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Theorem ip1ilem 28907

Description: Lemma for ip1i 28908. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
ip1i.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ip1i.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ip1i.c	⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
ip1i.6	⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
ip0i.j	⊢ 𝐽 ∈ ℂ

**Assertion**
Ref	Expression
ip1ilem	⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))

**Proof of Theorem ip1ilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHil_OLD
2	1	phnvi 28897	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
3		ip1i.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
4		ip1i.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ∈ 𝑋
5		ip1i.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6		ip1i.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ( +_𝑣 ‘𝑈)
7		ip1i.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ( ·_𝑠OLD ‘𝑈)
8		ip1i.6	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (norm_CV‘𝑈)
9		ip1i.7	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (·_𝑖OLD‘𝑈)
10	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
11	2, 3, 4, 10	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
12	11	oveq2i 7224	. . . 4 ⊢ (2 · (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
13		2cn 11905	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		4cn 11915	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℂ
15	5, 9	dipcl 28793	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ)
16	2, 3, 4, 15	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ
17	13, 14, 16	mul12i 11027	. . . 4 ⊢ (2 · (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶)))
18	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
19	2, 3, 4, 18	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋
20	5, 8, 2, 19	nvcli 28743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) ∈ ℝ
21	20	resqcli 13755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
22	21	recni 10847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
23		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	negcli 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℂ
25	5, 7	nvscl 28707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26	2, 24, 4, 25	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋
27	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
28	2, 3, 26, 27	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
29	5, 8, 2, 28	nvcli 28743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
30	29	resqcli 13755	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
31	30	recni 10847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
32	22, 31	subcli 11154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
33		ax-icn 10788	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
34	5, 7	nvscl 28707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
35	2, 33, 4, 34	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋
36	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
38	5, 8, 2, 37	nvcli 28743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
39	38	resqcli 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
40	39	recni 10847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
41	33	negcli 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -i ∈ ℂ
42	5, 7	nvscl 28707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
43	2, 41, 4, 42	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋
44	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
45	2, 3, 43, 44	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
46	5, 8, 2, 45	nvcli 28743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
47	46	resqcli 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
48	47	recni 10847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
49	40, 48	subcli 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
50	33, 49	mulcli 10840	. . . . . . 7 ⊢ (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
51	13, 32, 50	adddii 10845	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
52		ip1i.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
53	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23	ip0i 28906	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
54	5, 7	nvsid 28708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐶) = 𝐶)
55	2, 4, 54	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1𝑆𝐶) = 𝐶
56	55	oveq2i 7224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)
57	56	fveq2i 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))
58	57	oveq1i 7223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2)
59	58	oveq1i 7223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
60	55	oveq2i 7224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)
61	60	fveq2i 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))
62	61	oveq1i 7223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2)
63	62	oveq1i 7223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
64	59, 63	oveq12i 7225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
65	55	oveq2i 7224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴𝐺(1𝑆𝐶)) = (𝐴𝐺𝐶)
66	65	fveq2i 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))
67	66	oveq1i 7223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2)
68	67	oveq1i 7223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))
69	68	oveq2i 7224	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
70	53, 64, 69	3eqtr3i 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)))
71	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33	ip0i 28906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))
72	71	oveq2i 7224	. . . . . . . 8 ⊢ (i · ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (i · (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
73	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
74	2, 3, 52, 73	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋
75	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
76	2, 74, 35, 75	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
77	5, 8, 2, 76	nvcli 28743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
78	77	resqcli 13755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
79	78	recni 10847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
80	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
81	2, 74, 43, 80	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
82	5, 8, 2, 81	nvcli 28743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
83	82	resqcli 13755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
84	83	recni 10847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
85	79, 84	subcli 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
86	5, 7	nvscl 28707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
87	2, 24, 52, 86	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋
88	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
89	2, 3, 87, 88	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋
90	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
91	2, 89, 35, 90	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
92	5, 8, 2, 91	nvcli 28743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
93	92	resqcli 13755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
94	93	recni 10847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
95	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
96	2, 89, 43, 95	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
97	5, 8, 2, 96	nvcli 28743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ
98	97	resqcli 13755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
99	98	recni 10847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
100	94, 99	subcli 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
101	33, 85, 100	adddii 10845	. . . . . . . 8 ⊢ (i · ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
102	33, 13, 49	mul12i 11027	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
103	72, 101, 102	3eqtr3i 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
104	70, 103	oveq12i 7225	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
105	51, 104	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
106	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
107	2, 74, 4, 106	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋
108	5, 8, 2, 107	nvcli 28743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) ∈ ℝ
109	108	resqcli 13755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
110	109	recni 10847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
111	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
112	2, 74, 26, 111	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
113	5, 8, 2, 112	nvcli 28743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
114	113	resqcli 13755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
115	114	recni 10847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
116	110, 115	subcli 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
117	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋)
118	2, 89, 4, 117	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋
119	5, 8, 2, 118	nvcli 28743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) ∈ ℝ
120	119	resqcli 13755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ
121	120	recni 10847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ
122	5, 6	nvgcl 28701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋)
123	2, 89, 26, 122	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋
124	5, 8, 2, 123	nvcli 28743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ
125	124	resqcli 13755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ
126	125	recni 10847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ
127	121, 126	subcli 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
128	33, 85	mulcli 10840	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
129	33, 100	mulcli 10840	. . . . . 6 ⊢ (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈ ℂ
130	116, 127, 128, 129	add4i 11056	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
131	5, 9	dipcl 28793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ)
132	2, 74, 4, 131	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ
133	5, 9	dipcl 28793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ)
134	2, 89, 4, 133	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ
135	14, 132, 134	adddii 10845	. . . . . 6 ⊢ (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
136	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
137	2, 74, 4, 136	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
138	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 28789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
139	2, 89, 4, 138	mp3an 1463	. . . . . . 7 ⊢ (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))
140	137, 139	oveq12i 7225	. . . . . 6 ⊢ ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))))
141	135, 140	eqtr2i 2766	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
142	105, 130, 141	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)))
143	12, 17, 142	3eqtr3ri 2774	. . 3 ⊢ (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶)))
144	143	oveq1i 7223	. 2 ⊢ ((4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4)
145	132, 134	addcli 10839	. . 3 ⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) ∈ ℂ
146		4ne0 11938	. . 3 ⊢ 4 ≠ 0
147	145, 14, 146	divcan3i 11578	. 2 ⊢ ((4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))
148	13, 16	mulcli 10840	. . 3 ⊢ (2 · (𝐴𝑃𝐶)) ∈ ℂ
149	148, 14, 146	divcan3i 11578	. 2 ⊢ ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))
150	144, 147, 149	3eqtr3i 2773	1 ⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 ℂcc 10727 1c1 10730 ici 10731 + caddc 10732 · cmul 10734 − cmin 11062 -cneg 11063 / cdiv 11489 2c2 11885 4c4 11887 ↑cexp 13635 NrmCVeccnv 28665 +_𝑣 cpv 28666 BaseSetcba 28667 ·_𝑠OLD cns 28668 norm_CVcnmcv 28671 ·_𝑖OLDcdip 28781 CPreHil_OLDccphlo 28893

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-rep 5179 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-inf2 9256 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806 ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rmo 3069 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-int 4860 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-se 5510 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-isom 6389 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-1o 8202 df-er 8391 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-fin 8630 df-sup 9058 df-oi 9126 df-card 9555 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-div 11490 df-nn 11831 df-2 11893 df-3 11894 df-4 11895 df-n0 12091 df-z 12177 df-uz 12439 df-rp 12587 df-fz 13096 df-fzo 13239 df-seq 13575 df-exp 13636 df-hash 13897 df-cj 14662 df-re 14663 df-im 14664 df-sqrt 14798 df-abs 14799 df-clim 15049 df-sum 15250 df-grpo 28574 df-ablo 28626 df-vc 28640 df-nv 28673 df-va 28676 df-ba 28677 df-sm 28678 df-0v 28679 df-nmcv 28681 df-dip 28782 df-ph 28894

This theorem is referenced by: ip1i 28908

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