Theorem oninton 7750

Description: The intersection of a nonempty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 29-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
oninton	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7745	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴))
3		ssel 3929	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	syld 47	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ On))
5	4	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∩ cint 4904  Oncon0 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329

This theorem is referenced by:  onintrab  7751  onnmin  7753  onminex  7757  onmindif2  7762  iinon  8282  oawordeulem  8491  nnawordex  8575  tz9.12lem1  9711  rankf  9718  cardf2  9867  cff  10170  coftr  10195  ltsval2  27636  nocvxminlem  27762  dnnumch3lem  43397  dnnumch3  43398  onintunirab  43578  oninfint  43587  oninfcl2  43589  naddwordnexlem4  43752