Theorem onintrab 7735

Description: The intersection of a class of ordinal numbers exists iff it is an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab	⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 5284	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		ssrab2 4029	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On
3		oninton 7734	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
4	2, 3	mpan 690	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
5	1, 4	sylbir 235	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
6		elex 3457	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
7	5, 6	impbii 209	1 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  ∩ cint 4897  Oncon0 6312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6315  df-on 6316

This theorem is referenced by:  onintrab2  7736  sltval2  27601  sltres  27607