Theorem ordsuc 7816

Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7742. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuci 7813	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 6448	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 6386	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 418	. . . 4 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6		sucprc 6443	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8		ordeq 6371	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
10	9	biimprd 251	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
11	5, 10	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
12	1, 11	impbii 212	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  Ord word 6363  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370

This theorem is used by:  ordpwsuc  7817  onsucb  7819  ordsucss  7820  onpsssuc  7821  ordsucelsuc  7824  ordsucsssuc  7825  ordsucuniel  7826  ordsucun  7827  onsucuni2  7836  0elsuc  7837  nlimsucg  7844  limsssuc  7852  cofon1  8664  cofon2  8665  php4  9201  cantnflt  9648  fin23lem26  10324  hsmexlem1  10425  nosupres  27922  noetasuplem4  27951  noetainflem4  27955  cutbdaybnd2lim  28041  satfn  35884  onsuct0  37009  ordsssucim  44187  dfsucon  44307