MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem15 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ackbij1lem15 10231
Description: Lemma for ackbij1 10235. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑐,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑐,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ Ο‰)
2 ackbij1lem3 10219 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ Ο‰ β†’ 𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4 simpr3 1196 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)
5 ackbij1lem1 10217 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) = (𝐡 ∩ 𝑐))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) = (𝐡 ∩ 𝑐))
7 inss2 4229 . . . . . . 7 (𝐡 ∩ 𝑐) βŠ† 𝑐
86, 7eqsstrdi 4036 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝑐)
9 ackbij.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
109ackbij1lem12 10228 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
113, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
129ackbij1lem10 10226 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
1312ffvelcdmi 7085 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
14 nnon 7863 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ On)
15 onpsssuc 7809 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) ∈ On β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘))
163, 13, 14, 154syl 19 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘))
179ackbij1lem14 10230 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) = suc (πΉβ€˜π‘))
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) = suc (πΉβ€˜π‘))
1918psseq2d 4093 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜{𝑐}) ↔ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘)))
2016, 19mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜{𝑐}))
21 simpll 765 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
22 inss1 4228 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝐴
239ackbij1lem11 10227 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2421, 22, 23sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
25 ssun1 4172 . . . . . . . 8 {𝑐} βŠ† ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐))
26 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
27 ackbij1lem2 10218 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐)))
2925, 28sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ {𝑐} βŠ† (𝐴 ∩ suc 𝑐))
309ackbij1lem12 10228 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {𝑐} βŠ† (𝐴 ∩ suc 𝑐)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) βŠ† (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3124, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) βŠ† (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3220, 31psssstrd 4109 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3311, 32sspsstrd 4108 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3433pssned 4098 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) β‰  (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3534necomd 2996 . 2 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) β‰  (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
3635neneqd 2945 1 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   ⊊ wpss 3949  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Oncon0 6364  suc csuc 6366  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7857  Fincfn 8941  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator