MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 26648
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 26610 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 2efiatan 26647 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
32oveq1d 7426 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1))
4 2mulicn 12439 . . . . . . . 8 (2 Β· i) ∈ β„‚
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
6 atandm 26605 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
76simp1bi 1145 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 ax-icn 11171 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
9 addcl 11194 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
107, 8, 9sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
11 subneg 11513 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1146 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 β‰  -i)
148negcli 11532 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
15 subeq0 11490 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 2985 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
177, 14, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
1813, 17mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) β‰  0)
1912, 18eqnetrrd 3009 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) β‰  0)
205, 10, 19divcld 11994 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
21 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
22 npcan 11473 . . . . . 6 ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 586 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2772 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 12440 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) β‰  0)
275, 10, 26, 19divne0d 12010 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) β‰  0)
2824, 27eqnetrd 3008 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0)
29 tanval3 16081 . . 3 (((arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
312oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 1 ∈ β„‚)
3320, 32, 32subsub4d 11606 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1)))
34 df-2 12279 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 7422 . . . . . . 7 (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1))
3633, 35eqtr4di 2790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
3731, 36eqtrd 2772 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
38 2cn 12291 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
39 mulcl 11196 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 + i) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
4038, 10, 39sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
415, 40, 10, 19divsubdird 12033 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 11656 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
44 negsub 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
458, 7, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
4645oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i))
477negcld 11562 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
48 pncan2 11471 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i ∈ β„‚)
5150, 7, 50subsub4d 11606 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i) = (i βˆ’ (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2781 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i βˆ’ (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = (2 Β· -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 2 ∈ β„‚)
5554, 50, 10subdid 11674 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2779 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) = (-2 Β· 𝐴))
5756oveq1d 7426 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 12000 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 7427 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2780 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6137, 60eqtr4d 2775 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 7427 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 11413 . . . . . . . 8 (i Β· (2 Β· i)) = (2 Β· (i Β· i))
64 ixi 11847 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
6564oveq2i 7422 . . . . . . . 8 (2 Β· (i Β· i)) = (2 Β· -1)
6621negcli 11532 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
6738mulm1i 11663 . . . . . . . . 9 (-1 Β· 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (2 Β· -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2764 . . . . . . 7 (i Β· (2 Β· i)) = -2
7069oveq1i 7421 . . . . . 6 ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 12029 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7270, 71eqtr3id 2786 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2775 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 7429 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 11532 . . . . . 6 -2 ∈ β„‚
76 mulcl 11196 . . . . . 6 ((-2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7775, 7, 76sylancr 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 ∈ β„‚)
79 2ne0 12320 . . . . . . 7 2 β‰  0
8038, 79negne0i 11539 . . . . . 6 -2 β‰  0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 β‰  0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 12022 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 Β· 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 11999 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2772 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2772 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2772 1 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  expce 16009  tanctan 16013  arctancatan 26593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-atan 26596
This theorem is referenced by:  atantanb  26653  atanord  26656
  Copyright terms: Public domain W3C validator