Theorem onintrab 7807

Description: The intersection of a class of ordinal numbers exists iff it is an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab	⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 5343	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		ssrab2 4077	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On
3		oninton 7806	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
4	2, 3	mpan 688	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
5	1, 4	sylbir 234	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
6		elex 3492	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
7	5, 6	impbii 208	1 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ∩ cint 4953  Oncon0 6374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6377  df-on 6378

This theorem is referenced by:  onintrab2  7808  sltval2  27617  sltres  27623