Theorem 0elon 6407

Description: The empty set is an ordinal number. Corollary 7N(b) of [Enderton] p. 193. Remark 1.5 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 17-Sep-1993.)

Assertion

Ref	Expression
0elon	⊢ ∅ ∈ On

Proof of Theorem 0elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ord0 6406	. 2 ⊢ Ord ∅
2		0ex 5277	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3	2	elon 6361	. 2 ⊢ (∅ ∈ On ↔ Ord ∅)
4	1, 3	mpbir 231	1 ⊢ ∅ ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  Ord word 6351  Oncon0 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-nul 5276

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-tr 5230  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-ord 6355  df-on 6356

This theorem is referenced by:  inton  6411  onn0  6418  on0eqel  6478  orduninsuc  7838  onzsl  7841  peano1  7884  smofvon2  8370  tfrlem16  8407  rdg0n  8448  1on  8492  1onOLD  8493  ordgt0ge1  8505  oa0  8528  om0  8529  oe0m  8530  oe0m0  8532  oe0  8534  oesuclem  8537  omcl  8548  oecl  8549  oa0r  8550  om0r  8551  oaord1  8563  oaword1  8564  oaword2  8565  oawordeu  8567  oa00  8571  odi  8591  oeoa  8609  oeoe  8611  nna0r  8621  nnm0r  8622  naddrid  8695  naddlid  8696  naddword1  8703  card2on  9568  card2inf  9569  harcl  9573  cantnfvalf  9679  rankon  9809  cardon  9958  card0  9972  alephon  10083  alephgeom  10096  alephfplem1  10118  djufi  10201  ttukeylem4  10526  ttukeylem7  10529  cfpwsdom  10598  inar1  10789  rankcf  10791  gruina  10832  sltval2  27620  sltsolem1  27639  nosepnelem  27643  nodense  27656  nolt02o  27659  bdayelon  27740  cuteq1  27798  old0  27819  made0  27837  old1  27839  mulsproplem2  28072  mulsproplem3  28073  mulsproplem4  28074  mulsproplem5  28075  mulsproplem6  28076  mulsproplem7  28077  mulsproplem8  28078  mulsproplem12  28082  mulsproplem13  28083  mulsproplem14  28084  precsexlem1  28161  precsexlem2  28162  bnj168  34761  rdgprc0  35811  rankeq1o  36189  0hf  36195  onsucconn  36456  onsucsuccmp  36462  finxp1o  37410  finxpreclem4  37412  harn0  43126  onexoegt  43268  ordeldif1o  43284  oe0suclim  43301  oaordnr  43320  nnoeomeqom  43336  oenass  43343  omabs2  43356  omcl3g  43358  naddcnff  43386  nadd2rabex  43410  safesnsupfiss  43439  safesnsupfidom1o  43441  safesnsupfilb  43442  0no  43459  nlim1NEW  43466  aleph1min  43581  wfaxrep  45019  wfaxnul  45021