33	24, 25	reccli 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34	28, 29	reccli 12054	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 6) ∈ ℂ
35	33, 34, 14	adddiri 11329	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = (((1 / 2) · π) + ((1 / 6) · π))
36		halfpm6th 12575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / 2) − (1 / 6)) = (1 / 3) ∧ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))
37	36	simpri 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
38	37	oveq1i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 2) + (1 / 6)) · π) = ((2 / 3) · π)
39	32, 35, 38	3eqtr2i 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((π / 2) + (π / 6)) = ((2 / 3) · π)
40	39	fveq2i 6893	. . . . . 6 ⊢ (cos‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘((2 / 3) · π))
41		sincos6thpi 26853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
42	41	simpli 489	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
43	42	negeqi 11557	. . . . . . 7 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = -(1 / 2)
44		ax-1cn 11265	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
45		divneg 12015	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(1 / 2) = ( -1 / 2))
46	44, 24, 25, 45	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ -(1 / 2) = ( -1 / 2)
47	43, 46	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ -(sin‘(π / 6)) = ( -1 / 2)
48	23, 40, 47	3eqtr3i 2791	. . . . 5 ⊢ (cos‘((2 / 3) · π)) = ( -1 / 2)
49		sinhalfpip 26830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6)))
50	21, 49	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
51	39	fveq2i 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((π / 2) + (π / 6))) = (sin‘((2 / 3) · π))
52	41	simpri 491	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
53	50, 51, 52	3eqtr3i 2791	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘((2 / 3) · π)) = ((√‘3) / 2)
54	53	oveq2i 7435	. . . . . 6 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = (i · ((√‘3) / 2))
55		3re 12430	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
56		3nn0 12631	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
57	56	nn0ge0i 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 3
58		resqrtcl 15429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (√‘3) ∈ ℝ)
59	55, 57, 58	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
60	59	recni 11330	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
61	12, 60, 24, 25	divassi 12080	. . . . . 6 ⊢ ((i · (√‘3)) / 2) = (i · ((√‘3) / 2))
62	54, 61	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (i · (sin‘((2 / 3) · π))) = ((i · (√‘3)) / 2)
63	48, 62	oveq12i 7436	. . . 4 ⊢ ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))) = (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
64	7, 14	mulcli 11323	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) · π) ∈ ℂ
65		efival 16329	. . . . 5 ⊢ (((2 / 3) · π) ∈ ℂ → (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π)))))
66	64, 65	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = ((cos‘((2 / 3) · π)) + (i · (sin‘((2 / 3) · π))))
67	12, 60	mulcli 11323	. . . . 5 ⊢ (i · (√‘3)) ∈ ℂ
68	1, 67, 24, 25	divdiri 12081	. . . 4 ⊢ (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) = (( -1 / 2) + ((i · (√‘3)) / 2))
69	63, 66, 68	3eqtr4i 2793	. . 3 ⊢ (exp‘(i · ((2 / 3) · π))) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
70	9, 17, 69	3eqtri 2787	. 2 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
71		1z 12733	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
72		root1cj 27093	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℤ) → (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)))
73	4, 71, 72	mp2an 705	. . 3 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1))
74		cxpcl 27011	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 3) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ)
75	1, 7, 74	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ
76		exp1 14217	. . . . . . 7 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) ∈ ℂ → (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3)))
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = ( -1↑𝑐(2 / 3))
78	77, 70	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑1) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2)
79	78	fveq2i 6893	. . . 4 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2))
80	1, 67	addcli 11322	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + (i · (√‘3))) ∈ ℂ
81	80, 24	cjdivi 15367	. . . . 5 ⊢ (2 ≠ 0 → (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)))
82	25, 81	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∗‘(( -1 + (i · (√‘3))) / 2)) = ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2))
83	1, 67	cjaddi 15364	. . . . . 6 ⊢ (∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) = ((∗‘ -1) + (∗‘(i · (√‘3))))
84		neg1rr 12313	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
85		cjre 15315	. . . . . . . 8 ⊢ ( -1 ∈ ℝ → (∗‘ -1) = -1)
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘ -1) = -1
87	12, 60	cjmuli 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = ((∗‘i) · (∗‘(√‘3)))
88		cji 15335	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘i) = -i
89		cjre 15315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((√‘3) ∈ ℝ → (∗‘(√‘3)) = (√‘3))
90	59, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘(√‘3)) = (√‘3)
91	88, 90	oveq12i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘i) · (∗‘(√‘3))) = ( -i · (√‘3))
92	12, 60	mulneg1i 11769	. . . . . . . 8 ⊢ ( -i · (√‘3)) = -(i · (√‘3))
93	87, 91, 92	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘(i · (√‘3))) = -(i · (√‘3))
94	86, 93	oveq12i 7436	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘ -1) + (∗‘(i · (√‘3)))) = ( -1 + -(i · (√‘3)))
95	1, 67	negsubi 11643	. . . . . 6 ⊢ ( -1 + -(i · (√‘3))) = ( -1 − (i · (√‘3)))
96	83, 94, 95	3eqtri 2787	. . . . 5 ⊢ (∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) = ( -1 − (i · (√‘3)))
97		cjre 15315	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
98	3, 97	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∗‘2) = 2
99	96, 98	oveq12i 7436	. . . 4 ⊢ ((∗‘( -1 + (i · (√‘3)))) / (∗‘2)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
100	79, 82, 99	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 3))↑1)) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
101		3m1e2 12477	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
102	101	oveq2i 7435	. . 3 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑(3 − 1)) = (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2)
103	73, 100, 102	3eqtr3ri 2792	. 2 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2)
104	70, 103	pm3.2i 476	1 ⊢ (( -1↑𝑐(2 / 3)) = (( -1 + (i · (√‘3))) / 2) ∧ (( -1↑𝑐(2 / 3))↑2) = (( -1 − (i · (√‘3))) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208  ici 11209   + caddc 11210   · cmul 11212   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549   / cdiv 11980  ℕcn 12342  2c2 12404  3c3 12405  6c6 12408  ℤcz 12700  ↑cexp 14211  ∗ccj 15272  √csqrt 15409  expce 16236  sincsin 16238  cosccos 16239  πcpi 16241  logclog 26891  ↑_𝑐ccxp 26892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-cxp 26894

This theorem is used by:  1cubr  27179