Theorem nlim1NEW 43483

Description: 1 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.) (Proof shortened by RP, 13-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim1NEW	⊢ ¬ Lim 1o

Proof of Theorem nlim1NEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6361	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
2		nlimsuc 43482	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim suc ∅)
3		df-1o 8385	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
4		limeq 6318	. . . 4 ⊢ (1o = suc ∅ → (Lim 1o ↔ Lim suc ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim 1o ↔ Lim suc ∅)
6	2, 5	sylnibr 329	. 2 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim 1o)
7	1, 6	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ Lim 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  suc csuc 6308  1_oc1o 8378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-1o 8385

This theorem is referenced by: (None)