MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip1ilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip1ilem 30656
Description: Lemma for ip1i 30657. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ip1i.a 𝐴 ∈ 𝑋
ip1i.b 𝐡 ∈ 𝑋
ip1i.c 𝐢 ∈ 𝑋
ip1i.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
ip0i.j 𝐽 ∈ β„‚
Assertion
Ref Expression
ip1ilem (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐢))

Proof of Theorem ip1ilem
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
21phnvi 30646 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
3 ip1i.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
4 ip1i.c . . . . . 6 𝐢 ∈ 𝑋
5 ip1i.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
6 ip1i.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
7 ip1i.4 . . . . . . 7 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
8 ip1i.6 . . . . . . 7 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
9 ip1i.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
105, 6, 7, 8, 94ipval2 30538 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· (𝐴𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
112, 3, 4, 10mp3an 1457 . . . . 5 (4 Β· (𝐴𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
1211oveq2i 7437 . . . 4 (2 Β· (4 Β· (𝐴𝑃𝐢))) = (2 Β· ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
13 2cn 12325 . . . . 5 2 ∈ β„‚
14 4cn 12335 . . . . 5 4 ∈ β„‚
155, 9dipcl 30542 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐢) ∈ β„‚)
162, 3, 4, 15mp3an 1457 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐢) ∈ β„‚
1713, 14, 16mul12i 11447 . . . 4 (2 Β· (4 Β· (𝐴𝑃𝐢))) = (4 Β· (2 Β· (𝐴𝑃𝐢)))
185, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
192, 3, 4, 18mp3an 1457 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐺𝐢) ∈ 𝑋
205, 8, 2, 19nvcli 30492 . . . . . . . . . 10 (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢)) ∈ ℝ
2120resqcli 14189 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) ∈ ℝ
2221recni 11266 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) ∈ β„‚
23 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ β„‚
2423negcli 11566 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
255, 7nvscl 30456 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
262, 24, 4, 25mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋
275, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
282, 3, 26, 27mp3an 1457 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
295, 8, 2, 28nvcli 30492 . . . . . . . . . 10 (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢))) ∈ ℝ
3029resqcli 14189 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
3130recni 11266 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
3222, 31subcli 11574 . . . . . . 7 (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
33 ax-icn 11205 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
345, 7nvscl 30456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ i ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (i𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
352, 33, 4, 34mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (i𝑆𝐢) ∈ 𝑋
365, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
372, 3, 35, 36mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
385, 8, 2, 37nvcli 30492 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
3938resqcli 14189 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
4039recni 11266 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
4133negcli 11566 . . . . . . . . . . . . . 14 -i ∈ β„‚
425, 7nvscl 30456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-i𝑆𝐢) ∈ 𝑋)
432, 41, 4, 42mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 (-i𝑆𝐢) ∈ 𝑋
445, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
452, 3, 43, 44mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
465, 8, 2, 45nvcli 30492 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
4746resqcli 14189 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
4847recni 11266 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
4940, 48subcli 11574 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
5033, 49mulcli 11259 . . . . . . 7 (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) ∈ β„‚
5113, 32, 50adddii 11264 . . . . . 6 (2 Β· ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = ((2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) + (2 Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
52 ip1i.b . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ 𝑋
535, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23ip0i 30655 . . . . . . . 8 ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)))
545, 7nvsid 30457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (1𝑆𝐢) = 𝐢)
552, 4, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (1𝑆𝐢) = 𝐢
5655oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢)) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢)
5756fveq2i 6905 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))
5857oveq1i 7436 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) = ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2)
5958oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) = (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))
6055oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢)
6160fveq2i 6905 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢))) = (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))
6261oveq1i 7436 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) = ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2)
6362oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) = (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))
6459, 63oveq12i 7438 . . . . . . . 8 ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) = ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)))
6555oveq2i 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐺(1𝑆𝐢)) = (𝐴𝐺𝐢)
6665fveq2i 6905 . . . . . . . . . . 11 (π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐢))) = (π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))
6766oveq1i 7436 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) = ((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2)
6867oveq1i 7436 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) = (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))
6968oveq2i 7437 . . . . . . . 8 (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(1𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)))
7053, 64, 693eqtr3i 2764 . . . . . . 7 ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)))
715, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33ip0i 30655 . . . . . . . . 9 ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) = (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))
7271oveq2i 7437 . . . . . . . 8 (i Β· ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) = (i Β· (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
735, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
742, 3, 52, 73mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋
755, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
762, 74, 35, 75mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
775, 8, 2, 76nvcli 30492 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
7877resqcli 14189 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
7978recni 11266 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
805, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
812, 74, 43, 80mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
825, 8, 2, 81nvcli 30492 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
8382resqcli 14189 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
8483recni 11266 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
8579, 84subcli 11574 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
865, 7nvscl 30456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋)
872, 24, 52, 86mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋
885, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐡) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋)
892, 3, 87, 88mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋
905, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
912, 89, 35, 90mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
925, 8, 2, 91nvcli 30492 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
9392resqcli 14189 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
9493recni 11266 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
955, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
962, 89, 43, 95mp3an 1457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
975, 8, 2, 96nvcli 30492 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢))) ∈ ℝ
9897resqcli 14189 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
9998recni 11266 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
10094, 99subcli 11574 . . . . . . . . 9 (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
10133, 85, 100adddii 11264 . . . . . . . 8 (i Β· ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) = ((i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
10233, 13, 49mul12i 11447 . . . . . . . 8 (i Β· (2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) = (2 Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
10372, 101, 1023eqtr3i 2764 . . . . . . 7 ((i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) = (2 Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
10470, 103oveq12i 7438 . . . . . 6 (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) + ((i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = ((2 Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) + (2 Β· (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
10551, 104eqtr4i 2759 . . . . 5 (2 Β· ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) + ((i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
1065, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
1072, 74, 4, 106mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢) ∈ 𝑋
1085, 8, 2, 107nvcli 30492 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢)) ∈ ℝ
109108resqcli 14189 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) ∈ ℝ
110109recni 11266 . . . . . . 7 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) ∈ β„‚
1115, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
1122, 74, 26, 111mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
1135, 8, 2, 112nvcli 30492 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢))) ∈ ℝ
114113resqcli 14189 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
115114recni 11266 . . . . . . 7 ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
116110, 115subcli 11574 . . . . . 6 (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
1175, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢) ∈ 𝑋)
1182, 89, 4, 117mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢) ∈ 𝑋
1195, 8, 2, 118nvcli 30492 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢)) ∈ ℝ
120119resqcli 14189 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) ∈ ℝ
121120recni 11266 . . . . . . 7 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) ∈ β„‚
1225, 6nvgcl 30450 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐢) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋)
1232, 89, 26, 122mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)) ∈ 𝑋
1245, 8, 2, 123nvcli 30492 . . . . . . . . 9 (π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢))) ∈ ℝ
125124resqcli 14189 . . . . . . . 8 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ ℝ
126125recni 11266 . . . . . . 7 ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2) ∈ β„‚
127121, 126subcli 11574 . . . . . 6 (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) ∈ β„‚
12833, 85mulcli 11259 . . . . . 6 (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) ∈ β„‚
12933, 100mulcli 11259 . . . . . 6 (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) ∈ β„‚
130116, 127, 128, 129add4i 11476 . . . . 5 (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2))) + ((i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) + ((((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
1315, 9dipcl 30542 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) ∈ β„‚)
1322, 74, 4, 131mp3an 1457 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) ∈ β„‚
1335, 9dipcl 30542 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢) ∈ β„‚)
1342, 89, 4, 133mp3an 1457 . . . . . . 7 ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢) ∈ β„‚
13514, 132, 134adddii 11264 . . . . . 6 (4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))) = ((4 Β· ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢)) + (4 Β· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)))
1365, 6, 7, 8, 94ipval2 30538 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
1372, 74, 4, 136mp3an 1457 . . . . . . 7 (4 Β· ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
1385, 6, 7, 8, 94ipval2 30538 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (4 Β· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
1392, 89, 4, 138mp3an 1457 . . . . . . 7 (4 Β· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)) = ((((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))
140137, 139oveq12i 7438 . . . . . 6 ((4 Β· ((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢)) + (4 Β· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))) = (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) + ((((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))))
141135, 140eqtr2i 2757 . . . . 5 (((((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2)))) + ((((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = (4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)))
142105, 130, 1413eqtri 2760 . . . 4 (2 Β· ((((π‘β€˜(𝐴𝐺𝐢))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐢)))↑2)) + (i Β· (((π‘β€˜(𝐴𝐺(i𝑆𝐢)))↑2) βˆ’ ((π‘β€˜(𝐴𝐺(-i𝑆𝐢)))↑2))))) = (4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)))
14312, 17, 1423eqtr3ri 2765 . . 3 (4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))) = (4 Β· (2 Β· (𝐴𝑃𝐢)))
144143oveq1i 7436 . 2 ((4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))) / 4) = ((4 Β· (2 Β· (𝐴𝑃𝐢))) / 4)
145132, 134addcli 11258 . . 3 (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)) ∈ β„‚
146 4ne0 12358 . . 3 4 β‰  0
147145, 14, 146divcan3i 11998 . 2 ((4 Β· (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))) / 4) = (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢))
14813, 16mulcli 11259 . . 3 (2 Β· (𝐴𝑃𝐢)) ∈ β„‚
149148, 14, 146divcan3i 11998 . 2 ((4 Β· (2 Β· (𝐴𝑃𝐢))) / 4) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐢))
150144, 147, 1493eqtr3i 2764 1 (((𝐴𝐺𝐡)𝑃𝐢) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))𝑃𝐢)) = (2 Β· (𝐴𝑃𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   Β· cmul 11151   βˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  4c4 12307  β†‘cexp 14066  NrmCVeccnv 30414   +𝑣 cpv 30415  BaseSetcba 30416   ·𝑠OLD cns 30417  normCVcnmcv 30420  Β·π‘–OLDcdip 30530  CPreHilOLDccphlo 30642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673  df-grpo 30323  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-nmcv 30430  df-dip 30531  df-ph 30643
This theorem is referenced by:  ip1i  30657
  Copyright terms: Public domain W3C validator