MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tanatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tanatan 26424
Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
tanatan (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan
StepHypRef Expression
1 atancl 26386 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 2efiatan 26423 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1))
32oveq1d 7424 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1))
4 2mulicn 12435 . . . . . . . 8 (2 Β· i) ∈ β„‚
54a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) ∈ β„‚)
6 atandm 26381 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  -i ∧ 𝐴 β‰  i))
76simp1bi 1146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 ax-icn 11169 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
9 addcl 11192 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) ∈ β„‚)
11 subneg 11509 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚) β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
127, 8, 11sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) = (𝐴 + i))
136simp2bi 1147 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 𝐴 β‰  -i)
148negcli 11528 . . . . . . . . . 10 -i ∈ β„‚
15 subeq0 11486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
1615necon3bid 2986 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ -i ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
177, 14, 16sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((𝐴 βˆ’ -i) β‰  0 ↔ 𝐴 β‰  -i))
1813, 17mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 βˆ’ -i) β‰  0)
1912, 18eqnetrrd 3010 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (𝐴 + i) β‰  0)
205, 10, 19divcld 11990 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
21 ax-1cn 11168 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
22 npcan 11469 . . . . . 6 ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
2320, 21, 22sylancl 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
243, 23eqtrd 2773 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) = ((2 Β· i) / (𝐴 + i)))
25 2muline0 12436 . . . . . 6 (2 Β· i) β‰  0
2625a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· i) β‰  0)
275, 10, 26, 19divne0d 12006 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) / (𝐴 + i)) β‰  0)
2824, 27eqnetrd 3009 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0)
29 tanval3 16077 . . 3 (((arctanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1) β‰  0) β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
301, 28, 29syl2anc 585 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))))
312oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1))
3221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 1 ∈ β„‚)
3320, 32, 32subsub4d 11602 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1)))
34 df-2 12275 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
3534oveq2i 7420 . . . . . . 7 (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ (1 + 1))
3633, 35eqtr4di 2791 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
3731, 36eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
38 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 ∈ β„‚
39 mulcl 11194 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 + i) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
4038, 10, 39sylancr 588 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (𝐴 + i)) ∈ β„‚)
415, 40, 10, 19divsubdird 12029 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42 mulneg12 11652 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
4338, 7, 42sylancr 588 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) = (2 Β· -𝐴))
44 negsub 11508 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
458, 7, 44sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i + -𝐴) = (i βˆ’ 𝐴))
4645oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i))
477negcld 11558 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -𝐴 ∈ β„‚)
48 pncan2 11467 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ β„‚ ∧ -𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
498, 47, 48sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i + -𝐴) βˆ’ i) = -𝐴)
508a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ i ∈ β„‚)
5150, 7, 50subsub4d 11602 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i βˆ’ 𝐴) βˆ’ i) = (i βˆ’ (𝐴 + i)))
5246, 49, 513eqtr3rd 2782 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i βˆ’ (𝐴 + i)) = -𝐴)
5352oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = (2 Β· -𝐴))
5438a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ 2 ∈ β„‚)
5554, 50, 10subdid 11670 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (2 Β· (i βˆ’ (𝐴 + i))) = ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))))
5643, 53, 553eqtr2rd 2780 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) = (-2 Β· 𝐴))
5756oveq1d 7424 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) βˆ’ (2 Β· (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
5854, 10, 19divcan4d 11996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
5958oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ ((2 Β· (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6041, 57, 593eqtr3d 2781 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 Β· i) / (𝐴 + i)) βˆ’ 2))
6137, 60eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) = ((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)))
6224oveq2d 7425 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
638, 38, 8mul12i 11409 . . . . . . . 8 (i Β· (2 Β· i)) = (2 Β· (i Β· i))
64 ixi 11843 . . . . . . . . 9 (i Β· i) = -1
6564oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (2 Β· (i Β· i)) = (2 Β· -1)
6621negcli 11528 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
6738mulm1i 11659 . . . . . . . . 9 (-1 Β· 2) = -2
6866, 38, 67mulcomli 11223 . . . . . . . 8 (2 Β· -1) = -2
6963, 65, 683eqtri 2765 . . . . . . 7 (i Β· (2 Β· i)) = -2
7069oveq1i 7419 . . . . . 6 ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
7150, 5, 10, 19divassd 12025 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((i Β· (2 Β· i)) / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7270, 71eqtr3id 2787 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 / (𝐴 + i)) = (i Β· ((2 Β· i) / (𝐴 + i))))
7362, 72eqtr4d 2776 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
7461, 73oveq12d 7427 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
7538negcli 11528 . . . . . 6 -2 ∈ β„‚
76 mulcl 11194 . . . . . 6 ((-2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7775, 7, 76sylancr 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (-2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
7875a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 ∈ β„‚)
79 2ne0 12316 . . . . . . 7 2 β‰  0
8038, 79negne0i 11535 . . . . . 6 -2 β‰  0
8180a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ -2 β‰  0)
8277, 78, 10, 81, 19divcan7d 12018 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 Β· 𝐴) / -2))
837, 78, 81divcan3d 11995 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ ((-2 Β· 𝐴) / -2) = 𝐴)
8482, 83eqtrd 2773 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((-2 Β· 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
8574, 84eqtrd 2773 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) βˆ’ 1) / (i Β· ((expβ€˜(2 Β· (i Β· (arctanβ€˜π΄)))) + 1))) = 𝐴)
8630, 85eqtrd 2773 1 (𝐴 ∈ dom arctan β†’ (tanβ€˜(arctanβ€˜π΄)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  expce 16005  tanctan 16009  arctancatan 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-atan 26372
This theorem is referenced by:  atantanb  26429  atanord  26432
  Copyright terms: Public domain W3C validator