Proof of Theorem ip1ilem
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ip1i.9 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑈 ∈
CPreHilOLD |
| 2 | 1 | phnvi 30835 |
. . . . . 6
⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec |
| 3 | | ip1i.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 ∈ 𝑋 |
| 4 | | ip1i.c |
. . . . . 6
⊢ 𝐶 ∈ 𝑋 |
| 5 | | ip1i.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈) |
| 6 | | ip1i.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐺 = ( +𝑣
‘𝑈) |
| 7 | | ip1i.4 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑆 = (
·𝑠OLD ‘𝑈) |
| 8 | | ip1i.6 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑁 =
(normCV‘𝑈) |
| 9 | | ip1i.7 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑃 =
(·𝑖OLD‘𝑈) |
| 10 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 30727 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 11 | 2, 3, 4, 10 | mp3an 1463 |
. . . . 5
⊢ (4
· (𝐴𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 12 | 11 | oveq2i 7442 |
. . . 4
⊢ (2
· (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (2 · ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 13 | | 2cn 12341 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 14 | | 4cn 12351 |
. . . . 5
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 15 | 5, 9 | dipcl 30731 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
| 16 | 2, 3, 4, 15 | mp3an 1463 |
. . . . 5
⊢ (𝐴𝑃𝐶) ∈ ℂ |
| 17 | 13, 14, 16 | mul12i 11456 |
. . . 4
⊢ (2
· (4 · (𝐴𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) |
| 18 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
| 19 | 2, 3, 4, 18 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
| 20 | 5, 8, 2, 19 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
| 21 | 20 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
| 22 | 21 | recni 11275 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
| 23 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 24 | 23 | negcli 11577 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ -1 ∈
ℂ |
| 25 | 5, 7 | nvscl 30645 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
| 26 | 2, 24, 4, 25 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
| 27 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 28 | 2, 3, 26, 27 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 29 | 5, 8, 2, 28 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 30 | 29 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 31 | 30 | recni 11275 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 32 | 22, 31 | subcli 11585 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 33 | | ax-icn 11214 |
. . . . . . . 8
⊢ i ∈
ℂ |
| 34 | 5, 7 | nvscl 30645 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
| 35 | 2, 33, 4, 34 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
| 36 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 37 | 2, 3, 35, 36 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 38 | 5, 8, 2, 37 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 39 | 38 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 40 | 39 | recni 11275 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 41 | 33 | negcli 11577 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ -i ∈
ℂ |
| 42 | 5, 7 | nvscl 30645 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈
ℂ ∧ 𝐶 ∈
𝑋) → (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) |
| 43 | 2, 41, 4, 42 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋 |
| 44 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 45 | 2, 3, 43, 44 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 46 | 5, 8, 2, 45 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 47 | 46 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 48 | 47 | recni 11275 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 49 | 40, 48 | subcli 11585 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 50 | 33, 49 | mulcli 11268 |
. . . . . . 7
⊢ (i
· (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
| 51 | 13, 32, 50 | adddii 11273 |
. . . . . 6
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 52 | | ip1i.b |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐵 ∈ 𝑋 |
| 53 | 5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23 | ip0i 30844 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
| 54 | 5, 7 | nvsid 30646 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐶) = 𝐶) |
| 55 | 2, 4, 54 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (1𝑆𝐶) = 𝐶 |
| 56 | 55 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) |
| 57 | 56 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) |
| 58 | 57 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) |
| 59 | 58 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
| 60 | 55 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)) = ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) |
| 61 | 60 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) |
| 62 | 61 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) |
| 63 | 62 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
| 64 | 59, 63 | oveq12i 7443 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
| 65 | 55 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴𝐺(1𝑆𝐶)) = (𝐴𝐺𝐶) |
| 66 | 65 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶))) = (𝑁‘(𝐴𝐺𝐶)) |
| 67 | 66 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) |
| 68 | 67 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) |
| 69 | 68 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . 8
⊢ (2
· (((𝑁‘(𝐴𝐺(1𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
| 70 | 53, 64, 69 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) |
| 71 | 5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33 | ip0i 30844 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) |
| 72 | 71 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (i · (2 ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 73 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋) |
| 74 | 2, 3, 52, 73 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 |
| 75 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 76 | 2, 74, 35, 75 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 77 | 5, 8, 2, 76 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 78 | 77 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 79 | 78 | recni 11275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 80 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 81 | 2, 74, 43, 80 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 82 | 5, 8, 2, 81 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 83 | 82 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 84 | 83 | recni 11275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 85 | 79, 84 | subcli 11585 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 86 | 5, 7 | nvscl 30645 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈
ℂ ∧ 𝐵 ∈
𝑋) → (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) |
| 87 | 2, 24, 52, 86 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋 |
| 88 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) |
| 89 | 2, 3, 87, 88 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 |
| 90 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 91 | 2, 89, 35, 90 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 92 | 5, 8, 2, 91 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 93 | 92 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 94 | 93 | recni 11275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 95 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-i𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 96 | 2, 89, 43, 95 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 97 | 5, 8, 2, 96 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 98 | 97 | resqcli 14225 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 99 | 98 | recni 11275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 100 | 94, 99 | subcli 11585 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 101 | 33, 85, 100 | adddii 11273 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 102 | 33, 13, 49 | mul12i 11456 |
. . . . . . . 8
⊢ (i
· (2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 103 | 72, 101, 102 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) = (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 104 | 70, 103 | oveq12i 7443 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = ((2 · (((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + (2 · (i ·
(((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 105 | 51, 104 | eqtr4i 2768 |
. . . . 5
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 106 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
| 107 | 2, 74, 4, 106 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
| 108 | 5, 8, 2, 107 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
| 109 | 108 | resqcli 14225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
| 110 | 109 | recni 11275 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
| 111 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 112 | 2, 74, 26, 111 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 113 | 5, 8, 2, 112 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 114 | 113 | resqcli 14225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 115 | 114 | recni 11275 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 116 | 110, 115 | subcli 11585 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 117 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋) |
| 118 | 2, 89, 4, 117 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶) ∈ 𝑋 |
| 119 | 5, 8, 2, 118 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶)) ∈ ℝ |
| 120 | 119 | resqcli 14225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℝ |
| 121 | 120 | recni 11275 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) ∈ ℂ |
| 122 | 5, 6 | nvgcl 30639 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋) |
| 123 | 2, 89, 26, 122 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)) ∈ 𝑋 |
| 124 | 5, 8, 2, 123 | nvcli 30681 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶))) ∈ ℝ |
| 125 | 124 | resqcli 14225 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℝ |
| 126 | 125 | recni 11275 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2) ∈ ℂ |
| 127 | 121, 126 | subcli 11585 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) ∈ ℂ |
| 128 | 33, 85 | mulcli 11268 |
. . . . . 6
⊢ (i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
| 129 | 33, 100 | mulcli 11268 |
. . . . . 6
⊢ (i
· (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) ∈
ℂ |
| 130 | 116, 127,
128, 129 | add4i 11486 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2))) + ((i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 131 | 5, 9 | dipcl 30731 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
| 132 | 2, 74, 4, 131 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) ∈ ℂ |
| 133 | 5, 9 | dipcl 30731 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ) |
| 134 | 2, 89, 4, 133 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶) ∈ ℂ |
| 135 | 14, 132, 134 | adddii 11273 |
. . . . . 6
⊢ (4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = ((4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
| 136 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 30727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 137 | 2, 74, 4, 136 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ (4
· ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 138 | 5, 6, 7, 8, 9 | 4ipval2 30727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 139 | 2, 89, 4, 138 | mp3an 1463 |
. . . . . . 7
⊢ (4
· ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) |
| 140 | 137, 139 | oveq12i 7443 |
. . . . . 6
⊢ ((4
· ((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶)) + (4 · ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) |
| 141 | 135, 140 | eqtr2i 2766 |
. . . . 5
⊢
(((((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2)))) + ((((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
| 142 | 105, 130,
141 | 3eqtri 2769 |
. . . 4
⊢ (2
· ((((𝑁‘(𝐴𝐺𝐶))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐶)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐶)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴𝐺(-i𝑆𝐶)))↑2))))) = (4 · (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) |
| 143 | 12, 17, 142 | 3eqtr3ri 2774 |
. . 3
⊢ (4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) = (4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) |
| 144 | 143 | oveq1i 7441 |
. 2
⊢ ((4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = ((4 · (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) |
| 145 | 132, 134 | addcli 11267 |
. . 3
⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) ∈ ℂ |
| 146 | | 4ne0 12374 |
. . 3
⊢ 4 ≠
0 |
| 147 | 145, 14, 146 | divcan3i 12013 |
. 2
⊢ ((4
· (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶))) / 4) = (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) |
| 148 | 13, 16 | mulcli 11268 |
. . 3
⊢ (2
· (𝐴𝑃𝐶)) ∈ ℂ |
| 149 | 148, 14, 146 | divcan3i 12013 |
. 2
⊢ ((4
· (2 · (𝐴𝑃𝐶))) / 4) = (2 · (𝐴𝑃𝐶)) |
| 150 | 144, 147,
149 | 3eqtr3i 2773 |
1
⊢ (((𝐴𝐺𝐵)𝑃𝐶) + ((𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))𝑃𝐶)) = (2 · (𝐴𝑃𝐶)) |