Theorem root1eq1 26487

Description: The only powers of an 𝑁-th root of unity that equal 1 are the multiples of 𝑁. In other words, -1↑_𝑐(2 / 𝑁) has order 𝑁 in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
root1eq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem root1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nndivre 12257	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11171	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		picn 26193	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11225	. . . . . . 7 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
10	5, 9	mulcld 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ)
11		efexp 16048	. . . . 5 ⊢ ((((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
12	10, 11	sylancom 588	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
13		zcn 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15		nncn 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		2cn 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19		nnne0 12250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
21	14, 16, 18, 20	div32d 12017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · 2) = (𝐾 · (2 / 𝑁)))
22	21	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)))
23	14, 16, 20	divcld 11994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ)
24	23, 18, 9	mulassd 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
25	14, 5, 9	mulassd 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
26	22, 24, 25	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
27	26	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))))
28		neg1cn 12330	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
30		neg1ne0 12332	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
32	29, 31, 5	cxpefd 26444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))))
33		logm1 26321	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
34	33	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / 𝑁) · (log‘-1)) = ((2 / 𝑁) · (i · π))
35	34	fveq2i 6894	. . . . . 6 ⊢ (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))
36	32, 35	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π))))
37	36	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
38	12, 27, 37	3eqtr4rd 2783	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))))
39	38	eqeq1d 2734	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1))
40	17, 8	mulcli 11225	. . . 4 ⊢ (2 · (i · π)) ∈ ℂ
41		mulcl 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · (i · π)) ∈ ℂ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
42	23, 40, 41	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
43		efeq1 26261	. . 3 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
44	42, 43	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
45	6, 17, 7	mul12i 11413	. . . . . 6 ⊢ (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
46	45	oveq2i 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π)))
47	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ∈ ℂ)
48		2ne0 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
49		ine0 11653	. . . . . . . . 9 ⊢ i ≠ 0
50		pire 26192	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
51		pipos 26194	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < π
52	50, 51	gt0ne0ii 11754	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
53	6, 7, 49, 52	mulne0i 11861	. . . . . . . 8 ⊢ (i · π) ≠ 0
54	17, 8, 48, 53	mulne0i 11861	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (i · π)) ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ≠ 0)
56	23, 47, 55	divcan4d 12000	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π))) = (𝐾 / 𝑁))
57	46, 56	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (𝐾 / 𝑁))
58	57	eleq1d 2818	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
59		nnz 12583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
60	59	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
62		dvdsval2 16204	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
63	60, 20, 61, 62	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
64	58, 63	bitr4d 281	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
65	39, 44, 64	3bitrd 304	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   · cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  ℕcn 12216  2c2 12271  ℤcz 12562  ↑cexp 14031  expce 16009  πcpi 16014   ∥ cdvds 16201  logclog 26287  ↑_𝑐ccxp 26288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-cxp 26290

This theorem is referenced by:  dchrptlem1  26991  dchrptlem2  26992