Theorem sucidg 6406

Description: Part of Proposition 7.23 of [TakeutiZaring] p. 41 (generalized). Lemma 1.7 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Scott Fenton, 20-Feb-2012.)

Assertion

Ref	Expression
sucidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem sucidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		elsucg 6393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  suc csuc 6325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-v 3431  df-un 3894  df-sn 4568  df-suc 6329

This theorem is referenced by:  sucid  6407  nsuceq0  6408  trsuc  6412  sucssel  6420  ordsuc  7765  onpsssuc  7770  nlimsucg  7793  tfrlem11  8327  tfrlem13  8329  tz7.44-2  8346  omeulem1  8517  oeordi  8523  oeeulem  8537  dif1enlem  9094  rexdif1en  9095  dif1en  9096  php4  9144  wofib  9460  suc11reg  9540  cantnfle  9592  cantnflt2  9594  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1  9610  dfac12lem1  10066  dfac12lem2  10067  ttukeylem3  10433  ttukeylem7  10437  r1wunlim  10660  noresle  27661  nosupprefixmo  27664  noinfprefixmo  27665  fmla  35563  ex-sategoelelomsuc  35608  ontgval  36613  sucneqond  37681  finxpreclem4  37710  finxpsuclem  37713  dfsuccl4  38795  suceldisj  39139  onexgt  43668  onepsuc  43680  ordnexbtwnsuc  43695  nlimsuc  43868  sucomisnotcard  43971