Theorem ordsuc 7216

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 5918	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2		suceloni 7215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3		eloni 5920	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
5	1, 4	syl6bir 245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴))
6		sucidg 5988	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7		ordelord 5932	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
8	7	ex 401	. . . 4 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
9	6, 8	syl5com 31	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
10	5, 9	impbid 203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
11		sucprc 5985	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
12	11	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
13		ordeq 5917	. . 3 ⊢ (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
14	12, 13	syl 17	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
15	10, 14	pm2.61i 176	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 197   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350  Ord word 5909  Oncon0 5910  suc csuc 5912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pr 5064  ax-un 7151

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-ord 5913  df-on 5914  df-suc 5916

This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7217  sucelon  7219  ordsucss  7220  onpsssuc  7221  ordsucelsuc  7224  ordsucsssuc  7225  ordsucuniel  7226  ordsucun  7227  onsucuni2  7236  0elsuc  7237  nlimsucg  7244  limsssuc  7252  php4  8358  cantnflt  8788  fin23lem26  9404  hsmexlem1  9505  nosupres  32318  noetalem3  32330  onsuct0  32900