Theorem root1eq1 27000

Description: The only powers of an 𝑁-th root of unity that equal 1 are the multiples of 𝑁. In other words, -1↑_𝑐(2 / 𝑁) has order 𝑁 in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
root1eq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem root1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12343	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nndivre 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11265	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		picn 26701	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11244	. . . . . . 7 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
10	5, 9	mulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ)
11		efexp 16195	. . . . 5 ⊢ ((((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
12	10, 11	sylancom 600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
13		zcn 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15		nncn 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		2cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19		nnne0 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
21	14, 16, 18, 20	div32d 12042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · 2) = (𝐾 · (2 / 𝑁)))
22	21	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)))
23	14, 16, 20	divcld 12019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ)
24	23, 18, 9	mulassd 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
25	14, 5, 9	mulassd 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
26	22, 24, 25	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
27	26	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))))
28		neg1cn 12231	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
30		neg1ne0 12233	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
32	29, 31, 5	cxpefd 26957	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))))
33		logm1 26834	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
34	33	oveq2i 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / 𝑁) · (log‘-1)) = ((2 / 𝑁) · (i · π))
35	34	fveq2i 6885	. . . . . 6 ⊢ (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))
36	32, 35	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π))))
37	36	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
38	12, 27, 37	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))))
39	38	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1))
40	17, 8	mulcli 11244	. . . 4 ⊢ (2 · (i · π)) ∈ ℂ
41		mulcl 11212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · (i · π)) ∈ ℂ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
42	23, 40, 41	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
43		efeq1 26773	. . 3 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
44	42, 43	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
45	6, 17, 7	mul12i 11433	. . . . . 6 ⊢ (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
46	45	oveq2i 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π)))
47	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ∈ ℂ)
48		2ne0 12375	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
49		ine0 11677	. . . . . . . . 9 ⊢ i ≠ 0
50		pire 26699	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
51		pipos 26703	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < π
52	50, 51	gt0ne0ii 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
53	6, 7, 49, 52	mulne0i 11885	. . . . . . . 8 ⊢ (i · π) ≠ 0
54	17, 8, 48, 53	mulne0i 11885	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (i · π)) ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ≠ 0)
56	23, 47, 55	divcan4d 12025	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π))) = (𝐾 / 𝑁))
57	46, 56	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (𝐾 / 𝑁))
58	57	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
59		nnz 12640	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
60	59	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
62		dvdsval2 16351	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
63	60, 20, 61, 62	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
64	58, 63	bitr4d 285	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
65	39, 44, 64	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129  ici 11130   · cmul 11133  -cneg 11470   / cdiv 11899  ℕcn 12261  2c2 12323  ℤcz 12619  ↑cexp 14129  expce 16153  πcpi 16158   ∥ cdvds 16348  logclog 26799  ↑_𝑐ccxp 26800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-dvds 16349  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101  df-log 26801  df-cxp 26802

This theorem is used by:  dchrptlem1  27508  dchrptlem2  27509