Theorem ackbij1lem15 10232

Description: Lemma for ackbij1 10236. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2		ackbij1lem3 10220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)
5		ackbij1lem1 10218	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
7		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑐) ⊆ 𝑐
8	6, 7	eqsstrdi 3982	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9		ackbij.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
10	9	ackbij1lem12 10229	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
11	3, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
12	9	ackbij1lem10 10227	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
13	12	ffvelcdmi 7082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘𝑐) ∈ ω)
14		nnon 7874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ω → (𝐹‘𝑐) ∈ On)
15		onpsssuc 7821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ On → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
16	3, 13, 14, 15	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
17	9	ackbij1lem14 10231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
19	18	psseq2d 4051	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐)))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22		inss1 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
23	9	ackbij1lem11 10228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
24	21, 22, 23	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25		ssun1 4131	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐))
26		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
27		ackbij1lem2 10219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
29	25, 28	sseqtrrid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
30	9	ackbij1lem12 10229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
31	24, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
32	20, 31	psssstrd 4068	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
33	11, 32	sspsstrd 4067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
34	33	pssned 4056	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
35	34	necomd 3015	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
36	35	neneqd 2965	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906   ⊊ wpss 3907  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ ciun 4958   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6540  ωcom 7868  Fincfn 8949  cardccrd 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941

This theorem is used by:  ackbij1lem16  10233