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Theorem ip1ilem 28253

Description: Lemma for ip1i 28254. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ip1i.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip1i.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip1i.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip1i.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
ip0i.j	⊢ 𝐽 ∈ ℂ

**Assertion**
Ref	Expression
ip1ilem	⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))

**Proof of Theorem ip1ilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
2	1	phnvi 28243	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip1i.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
5		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
8		ip1i.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
10	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
11	2, 3, 4, 10	mp3an 1534	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
12	11	oveq2i 6933	. . . 4 ⊢ (2 · (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
13		2cn 11450	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4cn 11461	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
15	5, 9	dipcl 28139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
16	2, 3, 4, 15	mp3an 1534	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 16	mul12i 10571	. . . 4 ⊢ (2 · (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶)))
18	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
19	2, 3, 4, 18	mp3an 1534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋
20	5, 8, 2, 19	nvcli 28089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) ∈ ℝ
21	20	resqcli 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
22	21	recni 10391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
23		ax-1cn 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	negcli 10691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
25	5, 7	nvscl 28053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26	2, 24, 4, 25	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋
27	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
28	2, 3, 26, 27	mp3an 1534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
29	5, 8, 2, 28	nvcli 28089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
30	29	resqcli 13268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
31	30	recni 10391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
32	22, 31	subcli 10699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
33		ax-icn 10331	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
34	5, 7	nvscl 28053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
35	2, 33, 4, 34	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋
36	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
38	5, 8, 2, 37	nvcli 28089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
39	38	resqcli 13268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
40	39	recni 10391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
41	33	negcli 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -i ∈ ℂ
42	5, 7	nvscl 28053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
43	2, 41, 4, 42	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋
44	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
45	2, 3, 43, 44	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
46	5, 8, 2, 45	nvcli 28089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
47	46	resqcli 13268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
48	47	recni 10391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
49	40, 48	subcli 10699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
50	33, 49	mulcli 10384	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
51	13, 32, 50	adddii 10389	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
52		ip1i.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
53	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23	ip0i 28252	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
54	5, 7	nvsid 28054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐶) = 𝐶)
55	2, 4, 54	mp2an 682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1𝑆𝐶) = 𝐶
56	55	oveq2i 6933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)
57	56	fveq2i 6449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))
58	57	oveq1i 6932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2)
59	58	oveq1i 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
60	55	oveq2i 6933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)
61	60	fveq2i 6449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))
62	61	oveq1i 6932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2)
63	62	oveq1i 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
64	59, 63	oveq12i 6934	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
65	55	oveq2i 6933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(1𝑆𝐶)) = (𝐴𝐺𝐶)
66	65	fveq2i 6449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))
67	66	oveq1i 6932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2)
68	67	oveq1i 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
69	68	oveq2i 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
70	53, 64, 69	3eqtr3i 2809	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
71	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33	ip0i 28252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))
72	71	oveq2i 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (i · ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (i · (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
73	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
74	2, 3, 52, 73	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
75	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
76	2, 74, 35, 75	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
77	5, 8, 2, 76	nvcli 28089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
78	77	resqcli 13268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
79	78	recni 10391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
80	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
81	2, 74, 43, 80	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
82	5, 8, 2, 81	nvcli 28089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
83	82	resqcli 13268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 10391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
85	79, 84	subcli 10699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
86	5, 7	nvscl 28053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
87	2, 24, 52, 86	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
88	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
89	2, 3, 87, 88	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
90	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
91	2, 89, 35, 90	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
92	5, 8, 2, 91	nvcli 28089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
93	92	resqcli 13268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
94	93	recni 10391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
95	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
96	2, 89, 43, 95	mp3an 1534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
97	5, 8, 2, 96	nvcli 28089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
98	97	resqcli 13268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
99	98	recni 10391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
100	94, 99	subcli 10699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
101	33, 85, 100	adddii 10389	. . . . . . . 8 ⊢ (i · ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
102	33, 13, 49	mul12i 10571	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
103	72, 101, 102	3eqtr3i 2809	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
104	70, 103	oveq12i 6934	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
105	51, 104	eqtr4i 2804	. . . . 5 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
106	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
107	2, 74, 4, 106	mp3an 1534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋
108	5, 8, 2, 107	nvcli 28089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) ∈ ℝ
109	108	resqcli 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
110	109	recni 10391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
111	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
112	2, 74, 26, 111	mp3an 1534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
113	5, 8, 2, 112	nvcli 28089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
114	113	resqcli 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
115	114	recni 10391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
116	110, 115	subcli 10699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
117	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
118	2, 89, 4, 117	mp3an 1534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋
119	5, 8, 2, 118	nvcli 28089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) ∈ ℝ
120	119	resqcli 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
121	120	recni 10391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
122	5, 6	nvgcl 28047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
123	2, 89, 26, 122	mp3an 1534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
124	5, 8, 2, 123	nvcli 28089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
125	124	resqcli 13268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
126	125	recni 10391	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
127	121, 126	subcli 10699	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
128	33, 85	mulcli 10384	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
129	33, 100	mulcli 10384	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
130	116, 127, 128, 129	add4i 10600	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
131	5, 9	dipcl 28139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ)
132	2, 74, 4, 131	mp3an 1534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ
133	5, 9	dipcl 28139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ)
134	2, 89, 4, 133	mp3an 1534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ
135	14, 132, 134	adddii 10389	. . . . . 6 ⊢ (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
136	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
137	2, 74, 4, 136	mp3an 1534	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
138	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
139	2, 89, 4, 138	mp3an 1534	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
140	137, 139	oveq12i 6934	. . . . . 6 ⊢ ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
141	135, 140	eqtr2i 2802	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
142	105, 130, 141	3eqtri 2805	. . . 4 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
143	12, 17, 142	3eqtr3ri 2810	. . 3 ⊢ (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶)))
144	143	oveq1i 6932	. 2 ⊢ ((4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4)
145	132, 134	addcli 10383	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) ∈ ℂ
146		4ne0 11490	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
147	145, 14, 146	divcan3i 11121	. 2 ⊢ ((4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))
148	13, 16	mulcli 10384	. . 3 ⊢ (2 · (𝐴𝑃𝐶)) ∈ ℂ
149	148, 14, 146	divcan3i 11121	. 2 ⊢ ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))
150	144, 147, 149	3eqtr3i 2809	1 ⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1601 ∈ wcel 2106 ‘cfv 6135 (class class class)co 6922 ℂcc 10270 1c1 10273 ici 10274 + caddc 10275 · cmul 10277 − cmin 10606 -cneg 10607 / cdiv 11032 2c2 11430 4c4 11432 ↑cexp 13178 NrmCVeccnv 28011 +_𝑣 cpv 28012 BaseSetcba 28013 ·_𝑠OLD cns 28014 norm_CVcnmcv 28017 ·_𝑖OLDcdip 28127 CPreHil_OLDccphlo 28239

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1839 ax-4 1853 ax-5 1953 ax-6 2021 ax-7 2054 ax-8 2108 ax-9 2115 ax-10 2134 ax-11 2149 ax-12 2162 ax-13 2333 ax-ext 2753 ax-rep 5006 ax-sep 5017 ax-nul 5025 ax-pow 5077 ax-pr 5138 ax-un 7226 ax-inf2 8835 ax-cnex 10328 ax-resscn 10329 ax-1cn 10330 ax-icn 10331 ax-addcl 10332 ax-addrcl 10333 ax-mulcl 10334 ax-mulrcl 10335 ax-mulcom 10336 ax-addass 10337 ax-mulass 10338 ax-distr 10339 ax-i2m1 10340 ax-1ne0 10341 ax-1rid 10342 ax-rnegex 10343 ax-rrecex 10344 ax-cnre 10345 ax-pre-lttri 10346 ax-pre-lttrn 10347 ax-pre-ltadd 10348 ax-pre-mulgt0 10349 ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 837 df-3or 1072 df-3an 1073 df-tru 1605 df-fal 1615 df-ex 1824 df-nf 1828 df-sb 2012 df-mo 2550 df-eu 2586 df-clab 2763 df-cleq 2769 df-clel 2773 df-nfc 2920 df-ne 2969 df-nel 3075 df-ral 3094 df-rex 3095 df-reu 3096 df-rmo 3097 df-rab 3098 df-v 3399 df-sbc 3652 df-csb 3751 df-dif 3794 df-un 3796 df-in 3798 df-ss 3805 df-pss 3807 df-nul 4141 df-if 4307 df-pw 4380 df-sn 4398 df-pr 4400 df-tp 4402 df-op 4404 df-uni 4672 df-int 4711 df-iun 4755 df-br 4887 df-opab 4949 df-mpt 4966 df-tr 4988 df-id 5261 df-eprel 5266 df-po 5274 df-so 5275 df-fr 5314 df-se 5315 df-we 5316 df-xp 5361 df-rel 5362 df-cnv 5363 df-co 5364 df-dm 5365 df-rn 5366 df-res 5367 df-ima 5368 df-pred 5933 df-ord 5979 df-on 5980 df-lim 5981 df-suc 5982 df-iota 6099 df-fun 6137 df-fn 6138 df-f 6139 df-f1 6140 df-fo 6141 df-f1o 6142 df-fv 6143 df-isom 6144 df-riota 6883 df-ov 6925 df-oprab 6926 df-mpt2 6927 df-om 7344 df-1st 7445 df-2nd 7446 df-wrecs 7689 df-recs 7751 df-rdg 7789 df-1o 7843 df-oadd 7847 df-er 8026 df-en 8242 df-dom 8243 df-sdom 8244 df-fin 8245 df-sup 8636 df-oi 8704 df-card 9098 df-pnf 10413 df-mnf 10414 df-xr 10415 df-ltxr 10416 df-le 10417 df-sub 10608 df-neg 10609 df-div 11033 df-nn 11375 df-2 11438 df-3 11439 df-4 11440 df-n0 11643 df-z 11729 df-uz 11993 df-rp 12138 df-fz 12644 df-fzo 12785 df-seq 13120 df-exp 13179 df-hash 13436 df-cj 14246 df-re 14247 df-im 14248 df-sqrt 14382 df-abs 14383 df-clim 14627 df-sum 14825 df-grpo 27920 df-ablo 27972 df-vc 27986 df-nv 28019 df-va 28022 df-ba 28023 df-sm 28024 df-0v 28025 df-nmcv 28027 df-dip 28128 df-ph 28240

This theorem is referenced by: ip1i 28254

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