Theorem ordsucss 7812

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6374	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2		ordnbtwn 6447	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3		imnan 399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6		ordsuc 7807	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7		ordtri1 6385	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	6, 7	sylanb 581	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	5, 8	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	1, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	exp31 419	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))))
12	11	pm2.43b 55	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)))
13	12	pm2.43b 55	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  Ord word 6351  suc csuc 6354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-tr 5230  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358

This theorem is referenced by:  ordelsuc  7814  ordsucelsuc  7816  orduniorsuc  7824  tfindsg2  7857  oaordi  8558  oawordeulem  8566  omeulem2  8595  oeworde  8605  oelimcl  8612  oeeui  8614  nnaordi  8630  nnawordex  8649  oaabs2  8661  omxpenlem  9087  inf3lem5  9646  cantnflt  9686  cantnflem1d  9702  cnfcom  9714  r1ordg  9792  rankr1ag  9816  cfslb2n  10282  cfsmolem  10284  fin23lem26  10339  isf32lem3  10369  ttukeylem7  10529  indpi  10921  nolesgn2ores  27636  nogesgn1ores  27638  nosupbday  27669  nosupres  27671  nosupbnd1lem1  27672  nosupbnd2  27680  noinfbday  27684  noinfres  27686  noinfbnd1lem1  27687  noinfbnd2  27695  onsucss  43290  omabs2  43356  onsucunifi  43394  nadd1suc  43416