MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7811
Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7735. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuci 7806 . 2 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2 sucidg 6446 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 ordelord 6387 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
43ex 411 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
52, 4syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6 sucprc 6441 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
76eqcomd 2732 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8 ordeq 6372 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
97, 8syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
109biimprd 247 . . 3 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
115, 10pm2.61i 182 . 2 (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
121, 11impbii 208 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  Ord word 6364  suc csuc 6367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5261  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7813  onsucb  7815  ordsucss  7816  onpsssuc  7817  ordsucelsuc  7820  ordsucsssuc  7821  ordsucuniel  7822  ordsucun  7823  onsucuni2  7832  0elsuc  7833  nlimsucg  7841  limsssuc  7849  cofon1  8691  cofon2  8692  php4  9237  cantnflt  9705  fin23lem26  10356  hsmexlem1  10457  nosupres  27731  noetasuplem4  27760  noetainflem4  27764  scutbdaybnd2lim  27841  satfn  35193  onsuct0  36163  ordsssucim  43103  dfsucon  43224
  Copyright terms: Public domain W3C validator