MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 26285
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 26247 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 2efiatan 26284 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
32oveq1d 7377 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1))
4 2mulicn 12383 . . . . . . . 8 (2 Β· i) ∈ β„‚
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
6 atandm 26242 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
76simp1bi 1146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 ax-icn 11117 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
9 addcl 11140 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
11 subneg 11457 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 β‰  -i)
148negcli 11476 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
15 subeq0 11434 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 2989 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
177, 14, 16sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
1813, 17mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) β‰  0)
1912, 18eqnetrrd 3013 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) β‰  0)
205, 10, 19divcld 11938 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
21 ax-1cn 11116 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
22 npcan 11417 . . . . . 6 ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2777 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 12384 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) β‰  0)
275, 10, 26, 19divne0d 11954 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) β‰  0)
2824, 27eqnetrd 3012 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0)
29 tanval3 16023 . . 3 (((arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
312oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 1 ∈ β„‚)
3320, 32, 32subsub4d 11550 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1)))
34 df-2 12223 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 7373 . . . . . . 7 (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1))
3633, 35eqtr4di 2795 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
3731, 36eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
38 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
39 mulcl 11142 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 + i) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
4038, 10, 39sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
415, 40, 10, 19divsubdird 11977 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 11600 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
44 negsub 11456 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
458, 7, 44sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
4645oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i))
477negcld 11506 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
48 pncan2 11415 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i ∈ β„‚)
5150, 7, 50subsub4d 11550 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i) = (i βˆ’ (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i βˆ’ (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = (2 Β· -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 2 ∈ β„‚)
5554, 50, 10subdid 11618 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2784 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) = (-2 Β· 𝐴))
5756oveq1d 7377 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 11944 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 7378 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2785 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6137, 60eqtr4d 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 7378 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 11357 . . . . . . . 8 (i Β· (2 Β· i)) = (2 Β· (i Β· i))
64 ixi 11791 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
6564oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (2 Β· (i Β· i)) = (2 Β· -1)
6621negcli 11476 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
6738mulm1i 11607 . . . . . . . . 9 (-1 Β· 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (2 Β· -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2769 . . . . . . 7 (i Β· (2 Β· i)) = -2
7069oveq1i 7372 . . . . . 6 ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 11973 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7270, 71eqtr3id 2791 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 7380 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 11476 . . . . . 6 -2 ∈ β„‚
76 mulcl 11142 . . . . . 6 ((-2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7775, 7, 76sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 ∈ β„‚)
79 2ne0 12264 . . . . . . 7 2 β‰  0
8038, 79negne0i 11483 . . . . . 6 -2 β‰  0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 β‰  0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 11966 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 Β· 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 11943 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2777 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2777 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2777 1 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  2c2 12215  expce 15951  tanctan 15955  arctancatan 26230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-atan 26233
This theorem is referenced by:  atantanb  26290  atanord  26293
  Copyright terms: Public domain W3C validator