Theorem onpsssuc 7855

Description: An ordinal number is a proper subset of its successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onpsssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Proof of Theorem onpsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6476	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6405	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7849	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6423	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   ⊊ wpss 3977  Ord word 6394  Oncon0 6395  suc csuc 6397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10302