Theorem oninton 7745

Description: The intersection of a nonempty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 29-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
oninton	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2	1	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴))
3		ssel 3916	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	syld 47	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ On))
5	4	imp 407	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ∩ cint 4884  Oncon0 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-br 5080  df-opab 5142  df-tr 5187  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6320  df-on 6321

This theorem is referenced by:  onintrab  7746  onnmin  7748  onminex  7752  onmindif2  7757  iinon  8277  oawordeulem  8486  nnawordex  8570  tz9.12lem1  9709  rankf  9716  cardf2  9865  cff  10168  coftr  10193  ltsval2  27645  nocvxminlem  27771  dnnumch3lem  43498  dnnumch3  43499  onintunirab  43679  oninfint  43688  oninfcl2  43690  naddwordnexlem4  43853