Theorem ordsucss 7754

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6333	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2		ordnbtwn 6406	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3		imnan 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6		ordsuc 7750	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7		ordtri1 6344	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	6, 7	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	5, 8	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	1, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	exp31 419	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))))
12	11	pm2.43b 55	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)))
13	12	pm2.43b 55	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  Ord word 6310  suc csuc 6313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5201  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317

This theorem is referenced by:  ordelsuc  7756  ordsucelsuc  7758  orduniorsuc  7766  tfindsg2  7798  oaordi  8467  oawordeulem  8475  omeulem2  8504  oeworde  8514  oelimcl  8521  oeeui  8523  nnaordi  8539  nnawordex  8558  oaabs2  8570  omxpenlem  8998  inf3lem5  9529  cantnflt  9569  cantnflem1d  9585  cnfcom  9597  r1ordg  9678  rankr1ag  9702  cfslb2n  10166  cfsmolem  10168  fin23lem26  10223  isf32lem3  10253  ttukeylem7  10413  indpi  10805  nolesgn2ores  27612  nogesgn1ores  27614  nosupbday  27645  nosupres  27647  nosupbnd1lem1  27648  nosupbnd2  27656  noinfbday  27660  noinfres  27662  noinfbnd1lem1  27663  noinfbnd2  27671  fineqvnttrclselem2  35163  onsucss  43383  omabs2  43449  onsucunifi  43487  nadd1suc  43509