Theorem sucidg 6408

Description: Part of Proposition 7.23 of [TakeutiZaring] p. 41 (generalized). Lemma 1.7 of [Schloeder] p. 1. (Contributed by NM, 25-Mar-1995.) (Proof shortened by Scott Fenton, 20-Feb-2012.)

Assertion

Ref	Expression
sucidg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Proof of Theorem sucidg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 867	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		elsucg 6395	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 258	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  suc csuc 6327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-v 3444  df-un 3908  df-sn 4583  df-suc 6331

This theorem is referenced by:  sucid  6409  nsuceq0  6410  trsuc  6414  sucssel  6422  ordsuc  7766  onpsssuc  7771  nlimsucg  7794  tfrlem11  8329  tfrlem13  8331  tz7.44-2  8348  omeulem1  8519  oeordi  8525  oeeulem  8539  dif1enlem  9096  rexdif1en  9097  dif1en  9098  php4  9146  wofib  9462  suc11reg  9540  cantnfle  9592  cantnflt2  9594  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1  9610  dfac12lem1  10066  dfac12lem2  10067  ttukeylem3  10433  ttukeylem7  10437  r1wunlim  10660  noresle  27677  nosupprefixmo  27680  noinfprefixmo  27681  fmla  35594  ex-sategoelelomsuc  35639  ontgval  36644  sucneqond  37617  finxpreclem4  37646  finxpsuclem  37649  dfsuccl4  38722  suceldisj  39066  onexgt  43594  onepsuc  43606  ordnexbtwnsuc  43621  nlimsuc  43794  sucomisnotcard  43897