MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem15 10178
Description: Lemma for ackbij1 10182. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐,π‘₯,𝑦   𝐴,𝑐,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑐,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ Ο‰)
2 ackbij1lem3 10166 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ Ο‰ β†’ 𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
4 simpr3 1197 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)
5 ackbij1lem1 10164 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) = (𝐡 ∩ 𝑐))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) = (𝐡 ∩ 𝑐))
7 inss2 4193 . . . . . . 7 (𝐡 ∩ 𝑐) βŠ† 𝑐
86, 7eqsstrdi 4002 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐡 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝑐)
9 ackbij.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
109ackbij1lem12 10175 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐡 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝑐) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
113, 8, 10syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
129ackbij1lem10 10173 . . . . . . . . 9 𝐹:(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)βŸΆΟ‰
1312ffvelcdmi 7038 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰)
14 nnon 7812 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ On)
15 onpsssuc 7758 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘) ∈ On β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘))
163, 13, 14, 154syl 19 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘))
179ackbij1lem14 10177 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ Ο‰ β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) = suc (πΉβ€˜π‘))
181, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) = suc (πΉβ€˜π‘))
1918psseq2d 4057 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜{𝑐}) ↔ (πΉβ€˜π‘) ⊊ suc (πΉβ€˜π‘)))
2016, 19mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜{𝑐}))
21 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
22 inss1 4192 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝐴
239ackbij1lem11 10174 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ suc 𝑐) βŠ† 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2421, 22, 23sylancl 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
25 ssun1 4136 . . . . . . . 8 {𝑐} βŠ† ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐))
26 simpr2 1196 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
27 ackbij1lem2 10165 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ 𝐴 β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (𝐴 ∩ suc 𝑐) = ({𝑐} βˆͺ (𝐴 ∩ 𝑐)))
2925, 28sseqtrrid 4001 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ {𝑐} βŠ† (𝐴 ∩ suc 𝑐))
309ackbij1lem12 10175 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ suc 𝑐) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ {𝑐} βŠ† (𝐴 ∩ suc 𝑐)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) βŠ† (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3124, 29, 30syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜{𝑐}) βŠ† (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3220, 31psssstrd 4073 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ⊊ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3311, 32sspsstrd 4072 . . . 4 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) ⊊ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3433pssned 4062 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)) β‰  (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)))
3534necomd 2996 . 2 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) β‰  (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
3635neneqd 2945 1 (((𝐴 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ∧ 𝐡 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) ∧ (𝑐 ∈ Ο‰ ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑐 ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(𝐴 ∩ suc 𝑐)) = (πΉβ€˜(𝐡 ∩ suc 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   ⊊ wpss 3915  π’« cpw 4564  {csn 4590  βˆͺ ciun 4958   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  Oncon0 6321  suc csuc 6323  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806  Fincfn 8889  cardccrd 9879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  10179
  Copyright terms: Public domain W3C validator