Theorem ordsucss 7808

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. Lemma 1.14 of [Schloeder] p. 2. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 6385	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → Ord 𝐴)
2		ordnbtwn 6456	. . . . . . . 8 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
3		imnan 398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
4	2, 3	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
5	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
6		ordsuc 7803	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
7		ordtri1 6396	. . . . . . 7 ⊢ ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
8	6, 7	sylanb 579	. . . . . 6 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ suc 𝐴))
9	5, 8	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
10	1, 9	sylan 578	. . . 4 ⊢ (((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	10	exp31 418	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))))
12	11	pm2.43b 55	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵)))
13	12	pm2.43b 55	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  Ord word 6362  suc csuc 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369

This theorem is referenced by:  ordelsuc  7810  ordsucelsuc  7812  orduniorsuc  7820  tfindsg2  7853  oaordi  8548  oawordeulem  8556  omeulem2  8585  oeworde  8595  oelimcl  8602  oeeui  8604  nnaordi  8620  nnawordex  8639  oaabs2  8650  omxpenlem  9075  inf3lem5  9629  cantnflt  9669  cantnflem1d  9685  cnfcom  9697  r1ordg  9775  rankr1ag  9799  cfslb2n  10265  cfsmolem  10267  fin23lem26  10322  isf32lem3  10352  ttukeylem7  10512  indpi  10904  nolesgn2ores  27411  nogesgn1ores  27413  nosupbday  27444  nosupres  27446  nosupbnd1lem1  27447  nosupbnd2  27455  noinfbday  27459  noinfres  27461  noinfbnd1lem1  27462  noinfbnd2  27470  onsucss  42318  omabs2  42384  onsucunifi  42422  nadd1suc  42444