Theorem nlim1NEW 43625

Description: 1 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.) (Proof shortened by RP, 13-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim1NEW	⊢ ¬ Lim 1o

Proof of Theorem nlim1NEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6370	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
2		nlimsuc 43624	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim suc ∅)
3		df-1o 8395	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
4		limeq 6327	. . . 4 ⊢ (1o = suc ∅ → (Lim 1o ↔ Lim suc ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim 1o ↔ Lim suc ∅)
6	2, 5	sylnibr 329	. 2 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim 1o)
7	1, 6	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ Lim 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  Oncon0 6315  Lim wlim 6316  suc csuc 6317  1_oc1o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-1o 8395

This theorem is referenced by: (None)