MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpeq 26815
Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 12565 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 12918 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
53, 4eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 13568 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8 neg1cn 12378 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
9 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
10 simp2 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nndivre 12305 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
1312recnd 11287 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14 cxpcl 26731 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
158, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17 0nn0 12539 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
18 expcl 14117 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
2019mul02d 11457 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
2221oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
23 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = 𝐵)
2410expd 14176 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
2522, 23, 243eqtr3d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
2625oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑𝑐(1 / 𝑁)))
27 nncn 12272 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28 nnne0 12298 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29 reccl 11927 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30 recne0 11933 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
3129, 300cxpd 26767 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3426, 33eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3534oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3620, 35, 213eqtr4rd 2786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))
3837oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3938rspceeqv 3645 . . . . 5 ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
407, 36, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
4140expr 456 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
42 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
44 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
4544nnzd 12638 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 explog 26651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4742, 43, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4847eqcomd 2741 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁))
4910nncnd 12280 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5142, 43logcld 26627 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11279 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
5344nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5442, 53expcld 14183 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5542, 43, 45expne0d 14189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
56 eflogeq 26659 . . . . . . 7 (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5752, 54, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5848, 57mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
5954, 55logcld 26627 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
6059adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
61 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
62 2cn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
63 picn 26516 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6462, 63mulcli 11266 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
6561, 64mulcli 11266 . . . . . . . . . 10 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
66 zcn 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
68 mulcl 11237 . . . . . . . . . 10 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
6965, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
7060, 69addcld 11278 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7150adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7251adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7310nnne0d 12314 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
7570, 71, 72, 74divmuld 12063 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
76 fveq2 6907 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
7771, 74reccld 12034 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7877, 60mulcld 11279 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
7913ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
8079, 67mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
8161, 63mulcli 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
82 mulcl 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
8380, 81, 82sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84 efadd 16127 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8578, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8660, 69, 71, 74divdird 12079 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
8760, 71, 74divrec2d 12045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))))
8865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
8988, 67, 71, 74div23d 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
9061, 62, 63mul12i 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
9190oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
9262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
9492, 93, 71, 74div23d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9591, 94eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9695oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
9779, 93, 67mul32d 11469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9889, 96, 973eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9987, 98oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
10086, 99eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101100fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
10254adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
10355adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
104102, 103, 77cxpefd 26769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))))
1058a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
106 neg1ne0 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
108 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
109105, 107, 79, 108cxpmul2zd 26773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
110105, 107, 80cxpefd 26769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
111 logm1 26646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (log‘-1) = (i · π)
112111oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
113112fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
114110, 113eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
115105, 79cxpcld 26765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
117106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
118116, 117, 13cxpne0d 26770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
119118ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120115, 119, 108expclzd 14188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
12144adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
122108, 121zmodcld 13929 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
123115, 122expcld 14183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
124122nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
125115, 119, 124expne0d 14189 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
126115, 119, 124, 108expsubd 14194 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
127121nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
129121nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
130 moddifz 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
131128, 129, 130syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
132 expmulz 14146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
133115, 119, 127, 131, 132syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
134122nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
13567, 134subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
136135, 71, 74divcan2d 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
138 root1id 26812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
139121, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
140139oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
141 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
142131, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
143140, 142eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144133, 137, 1433eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
145126, 144eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
146120, 123, 125, 145diveq1d 12049 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
147109, 114, 1463eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
148104, 147oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
14985, 101, 1483eqtr4d 2785 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
150 eflog 26633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15142, 43, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
152151adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153149, 152eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
154 zmodfz 13930 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
155108, 121, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
156 eqcom 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
157 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
159158eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
160156, 159bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
161160rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
162161ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
163155, 162syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
164153, 163sylbid 240 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16576, 164syl5 34 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16675, 165sylbird 260 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
167166rexlimdva 3153 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16858, 167mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
169 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵𝑐(1 / 𝑁)))
170169oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
171170eqeq2d 2746 . . . . 5 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
172171rexbidv 3177 . . . 4 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
173168, 172syl5ibcom 245 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
17441, 173pm2.61dane 3027 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
175 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
176 nnrecre 12306 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1771763ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
178177recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
179175, 178cxpcld 26765 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
180179adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
181 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
182 expcl 14117 . . . . . . 7 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18315, 181, 182syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18410adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
185184nnnn0d 12585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
186180, 183, 185mulexpd 14198 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
187175adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
188 cxproot 26747 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
189187, 184, 188syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
190181adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
191190nn0cnd 12587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
192184nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
193191, 192mulcomd 11280 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
194193oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
19515adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
196195, 185, 190expmuld 14186 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
197195, 190, 185expmuld 14186 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
198194, 196, 1973eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
199184, 138syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
200199oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
201 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
202201adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
203 1exp 14129 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
204202, 203syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
205198, 200, 2043eqtrd 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
206189, 205oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
207187mulridd 11276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
208186, 206, 2073eqtrd 2779 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
209 oveq1 7438 . . . . 5 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
210209eqeq1d 2737 . . . 4 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
211208, 210syl5ibrcom 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
212211rexlimdva 3153 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
213174, 212impbid 212 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  ...cfz 13544   mod cmo 13906  cexp 14099  expce 16094  πcpi 16099  logclog 26611  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by:  1cubr  26900
  Copyright terms: Public domain W3C validator