Proof of Theorem ip1ilem
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ip1i.9 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑈 ∈
CPreHilOLD |
2 | 1 | phnvi 28897 |
. . . . . 6
⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec |
3 | | ip1i.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 ∈ 𝑋 |
4 | | ip1i.c |
. . . . . 6
⊢ 𝐶 ∈ 𝑋 |
5 | | ip1i.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈) |
6 | | ip1i.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 = ( +𝑣
‘𝑈) |
7 | | ip1i.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑆 = (
·𝑠OLD ‘𝑈) |
8 | | ip1i.6 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑁 =
(normCV‘𝑈) |
9 | | ip1i.7 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 =
(·𝑖OLD‘𝑈) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 28789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
11 | 2, 3, 4, 10 | mp3an 1463 |
. . . . 5
⊢ (4
· (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
12 | 11 | oveq2i 7224 |
. . . 4
⊢ (2
· (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
13 | | 2cn 11905 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℂ |
14 | | 4cn 11915 |
. . . . 5
⊢ 4 ∈
ℂ |
15 | 5, 9 | dipcl 28793 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
16 | 2, 3, 4, 15 | mp3an 1463 |
. . . . 5
⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ |
17 | 13, 14, 16 | mul12i 11027 |
. . . 4
⊢ (2
· (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) |
18 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
19 | 2, 3, 4, 18 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
20 | 5, 8, 2, 19 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
21 | 20 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
22 | 21 | recni 10847 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
23 | | ax-1cn 10787 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
24 | 23 | negcli 11146 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ -1 ∈
ℂ |
25 | 5, 7 | nvscl 28707 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
26 | 2, 24, 4, 25 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
27 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
28 | 2, 3, 26, 27 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
29 | 5, 8, 2, 28 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
30 | 29 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
31 | 30 | recni 10847 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
32 | 22, 31 | subcli 11154 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
33 | | ax-icn 10788 |
. . . . . . . 8
⊢ i ∈
ℂ |
34 | 5, 7 | nvscl 28707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
35 | 2, 33, 4, 34 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
36 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
37 | 2, 3, 35, 36 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
38 | 5, 8, 2, 37 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
39 | 38 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
40 | 39 | recni 10847 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
41 | 33 | negcli 11146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ -i ∈
ℂ |
42 | 5, 7 | nvscl 28707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
43 | 2, 41, 4, 42 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
44 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
45 | 2, 3, 43, 44 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
46 | 5, 8, 2, 45 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
47 | 46 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
48 | 47 | recni 10847 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
49 | 40, 48 | subcli 11154 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
50 | 33, 49 | mulcli 10840 |
. . . . . . 7
⊢ (i
· (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
51 | 13, 32, 50 | adddii 10845 |
. . . . . 6
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
52 | | ip1i.b |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐵 ∈ 𝑋 |
53 | 5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23 | ip0i 28906 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
54 | 5, 7 | nvsid 28708 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐶) = 𝐶) |
55 | 2, 4, 54 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1𝑆𝐶) = 𝐶 |
56 | 55 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) |
57 | 56 | fveq2i 6720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) |
58 | 57 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) |
59 | 58 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
60 | 55 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) |
61 | 60 | fveq2i 6720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) |
62 | 61 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) |
63 | 62 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
64 | 59, 63 | oveq12i 7225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
65 | 55 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(1𝑆𝐶)) = (𝐴𝐺𝐶) |
66 | 65 | fveq2i 6720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) |
67 | 66 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) |
68 | 67 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
69 | 68 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
70 | 53, 64, 69 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
71 | 5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33 | ip0i 28906 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) |
72 | 71 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (i · (2 ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
73 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) |
74 | 2, 3, 52, 73 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 |
75 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
76 | 2, 74, 35, 75 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
77 | 5, 8, 2, 76 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
78 | 77 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
79 | 78 | recni 10847 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
80 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
81 | 2, 74, 43, 80 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
82 | 5, 8, 2, 81 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
83 | 82 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
84 | 83 | recni 10847 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
85 | 79, 84 | subcli 11154 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
86 | 5, 7 | nvscl 28707 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈
ℂ ∧ 𝐵 ∈
𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) |
87 | 2, 24, 52, 86 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 |
88 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) |
89 | 2, 3, 87, 88 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 |
90 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
91 | 2, 89, 35, 90 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
92 | 5, 8, 2, 91 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
93 | 92 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
94 | 93 | recni 10847 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
95 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
96 | 2, 89, 43, 95 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
97 | 5, 8, 2, 96 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
98 | 97 | resqcli 13755 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
99 | 98 | recni 10847 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
100 | 94, 99 | subcli 11154 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
101 | 33, 85, 100 | adddii 10845 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
102 | 33, 13, 49 | mul12i 11027 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
103 | 72, 101, 102 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
104 | 70, 103 | oveq12i 7225 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
105 | 51, 104 | eqtr4i 2768 |
. . . . 5
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
106 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
107 | 2, 74, 4, 106 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
108 | 5, 8, 2, 107 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
109 | 108 | resqcli 13755 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
110 | 109 | recni 10847 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
111 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
112 | 2, 74, 26, 111 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
113 | 5, 8, 2, 112 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
114 | 113 | resqcli 13755 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
115 | 114 | recni 10847 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
116 | 110, 115 | subcli 11154 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
117 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
118 | 2, 89, 4, 117 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
119 | 5, 8, 2, 118 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
120 | 119 | resqcli 13755 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
121 | 120 | recni 10847 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
122 | 5, 6 | nvgcl 28701 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
123 | 2, 89, 26, 122 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
124 | 5, 8, 2, 123 | nvcli 28743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
125 | 124 | resqcli 13755 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
126 | 125 | recni 10847 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
127 | 121, 126 | subcli 11154 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
128 | 33, 85 | mulcli 10840 |
. . . . . 6
⊢ (i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
129 | 33, 100 | mulcli 10840 |
. . . . . 6
⊢ (i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
130 | 116, 127,
128, 129 | add4i 11056 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
131 | 5, 9 | dipcl 28793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
132 | 2, 74, 4, 131 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ |
133 | 5, 9 | dipcl 28793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
134 | 2, 89, 4, 133 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ |
135 | 14, 132, 134 | adddii 10845 |
. . . . . 6
⊢ (4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
136 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 28789 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
137 | 2, 74, 4, 136 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ (4
· ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
138 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 28789 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
139 | 2, 89, 4, 138 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ (4
· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
140 | 137, 139 | oveq12i 7225 |
. . . . . 6
⊢ ((4
· ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
141 | 135, 140 | eqtr2i 2766 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
142 | 105, 130,
141 | 3eqtri 2769 |
. . . 4
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
143 | 12, 17, 142 | 3eqtr3ri 2774 |
. . 3
⊢ (4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) |
144 | 143 | oveq1i 7223 |
. 2
⊢ ((4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) |
145 | 132, 134 | addcli 10839 |
. . 3
⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) ∈ ℂ |
146 | | 4ne0 11938 |
. . 3
⊢ 4 ≠
0 |
147 | 145, 14, 146 | divcan3i 11578 |
. 2
⊢ ((4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) |
148 | 13, 16 | mulcli 10840 |
. . 3
⊢ (2
· (𝐴𝑃𝐶)) ∈ ℂ |
149 | 148, 14, 146 | divcan3i 11578 |
. 2
⊢ ((4
· (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) = (2 · (𝐴𝑃𝐶)) |
150 | 144, 147,
149 | 3eqtr3i 2773 |
1
⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶)) |