Theorem ackbij1lem15 10252

Description: Lemma for ackbij1 10256. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2		ackbij1lem3 10240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		simpr3 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)
5		ackbij1lem1 10238	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
7		inss2 4218	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑐) ⊆ 𝑐
8	6, 7	eqsstrdi 4008	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9		ackbij.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
10	9	ackbij1lem12 10249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
11	3, 8, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
12	9	ackbij1lem10 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
13	12	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘𝑐) ∈ ω)
14		nnon 7872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ω → (𝐹‘𝑐) ∈ On)
15		onpsssuc 7818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ On → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
16	3, 13, 14, 15	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
17	9	ackbij1lem14 10251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
19	18	psseq2d 4076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐)))
20	16, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22		inss1 4217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
23	9	ackbij1lem11 10248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
24	21, 22, 23	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25		ssun1 4158	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐))
26		simpr2 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
27		ackbij1lem2 10239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
29	25, 28	sseqtrrid 4007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
30	9	ackbij1lem12 10249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
31	24, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
32	20, 31	psssstrd 4092	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
33	11, 32	sspsstrd 4091	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
34	33	pssned 4081	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
35	34	necomd 2988	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
36	35	neneqd 2938	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3929   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   ⊊ wpss 3932  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ∪ ciun 4972   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6536  ωcom 7866  Fincfn 8964  cardccrd 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10253