Theorem onpsssuc 7744

Description: An ordinal number is a proper subset of its successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onpsssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Proof of Theorem onpsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6385	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6312	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7739	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6330	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2110   ⊊ wpss 3901  Ord word 6301  Oncon0 6302  suc csuc 6304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-ord 6305  df-on 6306  df-suc 6308

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10116