Theorem onintrab 7810

Description: The intersection of a class of ordinal numbers exists iff it is an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab	⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 5304	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		ssrab2 4005	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On
3		oninton 7809	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
5	1, 4	sylbir 238	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
6		elex 3471	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
7	5, 6	impbii 212	1 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∩ cint 4906  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by:  onintrab2  7811  ltsval2  28018  ltsres  28024