Theorem oninton 7799

Description: The intersection of a nonempty collection of ordinal numbers is an ordinal number. Compare Exercise 6 of [TakeutiZaring] p. 44. (Contributed by NM, 29-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
oninton	⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem oninton

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 7794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
2	1	ex 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴))
3		ssel 3970	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 ∈ On))
4	2, 3	syld 47	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (𝐴 ≠ ∅ → ∩ 𝐴 ∈ On))
5	4	imp 405	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ∩ cint 4950  Oncon0 6371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-ord 6374  df-on 6375

This theorem is referenced by:  onintrab  7800  onnmin  7802  onminex  7806  onmindif2  7811  iinon  8361  oawordeulem  8575  nnawordex  8658  tz9.12lem1  9812  rankf  9819  cardf2  9968  cff  10273  coftr  10298  sltval2  27635  nocvxminlem  27756  dnnumch3lem  42612  dnnumch3  42613  onintunirab  42797  oninfint  42806  oninfcl2  42808  naddwordnexlem4  42973