MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpeq 26800
Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 12567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 12920 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
53, 4eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 13571 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8 neg1cn 12380 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
9 2re 12340 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
10 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nndivre 12307 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14 cxpcl 26716 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
158, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
18 expcl 14120 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
2019mul02d 11459 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
2221oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
23 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = 𝐵)
2410expd 14179 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
2522, 23, 243eqtr3d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
2625oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑𝑐(1 / 𝑁)))
27 nncn 12274 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28 nnne0 12300 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29 reccl 11929 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30 recne0 11935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
3129, 300cxpd 26752 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3426, 33eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3534oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3620, 35, 213eqtr4rd 2788 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))
3837oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3938rspceeqv 3645 . . . . 5 ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
407, 36, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
4140expr 456 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
42 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
44 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
4544nnzd 12640 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 explog 26636 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4742, 43, 45, 46syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4847eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁))
4910nncnd 12282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5142, 43logcld 26612 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11281 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
5344nnnn0d 12587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5442, 53expcld 14186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5542, 43, 45expne0d 14192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
56 eflogeq 26644 . . . . . . 7 (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5752, 54, 55, 56syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5848, 57mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
5954, 55logcld 26612 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
61 ax-icn 11214 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
62 2cn 12341 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
63 picn 26501 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6462, 63mulcli 11268 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
6561, 64mulcli 11268 . . . . . . . . . 10 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
66 zcn 12618 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
68 mulcl 11239 . . . . . . . . . 10 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
6965, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
7060, 69addcld 11280 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7150adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7251adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7310nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
7570, 71, 72, 74divmuld 12065 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
76 fveq2 6906 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
7771, 74reccld 12036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7877, 60mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
7913ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
8079, 67mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
8161, 63mulcli 11268 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
82 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
8380, 81, 82sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84 efadd 16130 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8578, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8660, 69, 71, 74divdird 12081 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
8760, 71, 74divrec2d 12047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))))
8865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
8988, 67, 71, 74div23d 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
9061, 62, 63mul12i 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
9190oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
9262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
9492, 93, 71, 74div23d 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9591, 94eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9695oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
9779, 93, 67mul32d 11471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9889, 96, 973eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9987, 98oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
10086, 99eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101100fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
10254adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
10355adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
104102, 103, 77cxpefd 26754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))))
1058a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
106 neg1ne0 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
108 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
109105, 107, 79, 108cxpmul2zd 26758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
110105, 107, 80cxpefd 26754 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
111 logm1 26631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (log‘-1) = (i · π)
112111oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
113112fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
114110, 113eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
115105, 79cxpcld 26750 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
117106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
118116, 117, 13cxpne0d 26755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
119118ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120115, 119, 108expclzd 14191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
12144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
122108, 121zmodcld 13932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
123115, 122expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
124122nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
125115, 119, 124expne0d 14192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
126115, 119, 124, 108expsubd 14197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
127121nnzd 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
129121nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
130 moddifz 13923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
131128, 129, 130syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
132 expmulz 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
133115, 119, 127, 131, 132syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
134122nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
13567, 134subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
136135, 71, 74divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
138 root1id 26797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
139121, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
140139oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
141 1exp 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
142131, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
143140, 142eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144133, 137, 1433eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
145126, 144eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
146120, 123, 125, 145diveq1d 12051 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
147109, 114, 1463eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
148104, 147oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
14985, 101, 1483eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
150 eflog 26618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15142, 43, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
152151adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153149, 152eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
154 zmodfz 13933 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
155108, 121, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
156 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
157 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
159158eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
160156, 159bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
161160rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
162161ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
163155, 162syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
164153, 163sylbid 240 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16576, 164syl5 34 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16675, 165sylbird 260 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
167166rexlimdva 3155 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16858, 167mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
169 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵𝑐(1 / 𝑁)))
170169oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
171170eqeq2d 2748 . . . . 5 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
172171rexbidv 3179 . . . 4 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
173168, 172syl5ibcom 245 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
17441, 173pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
175 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
176 nnrecre 12308 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1771763ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
178177recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
179175, 178cxpcld 26750 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
180179adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
181 elfznn0 13660 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
182 expcl 14120 . . . . . . 7 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18315, 181, 182syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18410adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
185184nnnn0d 12587 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
186180, 183, 185mulexpd 14201 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
187175adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
188 cxproot 26732 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
189187, 184, 188syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
190181adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
191190nn0cnd 12589 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
192184nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
193191, 192mulcomd 11282 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
194193oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
19515adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
196195, 185, 190expmuld 14189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
197195, 190, 185expmuld 14189 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
198194, 196, 1973eqtr3d 2785 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
199184, 138syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
200199oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
201 elfzelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
202201adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
203 1exp 14132 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
204202, 203syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
205198, 200, 2043eqtrd 2781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
206189, 205oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
207187mulridd 11278 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
208186, 206, 2073eqtrd 2781 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
209 oveq1 7438 . . . . 5 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
210209eqeq1d 2739 . . . 4 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
211208, 210syl5ibrcom 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
212211rexlimdva 3155 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
213174, 212impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547   mod cmo 13909  cexp 14102  expce 16097  πcpi 16102  logclog 26596  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  1cubr  26885
  Copyright terms: Public domain W3C validator