MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7803
Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7727. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuci 7798 . 2 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2 sucidg 6444 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 ordelord 6385 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
43ex 411 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
52, 4syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6 sucprc 6439 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
76eqcomd 2736 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8 ordeq 6370 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
97, 8syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
109biimprd 247 . . 3 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
115, 10pm2.61i 182 . 2 (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
121, 11impbii 208 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  Ord word 6362  suc csuc 6365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7805  onsucb  7807  ordsucss  7808  onpsssuc  7809  ordsucelsuc  7812  ordsucsssuc  7813  ordsucuniel  7814  ordsucun  7815  onsucuni2  7824  0elsuc  7825  nlimsucg  7833  limsssuc  7841  cofon1  8673  cofon2  8674  php4  9215  cantnflt  9669  fin23lem26  10322  hsmexlem1  10423  nosupres  27446  noetasuplem4  27475  noetainflem4  27479  scutbdaybnd2lim  27555  satfn  34644  onsuct0  35629  ordsssucim  42455  dfsucon  42576
  Copyright terms: Public domain W3C validator