Theorem sucidg 6400

Description: Part of Proposition 7.23 of [TakeutiZaring] p. 41 (generalized). Lemma 1.7 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Scott Fenton, 20-Feb-2012.)

Assertion

Ref	Expression
sucidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem sucidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		elsucg 6387	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-v 3442  df-un 3906  df-sn 4581  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  sucid  6401  nsuceq0  6402  trsuc  6406  sucssel  6414  ordsuc  7756  onpsssuc  7761  nlimsucg  7784  tfrlem11  8319  tfrlem13  8321  tz7.44-2  8338  omeulem1  8509  oeordi  8515  oeeulem  8529  dif1enlem  9084  rexdif1en  9085  dif1en  9086  php4  9134  wofib  9450  suc11reg  9528  cantnfle  9580  cantnflt2  9582  cantnfp1lem3  9589  cantnflem1  9598  dfac12lem1  10054  dfac12lem2  10055  ttukeylem3  10421  ttukeylem7  10425  r1wunlim  10648  noresle  27665  nosupprefixmo  27668  noinfprefixmo  27669  fmla  35575  ex-sategoelelomsuc  35620  ontgval  36625  sucneqond  37570  finxpreclem4  37599  finxpsuclem  37602  dfsuccl4  38648  onexgt  43482  onepsuc  43494  ordnexbtwnsuc  43509  nlimsuc  43682  sucomisnotcard  43785