Theorem ordelsuc 7835

Description: A set belongs to an ordinal iff its successor is a subset of the ordinal. Exercise 8 of [TakeutiZaring] p. 42 and its converse. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelsuc	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordelsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsucss 7833	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		sucssel 6463	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐵))
5	2, 4	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  Ord word 6364  suc csuc 6367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371

This theorem is used by:  onsucmin  7836  onsucssi  7856  tfindsg2  7877  ordgt0ge1  8509  cantnflem1  9697  ttrcltr  9724  dmttrcl  9729  r1ordg  9792  r1val1  9800  rankonidlem  9845  rankxplim3  9905  bdayle  28311  ordeldifsucon  44398  ordeldif1o  44399  oaltom  44543  omltoe  44545