Theorem ordsucss 7818

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6383	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2		ordnbtwn 6457	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3		imnan 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4	2, 3	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6		ordsuc 7814	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7		ordtri1 6395	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	6, 7	sylanb 593	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	5, 8	sylibrd 262	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	1, 9	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	exp31 425	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))))
12	11	pm2.43b 56	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)))
13	12	pm2.43b 56	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  Ord word 6360  suc csuc 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-tr 5217  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367

This theorem is used by:  ordelsuc  7820  ordsucelsuc  7822  orduniorsuc  7830  tfindsg2  7862  oaordi  8537  oawordeulem  8545  omeulem2  8574  oeworde  8585  oelimcl  8592  oeeui  8594  nnaordi  8610  nnawordex  8629  oaabs2  8641  omxpenlem  9080  inf3lem5  9615  cantnflt  9655  cantnflem1d  9671  cnfcom  9683  r1ordg  9764  rankr1ag  9788  cfslb2n  10274  cfsmolem  10276  fin23lem26  10331  isf32lem3  10361  ttukeylem7  10521  indpi  10920  nolesgn2ores  27916  nogesgn1ores  27918  nosupbday  27949  nosupres  27951  nosupbnd1lem1  27952  nosupbnd2  27960  noinfbday  27964  noinfres  27966  noinfbnd1lem1  27967  noinfbnd2  27975  fineqvnttrclselem2  35656  onsucss  44115  omabs2  44181  onsucunifi  44219  nadd1suc  44241