Theorem onintrab 7781

Description: The intersection of a class of ordinal numbers exists iff it is an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab	⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 5330	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		ssrab2 4072	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On
3		oninton 7780	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
4	2, 3	mpan 687	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
5	1, 4	sylbir 234	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
6		elex 3487	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
7	5, 6	impbii 208	1 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ∩ cint 4943  Oncon0 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6361  df-on 6362

This theorem is referenced by:  onintrab2  7782  sltval2  27544  sltres  27550