MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsuc 7833
Description: A class is ordinal if and only if its successor is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.) Avoid ax-un 7755. (Revised by BTernaryTau, 6-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ordsuc (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)

Proof of Theorem ordsuc
StepHypRef Expression
1 ordsuci 7828 . 2 (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
2 sucidg 6465 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
3 ordelord 6406 . . . . 5 ((Ord suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → Ord 𝐴)
43ex 412 . . . 4 (Ord suc 𝐴 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 → Ord 𝐴))
52, 4syl5com 31 . . 3 (𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
6 sucprc 6460 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → suc 𝐴 = 𝐴)
76eqcomd 2743 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐴 = suc 𝐴)
8 ordeq 6391 . . . . 5 (𝐴 = suc 𝐴 → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
97, 8syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
109biimprd 248 . . 3 𝐴 ∈ V → (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴))
115, 10pm2.61i 182 . 2 (Ord suc 𝐴 → Ord 𝐴)
121, 11impbii 209 1 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  Ord word 6383  suc csuc 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390
This theorem is referenced by:  ordpwsuc  7835  onsucb  7837  ordsucss  7838  onpsssuc  7839  ordsucelsuc  7842  ordsucsssuc  7843  ordsucuniel  7844  ordsucun  7845  onsucuni2  7854  0elsuc  7855  nlimsucg  7863  limsssuc  7871  cofon1  8710  cofon2  8711  php4  9250  cantnflt  9712  fin23lem26  10365  hsmexlem1  10466  nosupres  27752  noetasuplem4  27781  noetainflem4  27785  scutbdaybnd2lim  27862  satfn  35360  onsuct0  36442  ordsssucim  43415  dfsucon  43536
  Copyright terms: Public domain W3C validator