Theorem oninton 7789

Description: The intersection of a nonempty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 29-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
oninton	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2	1	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴))
3		ssel 3952	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	syld 47	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ On))
5	4	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∩ cint 4922  Oncon0 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-ord 6355  df-on 6356

This theorem is referenced by:  onintrab  7790  onnmin  7792  onminex  7796  onmindif2  7801  iinon  8354  oawordeulem  8566  nnawordex  8649  tz9.12lem1  9801  rankf  9808  cardf2  9957  cff  10262  coftr  10287  sltval2  27620  nocvxminlem  27741  dnnumch3lem  43070  dnnumch3  43071  onintunirab  43251  oninfint  43260  oninfcl2  43262  naddwordnexlem4  43425