Theorem tanatan 26269

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tanatan	⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem tanatan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atancl 26231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		2efiatan 26268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
3	2	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1))
4		2mulicn 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · i) ∈ ℂ
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6		atandm 26226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
7	6	simp1bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
8		ax-icn 11110	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
9		addcl 11133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
11		subneg 11450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
12	7, 8, 11	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
13	6	simp2bi 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
14	8	negcli 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
15		subeq0 11427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
16	15	necon3bid 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
17	7, 14, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
18	13, 17	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
19	12, 18	eqnetrrd 3012	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
20	5, 10, 19	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
21		ax-1cn 11109	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		npcan 11410	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · i) / (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
24	3, 23	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) = ((2 · i) / (𝐴 + i)))
25		2muline0 12377	. . . . . 6 ⊢ (2 · i) ≠ 0
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ≠ 0)
27	5, 10, 26, 19	divne0d 11947	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) / (𝐴 + i)) ≠ 0)
28	24, 27	eqnetrd 3011	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0)
29		tanval3 16016	. . 3 ⊢ (((arctan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1) ≠ 0) → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
30	1, 28, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))))
31	2	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1))
32	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
33	20, 32, 32	subsub4d 11543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1)))
34		df-2 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
35	34	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − (1 + 1))
36	33, 35	eqtr4di 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
37	31, 36	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
38		2cn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
39		mulcl 11135	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
40	38, 10, 39	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
41	5, 40, 10, 19	divsubdird 11970	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))))
42		mulneg12 11593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
43	38, 7, 42	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) = (2 · -𝐴))
44		negsub 11449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
45	8, 7, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = ((i − 𝐴) − i))
47	7	negcld 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -𝐴 ∈ ℂ)
48		pncan2 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
49	8, 47, 48	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + -𝐴) − i) = -𝐴)
50	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
51	50, 7, 50	subsub4d 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i − 𝐴) − i) = (i − (𝐴 + i)))
52	46, 49, 51	3eqtr3rd 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i − (𝐴 + i)) = -𝐴)
53	52	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = (2 · -𝐴))
54	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
55	54, 50, 10	subdid 11611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i − (𝐴 + i))) = ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))))
56	43, 53, 55	3eqtr2rd 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) = (-2 · 𝐴))
57	56	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (2 · (𝐴 + i))) / (𝐴 + i)) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
58	54, 10, 19	divcan4d 11937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = 2)
59	58	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((2 · (𝐴 + i)) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
60	41, 57, 59	3eqtr3d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 2))
61	37, 60	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) = ((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)))
62	24	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
63	8, 38, 8	mul12i 11350	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (2 · i)) = (2 · (i · i))
64		ixi 11784	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · i) = -1
65	64	oveq2i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · (i · i)) = (2 · -1)
66	21	negcli 11469	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
67	38	mulm1i 11600	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · 2) = -2
68	66, 38, 67	mulcomli 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · -1) = -2
69	63, 65, 68	3eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ (i · (2 · i)) = -2
70	69	oveq1i 7367	. . . . . 6 ⊢ ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (-2 / (𝐴 + i))
71	50, 5, 10, 19	divassd 11966	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (2 · i)) / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
72	70, 71	eqtr3id 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 / (𝐴 + i)) = (i · ((2 · i) / (𝐴 + i))))
73	62, 72	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1)) = (-2 / (𝐴 + i)))
74	61, 73	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))))
75	38	negcli 11469	. . . . . 6 ⊢ -2 ∈ ℂ
76		mulcl 11135	. . . . . 6 ⊢ ((-2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
77	75, 7, 76	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (-2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	75	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ∈ ℂ)
79		2ne0 12257	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
80	38, 79	negne0i 11476	. . . . . 6 ⊢ -2 ≠ 0
81	80	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → -2 ≠ 0)
82	77, 78, 10, 81, 19	divcan7d 11959	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = ((-2 · 𝐴) / -2))
83	7, 78, 81	divcan3d 11936	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → ((-2 · 𝐴) / -2) = 𝐴)
84	82, 83	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((-2 · 𝐴) / (𝐴 + i)) / (-2 / (𝐴 + i))) = 𝐴)
85	74, 84	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) − 1) / (i · ((exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) + 1))) = 𝐴)
86	30, 85	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom arctan → (tan‘(arctan‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  expce 15944  tanctan 15948  arctancatan 26214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-atan 26217

This theorem is referenced by:  atantanb  26274  atanord  26277