MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem root1eq1 26190
Description: The only powers of an 𝑁-th root of unity that equal 1 are the multiples of 𝑁. In other words, -1↑𝑐(2 / 𝑁) has order 𝑁 in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁𝐾))

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 12268 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 nndivre 12235 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
54recnd 11224 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
6 ax-icn 11151 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
7 picn 25898 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
86, 7mulcli 11203 . . . . . . 7 (i · π) ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
105, 9mulcld 11216 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ)
11 efexp 16026 . . . . 5 ((((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
1210, 11sylancom 588 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
13 zcn 12545 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15 nncn 12202 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17 2cn 12269 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19 nnne0 12228 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
2114, 16, 18, 20div32d 11995 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · 2) = (𝐾 · (2 / 𝑁)))
2221oveq1d 7408 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)))
2314, 16, 20divcld 11972 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ)
2423, 18, 9mulassd 11219 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
2514, 5, 9mulassd 11219 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
2622, 24, 253eqtr3d 2779 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
2726fveq2d 6882 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))))
28 neg1cn 12308 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
30 neg1ne0 12310 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
3229, 31, 5cxpefd 26149 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))))
33 logm1 26026 . . . . . . . 8 (log‘-1) = (i · π)
3433oveq2i 7404 . . . . . . 7 ((2 / 𝑁) · (log‘-1)) = ((2 / 𝑁) · (i · π))
3534fveq2i 6881 . . . . . 6 (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))
3632, 35eqtrdi 2787 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π))))
3736oveq1d 7408 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
3812, 27, 373eqtr4rd 2782 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))))
3938eqeq1d 2733 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1))
4017, 8mulcli 11203 . . . 4 (2 · (i · π)) ∈ ℂ
41 mulcl 11176 . . . 4 (((𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · (i · π)) ∈ ℂ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
4223, 40, 41sylancl 586 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
43 efeq1 25966 . . 3 (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
4442, 43syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
456, 17, 7mul12i 11391 . . . . . 6 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
4645oveq2i 7404 . . . . 5 (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π)))
4740a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ∈ ℂ)
48 2ne0 12298 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
49 ine0 11631 . . . . . . . . 9 i ≠ 0
50 pire 25897 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
51 pipos 25899 . . . . . . . . . 10 0 < π
5250, 51gt0ne0ii 11732 . . . . . . . . 9 π ≠ 0
536, 7, 49, 52mulne0i 11839 . . . . . . . 8 (i · π) ≠ 0
5417, 8, 48, 53mulne0i 11839 . . . . . . 7 (2 · (i · π)) ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ≠ 0)
5623, 47, 55divcan4d 11978 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π))) = (𝐾 / 𝑁))
5746, 56eqtrid 2783 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (𝐾 / 𝑁))
5857eleq1d 2817 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
59 nnz 12561 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6059adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 simpr 485 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
62 dvdsval2 16182 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
6360, 20, 61, 62syl3anc 1371 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
6458, 63bitr4d 281 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ 𝑁𝐾))
6539, 44, 643bitrd 304 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  cc 11090  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093  ici 11094   · cmul 11097  -cneg 11427   / cdiv 11853  cn 12194  2c2 12249  cz 12540  cexp 14009  expce 15987  πcpi 15992  cdvds 16179  logclog 25992  𝑐ccxp 25993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-mod 13817  df-seq 13949  df-exp 14010  df-fac 14216  df-bc 14245  df-hash 14273  df-shft 14996  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-dvds 16180  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-lp 22569  df-perf 22570  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cncf 24323  df-limc 25312  df-dv 25313  df-log 25994  df-cxp 25995
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  26694  dchrptlem2  26695
  Copyright terms: Public domain W3C validator