Theorem onpsssuc 7761

Description: An ordinal number is a proper subset of its successor. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
onpsssuc	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Proof of Theorem onpsssuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 6398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		eloni 6325	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7756	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5		ordelpss 6343	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
6	2, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	1, 6	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ⊊ wpss 3891  Ord word 6314  Oncon0 6315  suc csuc 6317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321

This theorem is referenced by:  ackbij1lem15  10144