MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucss 7752
Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ordsucss (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))

Proof of Theorem ordsucss
StepHypRef Expression
1 ordelord 6339 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
2 ordnbtwn 6410 . . . . . . . 8 (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
3 imnan 400 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴𝐵𝐵 ∈ suc 𝐴))
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
54adantr 481 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6 ordsuc 7747 . . . . . . 7 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7 ordtri1 6350 . . . . . . 7 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
86, 7sylanb 581 . . . . . 6 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
95, 8sylibrd 258 . . . . 5 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
101, 9sylan 580 . . . 4 (((Ord 𝐵𝐴𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1110exp31 420 . . 3 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))))
1211pm2.43b 55 . 2 (𝐴𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵)))
1312pm2.43b 55 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wss 3910  Ord word 6316  suc csuc 6319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323
This theorem is referenced by:  ordelsuc  7754  ordsucelsuc  7756  orduniorsuc  7764  tfindsg2  7797  oaordi  8492  oawordeulem  8500  omeulem2  8529  oeworde  8539  oelimcl  8546  oeeui  8548  nnaordi  8564  nnawordex  8583  oaabs2  8594  omxpenlem  9016  inf3lem5  9567  cantnflt  9607  cantnflem1d  9623  cnfcom  9635  r1ordg  9713  rankr1ag  9737  cfslb2n  10203  cfsmolem  10205  fin23lem26  10260  isf32lem3  10290  ttukeylem7  10450  indpi  10842  nolesgn2ores  27018  nogesgn1ores  27020  nosupbday  27051  nosupres  27053  nosupbnd1lem1  27054  nosupbnd2  27062  noinfbday  27066  noinfres  27068  noinfbnd1lem1  27069  noinfbnd2  27077  onsucss  41579  omabs2  41643
  Copyright terms: Public domain W3C validator