MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpeq 26194
Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnm1nn0 12497 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4 nn0uz 12848 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
53, 4eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0))
6 eluzfz1 13492 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8 neg1cn 12310 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
9 2re 12270 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
10 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 nndivre 12237 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
129, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
1312recnd 11226 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14 cxpcl 26113 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
158, 13, 14sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17 0nn0 12471 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
18 expcl 14029 . . . . . . . 8 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
2019mul02d 11396 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
2221oveq1d 7409 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = (0↑𝑁))
23 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐴𝑁) = 𝐵)
2410expd 14088 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
2522, 23, 243eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
2625oveq1d 7409 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑𝑐(1 / 𝑁)))
27 nncn 12204 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28 nnne0 12230 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29 reccl 11863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30 recne0 11869 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
3129, 300cxpd 26149 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3227, 28, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3426, 33eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
3534oveq1d 7409 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3620, 35, 213eqtr4rd 2783 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37 oveq2 7402 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))
3837oveq2d 7410 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
3938rspceeqv 3630 . . . . 5 ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
407, 36, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
4140expr 457 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
42 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
44 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
4544nnzd 12569 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 explog 26033 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4742, 43, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
4847eqcomd 2738 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁))
4910nncnd 12212 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5049adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5142, 43logcld 26010 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11218 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
5344nnnn0d 12516 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5442, 53expcld 14095 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
5542, 43, 45expne0d 14101 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
56 eflogeq 26041 . . . . . . 7 (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5752, 54, 55, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
5848, 57mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
5954, 55logcld 26010 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
61 ax-icn 11153 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
62 2cn 12271 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
63 picn 25900 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
6462, 63mulcli 11205 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
6561, 64mulcli 11205 . . . . . . . . . 10 (i · (2 · π)) ∈ ℂ
66 zcn 12547 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
6766adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
68 mulcl 11178 . . . . . . . . . 10 (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
6965, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
7060, 69addcld 11217 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7150adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
7251adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7310nnne0d 12246 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
7473ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
7570, 71, 72, 74divmuld 11996 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
76 fveq2 6879 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
7771, 74reccld 11967 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7877, 60mulcld 11218 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
7913ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
8079, 67mulcld 11218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
8161, 63mulcli 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
82 mulcl 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
8380, 81, 82sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84 efadd 16021 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8578, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
8660, 69, 71, 74divdird 12012 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
8760, 71, 74divrec2d 11978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))))
8865a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
8988, 67, 71, 74div23d 12011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
9061, 62, 63mul12i 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
9190oveq1i 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
9262a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
9492, 93, 71, 74div23d 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9591, 94eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
9695oveq1d 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
9779, 93, 67mul32d 11408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9889, 96, 973eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
9987, 98oveq12d 7412 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
10086, 99eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101100fveq2d 6883 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
10254adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
10355adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
104102, 103, 77cxpefd 26151 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))))
1058a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
106 neg1ne0 12312 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
108 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
109105, 107, 79, 108cxpmul2zd 26155 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
110105, 107, 80cxpefd 26151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
111 logm1 26028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (log‘-1) = (i · π)
112111oveq2i 7405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
113112fveq2i 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
114110, 113eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
115105, 79cxpcld 26147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
1168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
117106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
118116, 117, 13cxpne0d 26152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
119118ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120115, 119, 108expclzd 14100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
12144adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
122108, 121zmodcld 13841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ0)
123115, 122expcld 14095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
124122nn0zd 12568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
125115, 119, 124expne0d 14101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
126115, 119, 124, 108expsubd 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
127121nnzd 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
128 zre 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
129121nnrpd 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
130 moddifz 13832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
131128, 129, 130syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
132 expmulz 14058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
133115, 119, 127, 131, 132syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
134122nn0cnd 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
13567, 134subcld 11555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
136135, 71, 74divcan2d 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
137136oveq2d 7410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
138 root1id 26191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
139121, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
140139oveq1d 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
141 1exp 14041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
142131, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
143140, 142eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144133, 137, 1433eqtr3d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
145126, 144eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
146120, 123, 125, 145diveq1d 11982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
147109, 114, 1463eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
148104, 147oveq12d 7412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
14985, 101, 1483eqtr4d 2782 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
150 eflog 26016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15142, 43, 150syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
152151adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153149, 152eqeq12d 2748 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
154 zmodfz 13842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
155108, 121, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
156 eqcom 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
157 oveq2 7402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
158157oveq2d 7410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
159158eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
160156, 159bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
161160rspcev 3610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
162161ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
163155, 162syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
164153, 163sylbid 239 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16576, 164syl5 34 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16675, 165sylbird 259 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
167166rexlimdva 3155 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
16858, 167mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
169 oveq1 7401 . . . . . . 7 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵𝑐(1 / 𝑁)))
170169oveq1d 7409 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
171170eqeq2d 2743 . . . . 5 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
172171rexbidv 3178 . . . 4 ((𝐴𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
173168, 172syl5ibcom 244 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
17441, 173pm2.61dane 3029 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
175 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
176 nnrecre 12238 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
1771763ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
178177recnd 11226 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
179175, 178cxpcld 26147 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
180179adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
181 elfznn0 13578 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
182 expcl 14029 . . . . . . 7 (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18315, 181, 182syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
18410adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
185184nnnn0d 12516 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
186180, 183, 185mulexpd 14110 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
187175adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
188 cxproot 26129 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
189187, 184, 188syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
190181adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
191190nn0cnd 12518 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
192184nncnd 12212 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
193191, 192mulcomd 11219 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
194193oveq2d 7410 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
19515adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
196195, 185, 190expmuld 14098 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
197195, 190, 185expmuld 14098 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
198194, 196, 1973eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
199184, 138syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
200199oveq1d 7409 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
201 elfzelz 13485 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
202201adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
203 1exp 14041 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
204202, 203syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
205198, 200, 2043eqtrd 2776 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
206189, 205oveq12d 7412 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
207187mulridd 11215 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
208186, 206, 2073eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
209 oveq1 7401 . . . . 5 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
210209eqeq1d 2734 . . . 4 (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
211208, 210syl5ibrcom 246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
212211rexlimdva 3155 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴𝑁) = 𝐵))
213174, 212impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  cfv 6533  (class class class)co 7394  cc 11092  cr 11093  0cc0 11094  1c1 11095  ici 11096   + caddc 11097   · cmul 11099  cmin 11428  -cneg 11429   / cdiv 11855  cn 12196  2c2 12251  0cn0 12456  cz 12542  cuz 12806  +crp 12958  ...cfz 13468   mod cmo 13818  cexp 14011  expce 15989  πcpi 15994  logclog 25994  𝑐ccxp 25995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-fi 9390  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ioo 13312  df-ioc 13313  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-mod 13819  df-seq 13951  df-exp 14012  df-fac 14218  df-bc 14247  df-hash 14275  df-shft 14998  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-limsup 15399  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-ef 15995  df-sin 15997  df-cos 15998  df-pi 16000  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17352  df-topn 17353  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-topgen 17373  df-pt 17374  df-prds 17377  df-xrs 17432  df-qtop 17437  df-imas 17438  df-xps 17440  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-submnd 18650  df-mulg 18925  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-fbas 20877  df-fg 20878  df-cnfld 20881  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-cld 22454  df-ntr 22455  df-cls 22456  df-nei 22533  df-lp 22571  df-perf 22572  df-cn 22662  df-cnp 22663  df-haus 22750  df-tx 22997  df-hmeo 23190  df-fil 23281  df-fm 23373  df-flim 23374  df-flf 23375  df-xms 23757  df-ms 23758  df-tms 23759  df-cncf 24325  df-limc 25314  df-dv 25315  df-log 25996  df-cxp 25997
This theorem is referenced by:  1cubr  26276
  Copyright terms: Public domain W3C validator