MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0elon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0elon 6216
Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)
Assertion
Ref Expression
0elon ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon
StepHypRef Expression
1 ord0 6215 . 2 Ord ∅
2 0ex 5178 . . 3 ∅ ∈ V
32elon 6172 . 2 (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
41, 3mpbir 234 1 ∅ ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2112  c0 4246  Ord word 6162  Oncon0 6163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-nul 5177
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-pw 4502  df-uni 4804  df-tr 5140  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-ord 6166  df-on 6167
This theorem is referenced by:  inton  6220  onn0  6227  on0eqel  6280  orduninsuc  7542  onzsl  7545  smofvon2  7980  tfrlem16  8016  1on  8096  ordgt0ge1  8109  oa0  8128  om0  8129  oe0m  8130  oe0m0  8132  oe0  8134  oesuclem  8137  omcl  8148  oecl  8149  oa0r  8150  om0r  8151  oaord1  8164  oaword1  8165  oaword2  8166  oawordeu  8168  oa00  8172  odi  8192  oeoa  8210  oeoe  8212  nna0r  8222  nnm0r  8223  card2on  9006  card2inf  9007  harcl  9011  cantnfvalf  9116  rankon  9212  cardon  9361  card0  9375  alephon  9484  alephgeom  9497  alephfplem1  9519  djufi  9601  ttukeylem4  9927  ttukeylem7  9930  cfpwsdom  9999  inar1  10190  rankcf  10192  gruina  10233  bnj168  32108  rdgprc0  33146  sltval2  33271  sltsolem1  33288  nosepnelem  33292  nodense  33304  nolt02o  33307  bdayelon  33354  rankeq1o  33740  0hf  33746  onsucconn  33894  onsucsuccmp  33900  finxp1o  34804  finxpreclem4  34806  harn0  40033  aleph1min  40243
  Copyright terms: Public domain W3C validator