Theorem tanatan 27137

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 27099	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		2efiatan 27136	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
3	2	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4		2mulicn 12485	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6		atandm 27094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
7	6	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8		ax-icn 11176	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
9		addcl 11199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11		subneg 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
12	7, 8, 11	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
13	6	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
14	8	negcli 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
15		subeq0 11501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
16	15	necon3bid 3004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
17	7, 14, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
18	13, 17	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
19	12, 18	eqnetrrd 3028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
20	5, 10, 19	divcld 12008	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11175	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		npcan 11483	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
24	3, 23	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25		2muline0 12486	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
27	5, 10, 26, 19	divne0d 12024	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
28	24, 27	eqnetrd 3027	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29		tanval3 16214	. . 3 ⊢ (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
30	1, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
31	2	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
32	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
33	20, 32, 32	subsub4d 11617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34		df-2 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	oveq2i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
36	33, 35	eqtr4di 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
37	31, 36	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38		2cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		mulcl 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
40	38, 10, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
41	5, 40, 10, 19	divsubdird 12047	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42		mulneg12 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
43	38, 7, 42	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44		negsub 11523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
45	8, 7, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
46	45	oveq1d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
47	7	negcld 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48		pncan2 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
49	8, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
50	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
51	50, 7, 50	subsub4d 11617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
53	52	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
54	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
55	54, 50, 10	subdid 11687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
56	43, 53, 55	3eqtr2rd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
57	56	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
58	54, 10, 19	divcan4d 12014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
59	58	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
60	41, 57, 59	3eqtr3d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
61	37, 60	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
62	24	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
63	8, 38, 8	mul12i 11422	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64		ixi 11860	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
65	64	oveq2i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (i · i)) = (2 · -1)
66	21	negcli 11543	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
67	38	mulm1i 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · 2) = -2
68	66, 38, 67	mulcomli 11235	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · -1) = -2
69	63, 65, 68	3eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · i)) = -2
70	69	oveq1i 7429	. . . . . 6 ⊢ ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
71	50, 5, 10, 19	divassd 12043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
72	70, 71	eqtr3id 2814	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
73	62, 72	eqtr4d 2803	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
74	61, 73	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
75	38	negcli 11543	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℂ
76		mulcl 11201	. . . . . 6 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
77	75, 7, 76	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79		2ne0 12364	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
80	38, 79	negne0i 11550	. . . . . 6 ⊢ -2 ≠ 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
82	77, 78, 10, 81, 19	divcan7d 12036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
83	7, 78, 81	divcan3d 12013	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
84	82, 83	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
85	74, 84	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
86	30, 85	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   + caddc 11120   · cmul 11122   − cmin 11458  -cneg 11459   / cdiv 11888  2c2 12312  expce 16139  tanctan 16143  arctancatan 27082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195  ax-addf 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16145  df-sin 16147  df-cos 16148  df-tan 16149  df-pi 16150  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-starv 17349  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-ip 17352  df-tset 17353  df-ple 17354  df-ds 17356  df-unif 17357  df-hom 17358  df-cco 17359  df-rest 17499  df-topn 17500  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-topgen 17520  df-pt 17521  df-prds 17524  df-xrs 17580  df-qtop 17585  df-imas 17586  df-xps 17588  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-fbas 21571  df-fg 21572  df-cnfld 21575  df-top 23103  df-topon 23120  df-topsp 23142  df-bases 23155  df-cld 23228  df-ntr 23229  df-cls 23230  df-nei 23307  df-lp 23345  df-perf 23346  df-cn 23436  df-cnp 23437  df-haus 23524  df-tx 23772  df-hmeo 23965  df-fil 24056  df-fm 24148  df-flim 24149  df-flf 24150  df-xms 24530  df-ms 24531  df-tms 24532  df-cncf 25090  df-limc 26078  df-dv 26079  df-log 26774  df-atan 27085

This theorem is used by:  atantanb  27142  atanord  27145