Theorem root1eq1 26797

Description: The only powers of an 𝑁-th root of unity that equal 1 are the multiples of 𝑁. In other words, -1↑_𝑐(2 / 𝑁) has order 𝑁 in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
root1eq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

Proof of Theorem root1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12289	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		nndivre 12251	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11129	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
7		picn 26498	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
8	6, 7	mulcli 11186	. . . . . . 7 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
10	5, 9	mulcld 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ)
11		efexp 16116	. . . . 5 ⊢ ((((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
12	10, 11	sylancom 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
13		zcn 12570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
14	13	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15		nncn 12215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17		2cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19		nnne0 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
21	14, 16, 18, 20	div32d 11987	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · 2) = (𝐾 · (2 / 𝑁)))
22	21	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)))
23	14, 16, 20	divcld 11964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ)
24	23, 18, 9	mulassd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
25	14, 5, 9	mulassd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
26	22, 24, 25	3eqtr3d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
27	26	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))))
28		neg1cn 12177	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℂ
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
30		neg1ne0 12179	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ≠ 0
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
32	29, 31, 5	cxpefd 26754	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))))
33		logm1 26631	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
34	33	oveq2i 7403	. . . . . . 7 ⊢ ((2 / 𝑁) · (log‘-1)) = ((2 / 𝑁) · (i · π))
35	34	fveq2i 6866	. . . . . 6 ⊢ (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))
36	32, 35	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π))))
37	36	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
38	12, 27, 37	3eqtr4rd 2807	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))))
39	38	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1))
40	17, 8	mulcli 11186	. . . 4 ⊢ (2 · (i · π)) ∈ ℂ
41		mulcl 11154	. . . 4 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · (i · π)) ∈ ℂ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
42	23, 40, 41	sylancl 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
43		efeq1 26570	. . 3 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
44	42, 43	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
45	6, 17, 7	mul12i 11375	. . . . . 6 ⊢ (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
46	45	oveq2i 7403	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π)))
47	40	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ∈ ℂ)
48		2ne0 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
49		ine0 11619	. . . . . . . . 9 ⊢ i ≠ 0
50		pire 26496	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
51		pipos 26500	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < π
52	50, 51	gt0ne0ii 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
53	6, 7, 49, 52	mulne0i 11827	. . . . . . . 8 ⊢ (i · π) ≠ 0
54	17, 8, 48, 53	mulne0i 11827	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (i · π)) ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ≠ 0)
56	23, 47, 55	divcan4d 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π))) = (𝐾 / 𝑁))
57	46, 56	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (𝐾 / 𝑁))
58	57	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
59		nnz 12586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
60	59	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
62		dvdsval2 16272	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
63	60, 20, 61, 62	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
64	58, 63	bitr4d 284	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
65	39, 44, 64	3bitrd 307	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   · cmul 11075  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ↑cexp 14071  expce 16074  πcpi 16079   ∥ cdvds 16269  logclog 26596  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  dchrptlem1  27305  dchrptlem2  27306