MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpeq 24789
Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1244 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 11581 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 11922 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
53, 4syl6eleq 2854 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 12555 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8 neg1cn 11393 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
9 2re 11346 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
10 simp2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nndivre 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
1312recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14 cxpcl 24711 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
158, 13, 14sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1615adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17 0nn0 11555 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
18 expcl 13085 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancl 580 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
2019mul02d 10488 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
2221oveq1d 6857 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
23 simprr 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = 𝐵)
2410expd 13231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
2522, 23, 243eqtr3d 2807 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
2625oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑𝑐(1 / 𝑁)))
27 nncn 11283 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28 nnne0 11310 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29 reccl 10946 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30 recne0 10952 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
3129, 300cxpd 24747 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3227, 28, 31syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3426, 33eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3534oveq1d 6857 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3620, 35, 213eqtr4rd 2810 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))
3837oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3938rspceeqv 3479 . . . . 5 ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
407, 36, 39syl2anc 579 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
4140expr 448 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
42 simpl1 1242 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
44 simpl2 1244 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
4544nnzd 11728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 explog 24631 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4742, 43, 45, 46syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4847eqcomd 2771 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁))
4910nncnd 11292 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5142, 43logcld 24608 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10314 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
5344nnnn0d 11598 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5442, 53expcld 13215 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5542, 43, 45expne0d 13221 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
56 eflogeq 24639 . . . . . . 7 (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5752, 54, 55, 56syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5848, 57mpbid 223 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
5954, 55logcld 24608 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
61 ax-icn 10248 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
62 2cn 11347 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
63 picn 24503 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6462, 63mulcli 10301 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
6561, 64mulcli 10301 . . . . . . . . . 10 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
66 zcn 11629 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
6766adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
68 mulcl 10273 . . . . . . . . . 10 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
6965, 67, 68sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
7060, 69addcld 10313 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7150adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7251adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7310nnne0d 11322 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
7473ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
7570, 71, 72, 74divmuld 11077 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
76 fveq2 6375 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
7771, 74reccld 11048 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7877, 60mulcld 10314 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
7913ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
8079, 67mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
8161, 63mulcli 10301 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
82 mulcl 10273 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
8380, 81, 82sylancl 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84 efadd 15108 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8578, 83, 84syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8660, 69, 71, 74divdird 11093 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
8760, 71, 74divrec2d 11059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))))
8865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
8988, 67, 71, 74div23d 11092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
9061, 62, 63mul12i 10485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
9190oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
9262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
9492, 93, 71, 74div23d 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9591, 94syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9695oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
9779, 93, 67mul32d 10500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9889, 96, 973eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9987, 98oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
10086, 99eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101100fveq2d 6379 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
10254adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
10355adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
104102, 103, 77cxpefd 24749 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))))
1058a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
106 neg1ne0 11395 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
108 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
109105, 107, 79, 108cxpmul2zd 24753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
110105, 107, 80cxpefd 24749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
111 logm1 24626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (log‘-1) = (i · π)
112111oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
113112fveq2i 6378 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
114110, 113syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
115105, 79cxpcld 24745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
117106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
118116, 117, 13cxpne0d 24750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
119118ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120115, 119, 108expclzd 13220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
12144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
122108, 121zmodcld 12899 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
123115, 122expcld 13215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
124122nn0zd 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
125115, 119, 124expne0d 13221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
126115, 119, 124, 108expsubd 13226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
127121nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128 zre 11628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
129128adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
130121nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
131 moddifz 12890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
132129, 130, 131syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
133 expmulz 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
134115, 119, 127, 132, 133syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
135122nn0cnd 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
13667, 135subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
137136, 71, 74divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
138137oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
139 root1id 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
140121, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
141140oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
142 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
143132, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144141, 143eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
145134, 138, 1443eqtr3d 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
146126, 145eqtr3d 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
147120, 123, 125, 146diveq1d 11063 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
148109, 114, 1473eqtr3rd 2808 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
149104, 148oveq12d 6860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
15085, 101, 1493eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
151 eflog 24614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15242, 43, 151syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153152adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
154150, 153eqeq12d 2780 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
155 zmodfz 12900 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
156108, 121, 155syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
157 eqcom 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
158 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
159158oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
160159eqeq1d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
161157, 160syl5bb 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
162161rspcev 3461 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
163162ex 401 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
164156, 163syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
165154, 164sylbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16676, 165syl5 34 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16775, 166sylbird 251 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
168167rexlimdva 3178 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16958, 168mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
170 oveq1 6849 . . . . . . 7 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵𝑐(1 / 𝑁)))
171170oveq1d 6857 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
172171eqeq2d 2775 . . . . 5 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
173172rexbidv 3199 . . . 4 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
174169, 173syl5ibcom 236 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
17541, 174pm2.61dane 3024 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
176 simp3 1168 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
177 nnrecre 11314 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1781773ad2ant2 1164 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
179178recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
180176, 179cxpcld 24745 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
181180adantr 472 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
182 elfznn0 12640 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
183 expcl 13085 . . . . . . 7 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18415, 182, 183syl2an 589 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18510adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
186185nnnn0d 11598 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
187181, 184, 186mulexpd 13230 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
188176adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
189 cxproot 24727 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
190188, 185, 189syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
191182adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
192191nn0cnd 11600 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
193185nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
194192, 193mulcomd 10315 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
195194oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
19615adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
197196, 186, 191expmuld 13218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
198196, 191, 186expmuld 13218 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
199195, 197, 1983eqtr3d 2807 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
200185, 139syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
201200oveq1d 6857 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
202 elfzelz 12549 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
203202adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
204 1exp 13096 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
205203, 204syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
206199, 201, 2053eqtrd 2803 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
207190, 206oveq12d 6860 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
208188mulid1d 10311 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
209187, 207, 2083eqtrd 2803 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
210 oveq1 6849 . . . . 5 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
211210eqeq1d 2767 . . . 4 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
212209, 211syl5ibrcom 238 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
213212rexlimdva 3178 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
214175, 213impbid 203 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  ...cfz 12533   mod cmo 12876  cexp 13067  expce 15076  πcpi 15081  logclog 24592  𝑐ccxp 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595
This theorem is referenced by:  1cubr  24860
  Copyright terms: Public domain W3C validator