Theorem ackbij1lem15 9687

Description: Lemma for ackbij1 9691. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2		ackbij1lem3 9675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		simpr3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)
5		ackbij1lem1 9673	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
7		inss2 4135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑐) ⊆ 𝑐
8	6, 7	eqsstrdi 3947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9		ackbij.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
10	9	ackbij1lem12 9684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
11	3, 8, 10	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
12	9	ackbij1lem10 9682	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
13	12	ffvelrni 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘𝑐) ∈ ω)
14		nnon 7586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ω → (𝐹‘𝑐) ∈ On)
15		onpsssuc 7534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ On → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
16	3, 13, 14, 15	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
17	9	ackbij1lem14 9686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
19	18	psseq2d 4000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐)))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22		inss1 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
23	9	ackbij1lem11 9683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
24	21, 22, 23	sylancl 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25		ssun1 4078	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐))
26		simpr2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
27		ackbij1lem2 9674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
29	25, 28	sseqtrrid 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
30	9	ackbij1lem12 9684	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
31	24, 29, 30	syl2anc 588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
32	20, 31	psssstrd 4016	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
33	11, 32	sspsstrd 4015	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
34	33	pssned 4005	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
35	34	necomd 3007	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
36	35	neneqd 2957	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   ⊊ wpss 3860  𝒫 cpw 4495  {csn 4523  ∪ ciun 4884   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523  Oncon0 6170  suc csuc 6172  ‘cfv 6336  ωcom 7580  Fincfn 8528  cardccrd 9390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9356  df-card 9394

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9688