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Theorem cxpeq 26667

Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑_𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
cxpeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝐵,𝑛 𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 12483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
4		nn0uz 12835	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
5	3, 4	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
6		eluzfz1 13492	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8		neg1cn 12171	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		2re 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nndivre 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14		cxpcl 26583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
15	8, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17		0nn0 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
18		expcl 14044	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
20	19	mul02d 11372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵)
24	1	0expd 14104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
25	22, 23, 24	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
26	25	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑_𝑐(1 / 𝑁)))
27		nncn 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28		nnne0 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29		reccl 11844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30		recne0 11850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
31	29, 30	0cxpd 26619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
32	27, 28, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
34	26, 33	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
35	34	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
36	20, 35, 21	3eqtr4rd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0))
38	37	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
39	38	rspceeqv 3611	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
40	7, 36, 39	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
41	40	expr 456	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
42		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
44		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
45	44	nnzd 12556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		explog 26503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
47	42, 43, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
48	47	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁))
49	10	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	42, 43	logcld 26479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
53	44	nnnn0d 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
54	42, 53	expcld 14111	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
55	42, 43, 45	expne0d 14117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
56		eflogeq 26511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
57	52, 54, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
58	48, 57	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
59	54, 55	logcld 26479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
61		ax-icn 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
62		2cn 12261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
63		picn 26367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
64	62, 63	mulcli 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
65	61, 64	mulcli 11181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
66		zcn 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
68		mulcl 11152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
69	65, 67, 68	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
70	60, 69	addcld 11193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
71	50	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
72	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
73	10	nnne0d 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
75	70, 71, 72, 74	divmuld 11980	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
76		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
77	71, 74	reccld 11951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
78	77, 60	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ)
79	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
80	79, 67	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
81	61, 63	mulcli 11181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
82		mulcl 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
83	80, 81, 82	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84		efadd 16060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
85	78, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
86	60, 69, 71, 74	divdird 11996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
87	60, 71, 74	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))))
88	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
89	88, 67, 71, 74	div23d 11995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
90	61, 62, 63	mul12i 11369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
91	90	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
92	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
93	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
94	92, 93, 71, 74	div23d 11995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
95	91, 94	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
96	95	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
97	79, 93, 67	mul32d 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
98	89, 96, 97	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
99	87, 98	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
100	86, 99	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101	100	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
102	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
103	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
104	102, 103, 77	cxpefd 26621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))))
105	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
106		neg1ne0 12173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
108		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
109	105, 107, 79, 108	cxpmul2zd 26625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
110	105, 107, 80	cxpefd 26621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
111		logm1 26498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
112	111	oveq2i 7398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
113	112	fveq2i 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
114	110, 113	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
115	105, 79	cxpcld 26617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
116	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
117	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
118	116, 117, 13	cxpne0d 26622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
119	118	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120	115, 119, 108	expclzd 14116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
121	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
122	108, 121	zmodcld 13854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
123	115, 122	expcld 14111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
124	122	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
125	115, 119, 124	expne0d 14117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
126	115, 119, 124, 108	expsubd 14122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
127	121	nnzd 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
129	121	nnrpd 12993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
130		moddifz 13845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
131	128, 129, 130	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
132		expmulz 14073	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
133	115, 119, 127, 131, 132	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
134	122	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
135	67, 134	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
136	135, 71, 74	divcan2d 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
137	136	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
138		root1id 26664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
139	121, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
140	139	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
141		1exp 14056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
142	131, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
143	140, 142	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144	133, 137, 143	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
145	126, 144	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
146	120, 123, 125, 145	diveq1d 11966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
147	109, 114, 146	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
148	104, 147	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
149	85, 101, 148	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
150		eflog 26485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
151	42, 43, 150	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153	149, 152	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
154		zmodfz 13855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
155	108, 121, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
156		eqcom 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
157		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
158	157	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
159	158	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
160	156, 159	bitrid 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
161	160	rspcev 3588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
162	161	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
163	155, 162	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
164	153, 163	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
165	76, 164	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
166	75, 165	sylbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
167	166	rexlimdva 3134	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
168	58, 167	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
169		oveq1 7394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)))
170	169	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
171	170	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
172	171	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
173	168, 172	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
174	41, 173	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
175		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
176		nnrecre 12228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
177	176	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
178	177	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
179	175, 178	cxpcld 26617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
180	179	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
181		elfznn0 13581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
182		expcl 14044	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
183	15, 181, 182	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
184	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
185	184	nnnn0d 12503	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
186	180, 183, 185	mulexpd 14126	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
187	175	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
188		cxproot 26599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
189	187, 184, 188	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
190	181	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
191	190	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
192	184	nncnd 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
193	191, 192	mulcomd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
194	193	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
195	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
196	195, 185, 190	expmuld 14114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
197	195, 190, 185	expmuld 14114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
198	194, 196, 197	3eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
199	184, 138	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
200	199	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
201		elfzelz 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
202	201	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
203		1exp 14056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
204	202, 203	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
205	198, 200, 204	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
206	189, 205	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
207	187	mulridd 11191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
208	186, 206, 207	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
209		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
210	209	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
211	208, 210	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵))
212	211	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵))
213	174, 212	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 ici 11070 + caddc 11071 · cmul 11073 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℤ_≥cuz 12793 ℝ⁺crp 12951 ...cfz 13468 mod cmo 13831 ↑cexp 14026 expce 16027 πcpi 16032 logclog 26463 ↑_𝑐ccxp 26464

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5234 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-inf2 9594 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146 ax-addf 11147

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-int 4911 df-iun 4957 df-iin 4958 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-se 5592 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-isom 6520 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-of 7653 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8140 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-er 8671 df-map 8801 df-pm 8802 df-ixp 8871 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-fsupp 9313 df-fi 9362 df-sup 9393 df-inf 9394 df-oi 9463 df-card 9892 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-xneg 13072 df-xadd 13073 df-xmul 13074 df-ioo 13310 df-ioc 13311 df-ico 13312 df-icc 13313 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15033 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-limsup 15437 df-clim 15454 df-rlim 15455 df-sum 15653 df-ef 16033 df-sin 16035 df-cos 16036 df-pi 16038 df-struct 17117 df-sets 17134 df-slot 17152 df-ndx 17164 df-base 17180 df-ress 17201 df-plusg 17233 df-mulr 17234 df-starv 17235 df-sca 17236 df-vsca 17237 df-ip 17238 df-tset 17239 df-ple 17240 df-ds 17242 df-unif 17243 df-hom 17244 df-cco 17245 df-rest 17385 df-topn 17386 df-0g 17404 df-gsum 17405 df-topgen 17406 df-pt 17407 df-prds 17410 df-xrs 17465 df-qtop 17470 df-imas 17471 df-xps 17473 df-mre 17547 df-mrc 17548 df-acs 17550 df-mgm 18567 df-sgrp 18646 df-mnd 18662 df-submnd 18711 df-mulg 19000 df-cntz 19249 df-cmn 19712 df-psmet 21256 df-xmet 21257 df-met 21258 df-bl 21259 df-mopn 21260 df-fbas 21261 df-fg 21262 df-cnfld 21265 df-top 22781 df-topon 22798 df-topsp 22820 df-bases 22833 df-cld 22906 df-ntr 22907 df-cls 22908 df-nei 22985 df-lp 23023 df-perf 23024 df-cn 23114 df-cnp 23115 df-haus 23202 df-tx 23449 df-hmeo 23642 df-fil 23733 df-fm 23825 df-flim 23826 df-flf 23827 df-xms 24208 df-ms 24209 df-tms 24210 df-cncf 24771 df-limc 25767 df-dv 25768 df-log 26465 df-cxp 26466

This theorem is referenced by: 1cubr 26752

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