MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7385
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 6074 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2 suceloni 7384 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3 eloni 6076 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
51, 4syl6bir 255 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴))
6 sucidg 6144 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 ordelord 6088 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
87ex 413 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
96, 8syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
105, 9impbid 213 . 2 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
11 sucprc 6141 . . . 4 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1211eqcomd 2801 . . 3 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
13 ordeq 6073 . . 3 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1510, 14pm2.61i 183 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  Ord word 6065  Oncon0 6066  suc csuc 6068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-tr 5064  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-ord 6069  df-on 6070  df-suc 6072
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7386  sucelon  7388  ordsucss  7389  onpsssuc  7390  ordsucelsuc  7393  ordsucsssuc  7394  ordsucuniel  7395  ordsucun  7396  onsucuni2  7405  0elsuc  7406  nlimsucg  7413  limsssuc  7421  php4  8551  cantnflt  8981  fin23lem26  9593  hsmexlem1  9694  satfn  32211  nosupres  32817  noetalem3  32829  onsuct0  33399  dfsucon  39393
  Copyright terms: Public domain W3C validator