Theorem onpsssuc 7774

Description: An ordinal number is a proper subset of its successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onpsssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Proof of Theorem onpsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6330	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7768	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6348	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ⊊ wpss 3912  Ord word 6319  Oncon0 6320  suc csuc 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10162