Theorem onpsssuc 7755

Description: An ordinal number is a proper subset of its successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onpsssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Proof of Theorem onpsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6395	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7750	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6340	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   ⊊ wpss 3898  Ord word 6311  Oncon0 6312  suc csuc 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6315  df-on 6316  df-suc 6318

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10130