MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 24937
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 24899 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2 2efiatan 24936 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
32oveq1d 6857 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4 2mulicn 11501 . . . . . . . 8 (2 · i) ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6 atandm 24894 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
76simp1bi 1175 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8 ax-icn 10248 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
9 addcl 10271 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
107, 8, 9sylancl 580 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11 subneg 10584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1176 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
148negcli 10603 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
15 subeq0 10561 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 2981 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
177, 14, 16sylancl 580 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
1813, 17mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
1912, 18eqnetrrd 3005 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
205, 10, 19divcld 11055 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10247 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 npcan 10544 . . . . . 6 ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 580 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2799 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 11502 . . . . . 6 (2 · i) ≠ 0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
275, 10, 26, 19divne0d 11071 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
2824, 27eqnetrd 3004 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29 tanval3 15148 . . 3 (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 579 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
312oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
3320, 32, 32subsub4d 10677 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34 df-2 11335 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 6853 . . . . . . 7 (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
3633, 35syl6eqr 2817 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
3731, 36eqtrd 2799 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38 2cn 11347 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
39 mulcl 10273 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
4038, 10, 39sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
415, 40, 10, 19divsubdird 11094 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 10722 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 581 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44 negsub 10583 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
458, 7, 44sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
4645oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
477negcld 10633 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48 pncan2 10542 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
5150, 7, 50subsub4d 10677 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2808 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5554, 50, 10subdid 10740 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2806 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
5756oveq1d 6857 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 11061 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2807 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
6137, 60eqtr4d 2802 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 6858 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 10485 . . . . . . . 8 (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64 ixi 10910 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
6564oveq2i 6853 . . . . . . . 8 (2 · (i · i)) = (2 · -1)
6621negcli 10603 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
6738mulm1i 10729 . . . . . . . . 9 (-1 · 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 10303 . . . . . . . 8 (2 · -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2791 . . . . . . 7 (i · (2 · i)) = -2
7069oveq1i 6852 . . . . . 6 ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 11090 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7270, 71syl5eqr 2813 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2802 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 6860 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 10603 . . . . . 6 -2 ∈ ℂ
76 mulcl 10273 . . . . . 6 ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7775, 7, 76sylancr 581 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79 2ne0 11383 . . . . . . 7 2 ≠ 0
8038, 79negne0i 10610 . . . . . 6 -2 ≠ 0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 11083 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 11060 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2799 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2799 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2799 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  expce 15076  tanctan 15080  arctancatan 24882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-tan 15086  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-atan 24885
This theorem is referenced by:  atantanb  24942  atanord  24945
  Copyright terms: Public domain W3C validator