MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7165
Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 elong 5873 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2 suceloni 7164 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3 eloni 5875 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
51, 4syl6bir 244 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴))
6 sucidg 5945 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
7 ordelord 5887 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
87ex 397 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
96, 8syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
105, 9impbid 202 . 2 (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
11 sucprc 5942 . . . 4 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
1211eqcomd 2777 . . 3 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
13 ordeq 5872 . . 3 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
1510, 14pm2.61i 176 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  Ord word 5864  Oncon0 5865  suc csuc 5867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7166  sucelon  7168  ordsucss  7169  onpsssuc  7170  ordsucelsuc  7173  ordsucsssuc  7174  ordsucuniel  7175  ordsucun  7176  onsucuni2  7185  0elsuc  7186  nlimsucg  7193  limsssuc  7201  php4  8307  cantnflt  8737  fin23lem26  9353  hsmexlem1  9454  nosupres  32190  noetalem3  32202  onsuct0  32777
  Copyright terms: Public domain W3C validator