Theorem onintrab 7834

Description: The intersection of a class of ordinal numbers exists iff it is an ordinal number. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onintrab	⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

Proof of Theorem onintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intex 5309	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
2		ssrab2 4008	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On
3		oninton 7833	. . . 4 ⊢ (({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
4	2, 3	mpan 703	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ≠ ∅ → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
5	1, 4	sylbir 238	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)
6		elex 3475	. 2 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V)
7	5, 6	impbii 212	1 ⊢ (∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ V ↔ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ 𝜑} ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∩ cint 4910  Oncon0 6380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6383  df-on 6384

This theorem is used by:  onintrab2  7835  ltsval2  28043  ltsres  28049