Theorem tanatan 26829

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 26791	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		2efiatan 26828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
3	2	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4		2mulicn 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6		atandm 26786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
7	6	simp1bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8		ax-icn 11127	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
9		addcl 11150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11		subneg 11471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
12	7, 8, 11	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
13	6	simp2bi 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
14	8	negcli 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
15		subeq0 11448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
16	15	necon3bid 2969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
17	7, 14, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
18	13, 17	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
19	12, 18	eqnetrrd 2993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
20	5, 10, 19	divcld 11958	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11126	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		npcan 11430	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
24	3, 23	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25		2muline0 12407	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
27	5, 10, 26, 19	divne0d 11974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
28	24, 27	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29		tanval3 16102	. . 3 ⊢ (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
30	1, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
31	2	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
32	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
33	20, 32, 32	subsub4d 11564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34		df-2 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	oveq2i 7398	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
36	33, 35	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
37	31, 36	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38		2cn 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		mulcl 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
40	38, 10, 39	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
41	5, 40, 10, 19	divsubdird 11997	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42		mulneg12 11616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
43	38, 7, 42	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44		negsub 11470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
45	8, 7, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
46	45	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
47	7	negcld 11520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48		pncan2 11428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
49	8, 47, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
50	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
51	50, 7, 50	subsub4d 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
53	52	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
54	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
55	54, 50, 10	subdid 11634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
56	43, 53, 55	3eqtr2rd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
57	56	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
58	54, 10, 19	divcan4d 11964	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
59	58	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
60	41, 57, 59	3eqtr3d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
61	37, 60	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
62	24	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
63	8, 38, 8	mul12i 11369	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64		ixi 11807	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
65	64	oveq2i 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (i · i)) = (2 · -1)
66	21	negcli 11490	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
67	38	mulm1i 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · 2) = -2
68	66, 38, 67	mulcomli 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · -1) = -2
69	63, 65, 68	3eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · i)) = -2
70	69	oveq1i 7397	. . . . . 6 ⊢ ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
71	50, 5, 10, 19	divassd 11993	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
72	70, 71	eqtr3id 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
73	62, 72	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
74	61, 73	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
75	38	negcli 11490	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℂ
76		mulcl 11152	. . . . . 6 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
77	75, 7, 76	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79		2ne0 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
80	38, 79	negne0i 11497	. . . . . 6 ⊢ -2 ≠ 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
82	77, 78, 10, 81, 19	divcan7d 11986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
83	7, 78, 81	divcan3d 11963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
84	82, 83	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
85	74, 84	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
86	30, 85	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  expce 16027  tanctan 16031  arctancatan 26774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-tan 16037  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-atan 26777

This theorem is referenced by:  atantanb  26834  atanord  26837