Theorem tanatan 27159

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 27121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		2efiatan 27158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
3	2	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4		2mulicn 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6		atandm 27116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
7	6	simp1bi 1163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8		ax-icn 11186	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
9		addcl 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11		subneg 11534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
12	7, 8, 11	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
13	6	simp2bi 1164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
14	8	negcli 11553	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
15		subeq0 11511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
16	15	necon3bid 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
17	7, 14, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
18	13, 17	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
19	12, 18	eqnetrrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
20	5, 10, 19	divcld 12018	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		npcan 11493	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
23	20, 21, 22	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
24	3, 23	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25		2muline0 12496	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
27	5, 10, 26, 19	divne0d 12034	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
28	24, 27	eqnetrd 3022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29		tanval3 16225	. . 3 ⊢ (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
30	1, 28, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
31	2	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
32	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
33	20, 32, 32	subsub4d 11627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34		df-2 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	oveq2i 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
36	33, 35	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
37	31, 36	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38		2cn 12343	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		mulcl 11211	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
40	38, 10, 39	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
41	5, 40, 10, 19	divsubdird 12057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42		mulneg12 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
43	38, 7, 42	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44		negsub 11533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
45	8, 7, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
46	45	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
47	7	negcld 11583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48		pncan2 11491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
49	8, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
50	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
51	50, 7, 50	subsub4d 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
53	52	oveq2d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
54	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
55	54, 50, 10	subdid 11697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
56	43, 53, 55	3eqtr2rd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
57	56	oveq1d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
58	54, 10, 19	divcan4d 12024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
59	58	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
60	41, 57, 59	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
61	37, 60	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
62	24	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
63	8, 38, 8	mul12i 11432	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64		ixi 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
65	64	oveq2i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (i · i)) = (2 · -1)
66	21	negcli 11553	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
67	38	mulm1i 11686	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · 2) = -2
68	66, 38, 67	mulcomli 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · -1) = -2
69	63, 65, 68	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · i)) = -2
70	69	oveq1i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
71	50, 5, 10, 19	divassd 12053	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
72	70, 71	eqtr3id 2809	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
73	62, 72	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
74	61, 73	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
75	38	negcli 11553	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℂ
76		mulcl 11211	. . . . . 6 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
77	75, 7, 76	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79		2ne0 12374	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
80	38, 79	negne0i 11560	. . . . . 6 ⊢ -2 ≠ 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
82	77, 78, 10, 81, 19	divcan7d 12046	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
83	7, 78, 81	divcan3d 12023	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
84	82, 83	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
85	74, 84	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
86	30, 85	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  2c2 12322  expce 16150  tanctan 16154  arctancatan 27104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ioc 13406  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-bc 14370  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159  df-tan 16160  df-pi 16161  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-ip 17363  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-hom 17369  df-cco 17370  df-rest 17510  df-topn 17511  df-0g 17529  df-gsum 17530  df-topgen 17531  df-pt 17532  df-prds 17535  df-xrs 17591  df-qtop 17596  df-imas 17597  df-xps 17599  df-mre 17673  df-mrc 17674  df-acs 17676  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-submnd 18895  df-mulg 19194  df-cntz 19447  df-cmn 19912  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-fbas 21585  df-fg 21586  df-cnfld 21589  df-top 23122  df-topon 23139  df-topsp 23161  df-bases 23174  df-cld 23247  df-ntr 23248  df-cls 23249  df-nei 23326  df-lp 23364  df-perf 23365  df-cn 23455  df-cnp 23456  df-haus 23543  df-tx 23791  df-hmeo 23984  df-fil 24075  df-fm 24167  df-flim 24168  df-flf 24169  df-xms 24549  df-ms 24550  df-tms 24551  df-cncf 25109  df-limc 26096  df-dv 26097  df-log 26796  df-atan 27107

This theorem is used by:  atantanb  27164  atanord  27167