MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucss 7829
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 6396 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
2 ordnbtwn 6467 . . . . . . . 8 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
3 imnan 398 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
54adantr 479 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6 ordsuc 7824 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7 ordtri1 6407 . . . . . . 7 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
86, 7sylanb 579 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
95, 8sylibrd 258 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
101, 9sylan 578 . . . 4 (((Ord 𝐵𝐴𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110exp31 418 . . 3 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))))
1211pm2.43b 55 . 2 (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)))
1312pm2.43b 55 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wss 3949  Ord word 6373  suc csuc 6376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380
This theorem is referenced by:  ordelsuc  7831  ordsucelsuc  7833  orduniorsuc  7841  tfindsg2  7874  oaordi  8575  oawordeulem  8583  omeulem2  8612  oeworde  8622  oelimcl  8629  oeeui  8631  nnaordi  8647  nnawordex  8666  oaabs2  8678  omxpenlem  9106  inf3lem5  9665  cantnflt  9705  cantnflem1d  9721  cnfcom  9733  r1ordg  9811  rankr1ag  9835  cfslb2n  10301  cfsmolem  10303  fin23lem26  10358  isf32lem3  10388  ttukeylem7  10548  indpi  10940  nolesgn2ores  27633  nogesgn1ores  27635  nosupbday  27666  nosupres  27668  nosupbnd1lem1  27669  nosupbnd2  27677  noinfbday  27681  noinfres  27683  noinfbnd1lem1  27684  noinfbnd2  27692  onsucss  42744  omabs2  42810  onsucunifi  42848  nadd1suc  42870
  Copyright terms: Public domain W3C validator