Theorem ordsuc 7810

Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7736. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuci 7807	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 6441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 6379	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 418	. . . 4 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6		sucprc 6436	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8		ordeq 6364	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
10	9	biimprd 251	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
11	5, 10	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
12	1, 11	impbii 212	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  Ord word 6356  suc csuc 6359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363

This theorem is used by:  ordpwsuc  7811  onsucb  7813  ordsucss  7814  onpsssuc  7815  ordsucelsuc  7818  ordsucsssuc  7819  ordsucuniel  7820  ordsucun  7821  onsucuni2  7830  0elsuc  7831  nlimsucg  7838  limsssuc  7846  cofon1  8660  cofon2  8661  php4  9204  cantnflt  9651  fin23lem26  10327  hsmexlem1  10428  nosupres  27943  noetasuplem4  27972  noetainflem4  27976  cutbdaybnd2lim  28062  satfn  35934  onsuct0  37060  ordsssucim  44243  dfsucon  44363