Theorem ackbij1lem15 10212

Description: Lemma for ackbij1 10216. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem15	⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐,𝑥,𝑦   𝐵,𝑐,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ ω)
2		ackbij1lem3 10200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ ω → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
4		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)
5		ackbij1lem1 10198	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑐 ∈ 𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) = (𝐵 ∩ 𝑐))
7		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑐) ⊆ 𝑐
8	6, 7	eqsstrdi 3981	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐)
9		ackbij.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
10	9	ackbij1lem12 10209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝑐) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
11	3, 8, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊆ (𝐹‘𝑐))
12	9	ackbij1lem10 10207	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
13	12	ffvelcdmi 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘𝑐) ∈ ω)
14		nnon 7864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ ω → (𝐹‘𝑐) ∈ On)
15		onpsssuc 7811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑐) ∈ On → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
16	3, 13, 14, 15	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐))
17	9	ackbij1lem14 10211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ω → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) = suc (𝐹‘𝑐))
19	18	psseq2d 4050	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}) ↔ (𝐹‘𝑐) ⊊ suc (𝐹‘𝑐)))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘{𝑐}))
21		simpll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
22		inss1 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴
23	9	ackbij1lem11 10208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
24	21, 22, 23	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
25		ssun1 4131	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐} ⊆ ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐))
26		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐴)
27		ackbij1lem2 10199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} ∪ (𝐴 ∩ 𝑐)))
29	25, 28	sseqtrrid 3980	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐))
30	9	ackbij1lem12 10209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ {𝑐} ⊆ (𝐴 ∩ suc 𝑐)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
31	24, 29, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘{𝑐}) ⊆ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
32	20, 31	psssstrd 4067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
33	11, 32	sspsstrd 4066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
34	33	pssned 4055	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
35	34	necomd 3013	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) ≠ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))
36	35	neneqd 2963	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑐)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905   ⊊ wpss 3906  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ∪ ciun 4956   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  Oncon0 6360  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  ωcom 7858  Fincfn 8939  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921

This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10213