MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpeq 26265
Description: Solve an equation involving an ๐‘-th power. The expression -1โ†‘๐‘(2 / ๐‘) = exp(2ฯ€i / ๐‘) is a way to write the primitive ๐‘-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 nnm1nn0 12513 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4 nn0uz 12864 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
53, 4eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
6 eluzfz1 13508 . . . . . 6 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
8 neg1cn 12326 . . . . . . . . . 10 -1 โˆˆ โ„‚
9 2re 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„
10 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 nndivre 12253 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 / ๐‘) โˆˆ โ„)
129, 10, 11sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 / ๐‘) โˆˆ โ„)
1312recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
14 cxpcl 26182 . . . . . . . . . 10 ((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 / ๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
158, 13, 14sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
17 0nn0 12487 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„•0
18 expcl 14045 . . . . . . . 8 (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง 0 โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0) โˆˆ โ„‚)
1916, 17, 18sylancl 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0) โˆˆ โ„‚)
2019mul02d 11412 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (0 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0)) = 0)
21 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ๐ด = 0)
2221oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
23 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)
2410expd 14104 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
2522, 23, 243eqtr3d 2781 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ๐ต = 0)
2625oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (0โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
27 nncn 12220 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
28 nnne0 12246 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
29 reccl 11879 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
30 recne0 11885 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘) โ‰  0)
3129, 300cxpd 26218 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (0โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = 0)
3227, 28, 31syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (0โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = 0)
3426, 33eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = 0)
3534oveq1d 7424 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0)) = (0 ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0)))
3620, 35, 213eqtr4rd 2784 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0)))
37 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘› = 0 โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0))
3837oveq2d 7425 . . . . . 6 (๐‘› = 0 โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0)))
3938rspceeqv 3634 . . . . 5 ((0 โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘0))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)))
407, 36, 39syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ด = 0 โˆง (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)))
4140expr 458 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด = 0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
42 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
43 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
44 simpl2 1193 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
4544nnzd 12585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 explog 26102 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))))
4742, 43, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))))
4847eqcomd 2739 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = (๐ดโ†‘๐‘))
4910nncnd 12228 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5049adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5142, 43logcld 26079 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
5250, 51mulcld 11234 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5344nnnn0d 12532 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5442, 53expcld 14111 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5542, 43, 45expne0d 14117 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
56 eflogeq 26110 . . . . . . 7 (((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = (๐ดโ†‘๐‘) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š))))
5752, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = (๐ดโ†‘๐‘) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š))))
5848, 57mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)))
5954, 55logcld 26079 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
61 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
62 2cn 12287 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
63 picn 25969 . . . . . . . . . . . 12 ฯ€ โˆˆ โ„‚
6462, 63mulcli 11221 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
6561, 64mulcli 11221 . . . . . . . . . 10 (i ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚
66 zcn 12563 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
6766adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
68 mulcl 11194 . . . . . . . . . 10 (((i ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
6965, 67, 68sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
7060, 69addcld 11233 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) โˆˆ โ„‚)
7150adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7251adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7310nnne0d 12262 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7570, 71, 72, 74divmuld 12012 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘) = (logโ€˜๐ด) โ†” (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š))))
76 fveq2 6892 . . . . . . . 8 ((((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘) = (logโ€˜๐ด) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘)) = (expโ€˜(logโ€˜๐ด)))
7771, 74reccld 11983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7877, 60mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚)
7913ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8079, 67mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
8161, 63mulcli 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
82 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
8380, 81, 82sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
84 efadd 16037 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) โˆˆ โ„‚ โˆง (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) + (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))) = ((expโ€˜((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))) ยท (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))))
8578, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) + (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))) = ((expโ€˜((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))) ยท (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))))
8660, 69, 71, 74divdird 12028 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘) = (((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) / ๐‘) + (((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) / ๐‘)))
8760, 71, 74divrec2d 11994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) / ๐‘) = ((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))))
8865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (i ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
8988, 67, 71, 74div23d 12027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) / ๐‘) = (((i ยท (2 ยท ฯ€)) / ๐‘) ยท ๐‘š))
9061, 62, 63mul12i 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ยท (2 ยท ฯ€)) = (2 ยท (i ยท ฯ€))
9190oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ยท (2 ยท ฯ€)) / ๐‘) = ((2 ยท (i ยท ฯ€)) / ๐‘)
9262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (i ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
9492, 93, 71, 74div23d 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท (i ยท ฯ€)) / ๐‘) = ((2 / ๐‘) ยท (i ยท ฯ€)))
9591, 94eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((i ยท (2 ยท ฯ€)) / ๐‘) = ((2 / ๐‘) ยท (i ยท ฯ€)))
9695oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((i ยท (2 ยท ฯ€)) / ๐‘) ยท ๐‘š) = (((2 / ๐‘) ยท (i ยท ฯ€)) ยท ๐‘š))
9779, 93, 67mul32d 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 / ๐‘) ยท (i ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) = (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))
9889, 96, 973eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) / ๐‘) = (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))
9987, 98oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) / ๐‘) + (((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š) / ๐‘)) = (((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) + (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€))))
10086, 99eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘) = (((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) + (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€))))
101100fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘)) = (expโ€˜(((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘))) + (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))))
10254adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
10355adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
104102, 103, 77cxpefd 26220 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (expโ€˜((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))))
1058a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
106 neg1ne0 12328 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 โ‰  0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ -1 โ‰  0)
108 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
109105, 107, 79, 108cxpmul2zd 26224 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘((2 / ๐‘) ยท ๐‘š)) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘š))
110105, 107, 80cxpefd 26220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘((2 / ๐‘) ยท ๐‘š)) = (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (logโ€˜-1))))
111 logm1 26097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (logโ€˜-1) = (i ยท ฯ€)
112111oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (logโ€˜-1)) = (((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€))
113112fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (logโ€˜-1))) = (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))
114110, 113eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘((2 / ๐‘) ยท ๐‘š)) = (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€))))
115105, 79cxpcld 26216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
1168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
117106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ -1 โ‰  0)
118116, 117, 13cxpne0d 26221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โ‰  0)
119118ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โ‰  0)
120115, 119, 108expclzd 14116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
12144adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
122108, 121zmodcld 13857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š mod ๐‘) โˆˆ โ„•0)
123115, 122expcld 14111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
124122nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š mod ๐‘) โˆˆ โ„ค)
125115, 119, 124expne0d 14117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘)) โ‰  0)
126115, 119, 124, 108expsubd 14122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘))) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘š) / ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))))
127121nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
128 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„)
129121nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
130 moddifz 13848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘š โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
131128, 129, 130syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)
132 expmulz 14074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘) โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘ ยท ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘))) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)))
133115, 119, 127, 131, 132syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘ ยท ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘))) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)))
134122nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š mod ๐‘) โˆˆ โ„‚)
13567, 134subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
136135, 71, 74divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)) = (๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)))
137136oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘ ยท ((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘))) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘))))
138 root1id 26262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘) = 1)
139121, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘) = 1)
140139oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)) = (1โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)))
141 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)) = 1)
142131, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (1โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)) = 1)
143140, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘((๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘)) / ๐‘)) = 1)
144133, 137, 1433eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š โˆ’ (๐‘š mod ๐‘))) = 1)
145126, 144eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘š) / ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = 1)
146120, 123, 125, 145diveq1d 11998 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘š) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘)))
147109, 114, 1463eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘)) = (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€))))
148104, 147oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ((expโ€˜((1 / ๐‘) ยท (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))) ยท (expโ€˜(((2 / ๐‘) ยท ๐‘š) ยท (i ยท ฯ€)))))
14985, 101, 1483eqtr4d 2783 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘)) = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))))
150 eflog 26085 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
15142, 43, 150syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
152151adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
153149, 152eqeq12d 2749 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((expโ€˜(((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘)) = (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด))
154 zmodfz 13858 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š mod ๐‘) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
155108, 121, 154syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š mod ๐‘) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
156 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) = ๐ด)
157 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = (๐‘š mod ๐‘) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘)))
158157oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (๐‘š mod ๐‘) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))))
159158eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (๐‘š mod ๐‘) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) = ๐ด โ†” (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด))
160156, 159bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘š mod ๐‘) โ†’ (๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†” (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด))
161160rspcev 3613 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘š mod ๐‘) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)))
162161ex 414 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š mod ๐‘) โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
163155, 162syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘š mod ๐‘))) = ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
164153, 163sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((expโ€˜(((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘)) = (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
16576, 164syl5 34 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) / ๐‘) = (logโ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
16675, 165sylbird 260 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
167166rexlimdva 3156 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) = ((logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) + ((i ยท (2 ยท ฯ€)) ยท ๐‘š)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
16858, 167mpd 15 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)))
169 oveq1 7416 . . . . . . 7 ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
170169oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)))
171170eqeq2d 2744 . . . . 5 ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ (๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†” ๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
172171rexbidv 3179 . . . 4 ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = (((๐ดโ†‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
173168, 172syl5ibcom 244 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
17441, 173pm2.61dane 3030 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
175 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
176 nnrecre 12254 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
1771763ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
178177recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
179175, 178cxpcld 26216 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
180179adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
181 elfznn0 13594 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
182 expcl 14045 . . . . . . 7 (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
18315, 181, 182syl2an 597 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
18410adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
185184nnnn0d 12532 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
186180, 183, 185mulexpd 14126 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))โ†‘๐‘) = (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) ยท (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)โ†‘๐‘)))
187175adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
188 cxproot 26198 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) = ๐ต)
189187, 184, 188syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) = ๐ต)
190181adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
191190nn0cnd 12534 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
192184nncnd 12228 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
193191, 192mulcomd 11235 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘›))
194193oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘› ยท ๐‘)) = ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘ ยท ๐‘›)))
19515adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
196195, 185, 190expmuld 14114 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘› ยท ๐‘)) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)โ†‘๐‘))
197195, 190, 185expmuld 14114 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘(๐‘ ยท ๐‘›)) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘๐‘›))
198194, 196, 1973eqtr3d 2781 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)โ†‘๐‘) = (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘๐‘›))
199184, 138syl 17 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘) = 1)
200199oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘)โ†‘๐‘›) = (1โ†‘๐‘›))
201 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
202201adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
203 1exp 14057 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
204202, 203syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
205198, 200, 2043eqtrd 2777 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)โ†‘๐‘) = 1)
206189, 205oveq12d 7427 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) ยท (((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)โ†‘๐‘)) = (๐ต ยท 1))
207187mulridd 11231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
208186, 206, 2073eqtrd 2777 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))โ†‘๐‘) = ๐ต)
209 oveq1 7416 . . . . 5 (๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))โ†‘๐‘))
210209eqeq1d 2735 . . . 4 (๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†” (((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))โ†‘๐‘) = ๐ต))
211208, 210syl5ibrcom 246 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต))
212211rexlimdva 3156 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต))
213174, 212impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) = ๐ต โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด = ((๐ตโ†‘๐‘(1 / ๐‘)) ยท ((-1โ†‘๐‘(2 / ๐‘))โ†‘๐‘›))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027  expce 16005  ฯ€cpi 16010  logclog 26063  โ†‘๐‘ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  1cubr  26347
  Copyright terms: Public domain W3C validator