Theorem ackbij1lem15 10146

Description: Lemma for ackbij1 10150. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2		ackbij1lem3 10134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		simpr3 1203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)
5		ackbij1lem1 10132	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
7		inss2 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑐) ⊆ 𝑐
8	6, 7	eqsstrdi 3959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9		ackbij.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
10	9	ackbij1lem12 10143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
11	3, 8, 10	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
12	9	ackbij1lem10 10141	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
13	12	ffvelcdmi 7024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘𝑐) ∈ ω)
14		nnon 7812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ω → (𝐹‘𝑐) ∈ On)
15		onpsssuc 7759	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ On → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
16	3, 13, 14, 15	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
17	9	ackbij1lem14 10145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
19	18	psseq2d 4027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐)))
20	16, 19	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22		inss1 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
23	9	ackbij1lem11 10142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
24	21, 22, 23	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25		ssun1 4107	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐))
26		simpr2 1202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
27		ackbij1lem2 10133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
29	25, 28	sseqtrrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
30	9	ackbij1lem12 10143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
31	24, 29, 30	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
32	20, 31	psssstrd 4043	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
33	11, 32	sspsstrd 4042	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
34	33	pssned 4032	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
35	34	necomd 2989	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
36	35	neneqd 2939	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884  𝒫 cpw 4529  {csn 4555  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  Oncon0 6310  suc csuc 6312  ‘cfv 6485  ωcom 7806  Fincfn 8883  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10147