Theorem ordsuc 7823

Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7749. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuci 7820	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2		sucidg 6445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3		ordelord 6383	. . . . 5 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
4	3	ex 418	. . . 4 ⊢ (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
5	2, 4	syl5com 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6		sucprc 6440	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
7	6	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8		ordeq 6368	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
10	9	biimprd 251	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
11	5, 10	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
12	1, 11	impbii 212	1 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  Ord word 6360  suc csuc 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is used by:  ordpwsuc  7824  onsucb  7826  ordsucss  7827  onpsssuc  7828  ordsucelsuc  7831  ordsucsssuc  7832  ordsucuniel  7833  ordsucun  7834  onsucuni2  7843  0elsuc  7844  nlimsucg  7851  limsssuc  7859  cofon1  8674  cofon2  8675  php4  9218  cantnflt  9666  fin23lem26  10396  hsmexlem1  10497  nosupres  28057  noetasuplem4  28086  noetainflem4  28090  cutbdaybnd2lim  28176  satfn  36099  onsuct0  37209  ordsssucim  44388  dfsucon  44508