Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mvtinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvtinf 34546
Description: Each variable typecode has infinitely many variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvtinf.f 𝐹 = (mVTβ€˜π‘‡)
mvtinf.y π‘Œ = (mTypeβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mvtinf ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}) ∈ Fin)

Proof of Theorem mvtinf
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
2 eqid 2733 . . . . 5 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
3 mvtinf.y . . . . 5 π‘Œ = (mTypeβ€˜π‘‡)
4 mvtinf.f . . . . 5 𝐹 = (mVTβ€˜π‘‡)
5 eqid 2733 . . . . 5 (mTCβ€˜π‘‡) = (mTCβ€˜π‘‡)
6 eqid 2733 . . . . 5 (mAxβ€˜π‘‡) = (mAxβ€˜π‘‡)
7 eqid 2733 . . . . 5 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismfs 34540 . . . 4 (𝑇 ∈ mFS β†’ (𝑇 ∈ mFS ↔ ((((mCNβ€˜π‘‡) ∩ (mVRβ€˜π‘‡)) = βˆ… ∧ π‘Œ:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mTCβ€˜π‘‡)) ∧ ((mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin))))
98ibi 267 . . 3 (𝑇 ∈ mFS β†’ ((((mCNβ€˜π‘‡) ∩ (mVRβ€˜π‘‡)) = βˆ… ∧ π‘Œ:(mVRβ€˜π‘‡)⟢(mTCβ€˜π‘‡)) ∧ ((mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin)))
109simprrd 773 . 2 (𝑇 ∈ mFS β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin)
11 sneq 4639 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑋 β†’ {𝑣} = {𝑋})
1211imaeq2d 6060 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 β†’ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) = (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}))
1312eleq1d 2819 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 β†’ ((β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin ↔ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}) ∈ Fin))
1413notbid 318 . . 3 (𝑣 = 𝑋 β†’ (Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin ↔ Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}) ∈ Fin))
1514rspccva 3612 . 2 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐹 Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑣}) ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}) ∈ Fin)
1610, 15sylan 581 1 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑋 ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (β—‘π‘Œ β€œ {𝑋}) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  mCNcmcn 34451  mVRcmvar 34452  mTypecmty 34453  mVTcmvt 34454  mTCcmtc 34455  mAxcmax 34456  mStatcmsta 34466  mFScmfs 34467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-mfs 34487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator