Theorem tanatan 27247

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 27209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		2efiatan 27246	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
3	2	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4		2mulicn 12570	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6		atandm 27204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
7	6	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8		ax-icn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
9		addcl 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11		subneg 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
12	7, 8, 11	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
13	6	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
14	8	negcli 11626	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
15		subeq0 11584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
16	15	necon3bid 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
17	7, 14, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
18	13, 17	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
19	12, 18	eqnetrrd 3024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
20	5, 10, 19	divcld 12093	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		npcan 11566	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
24	3, 23	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25		2muline0 12571	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
27	5, 10, 26, 19	divne0d 12109	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
28	24, 27	eqnetrd 3023	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29		tanval3 16302	. . 3 ⊢ (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
30	1, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
31	2	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
32	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
33	20, 32, 32	subsub4d 11700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34		df-2 12405	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	oveq2i 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
36	33, 35	eqtr4di 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
37	31, 36	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38		2cn 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		mulcl 11284	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
40	38, 10, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
41	5, 40, 10, 19	divsubdird 12132	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42		mulneg12 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
43	38, 7, 42	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ( -2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44		negsub 11606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
45	8, 7, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
46	45	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
47	7	negcld 11656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48		pncan2 11564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
49	8, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
50	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
51	50, 7, 50	subsub4d 11700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
53	52	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
54	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
55	54, 50, 10	subdid 11772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
56	43, 53, 55	3eqtr2rd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = ( -2 · 𝐴))
57	56	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
58	54, 10, 19	divcan4d 12099	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
59	58	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
60	41, 57, 59	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
61	37, 60	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
62	24	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
63	8, 38, 8	mul12i 11505	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64		ixi 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
65	64	oveq2i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (i · i)) = (2 · -1)
66	21	negcli 11626	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
67	38	mulm1i 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1 · 2) = -2
68	66, 38, 67	mulcomli 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · -1) = -2
69	63, 65, 68	3eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · i)) = -2
70	69	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = ( -2 / (𝐴 + i))
71	50, 5, 10, 19	divassd 12128	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
72	70, 71	eqtr3id 2810	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ( -2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
73	62, 72	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = ( -2 / (𝐴 + i)))
74	61, 73	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = ((( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / ( -2 / (𝐴 + i))))
75	38	negcli 11626	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℂ
76		mulcl 11284	. . . . . 6 ⊢ (( -2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -2 · 𝐴) ∈ ℂ)
77	75, 7, 76	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ( -2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79		2ne0 12449	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
80	38, 79	negne0i 11633	. . . . . 6 ⊢ -2 ≠ 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
82	77, 78, 10, 81, 19	divcan7d 12121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / ( -2 / (𝐴 + i))) = (( -2 · 𝐴) / -2))
83	7, 78, 81	divcan3d 12098	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (( -2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
84	82, 83	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((( -2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / ( -2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
85	74, 84	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
86	30, 85	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201  ici 11202   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  2c2 12397  expce 16227  tanctan 16231  arctancatan 27192

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-atan 27195

This theorem is used by:  atantanb  27252  atanord  27255