MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7833
Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7754. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuci 7828 . 2 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2 sucidg 6467 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 ordelord 6408 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
43ex 412 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
52, 4syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6 sucprc 6462 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
76eqcomd 2741 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8 ordeq 6393 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
97, 8syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
109biimprd 248 . . 3 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
115, 10pm2.61i 182 . 2 (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
121, 11impbii 209 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  Ord word 6385  suc csuc 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7835  onsucb  7837  ordsucss  7838  onpsssuc  7839  ordsucelsuc  7842  ordsucsssuc  7843  ordsucuniel  7844  ordsucun  7845  onsucuni2  7854  0elsuc  7855  nlimsucg  7863  limsssuc  7871  cofon1  8709  cofon2  8710  php4  9248  cantnflt  9710  fin23lem26  10363  hsmexlem1  10464  nosupres  27767  noetasuplem4  27796  noetainflem4  27800  scutbdaybnd2lim  27877  satfn  35340  onsuct0  36424  ordsssucim  43392  dfsucon  43513
  Copyright terms: Public domain W3C validator