Theorem nlim1NEW 43431

Description: 1 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.) (Proof shortened by RP, 13-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim1NEW	⊢ ¬ Lim 1o

Proof of Theorem nlim1NEW

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6387	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
2		nlimsuc 43430	. . 3 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim suc ∅)
3		df-1o 8434	. . . 4 ⊢ 1o = suc ∅
4		limeq 6344	. . . 4 ⊢ (1o = suc ∅ → (Lim 1o ↔ Lim suc ∅))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Lim 1o ↔ Lim suc ∅)
6	2, 5	sylnibr 329	. 2 ⊢ (∅ ∈ On → ¬ Lim 1o)
7	1, 6	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ Lim 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4296  Oncon0 6332  Lim wlim 6333  suc csuc 6334  1_oc1o 8427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-1o 8434

This theorem is referenced by: (None)