Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordirr 6177
 Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 6174 . 2 (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2 efrirr 5500 . 2 ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
31, 2syl 17 1 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2111   E cep 5429   Fr wfr 5475  Ord word 6158 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-eprel 5430  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162 This theorem is referenced by:  nordeq  6178  ordn2lp  6179  ordtri3or  6191  ordtri1  6192  ordtri3  6195  orddisj  6197  ordunidif  6207  ordnbtwn  6249  onirri  6265  onssneli  6268  onprc  7481  nlimsucg  7539  nnlim  7575  limom  7577  smo11  7986  smoord  7987  tfrlem13  8011  omopth2  8195  limensuci  8679  infensuc  8681  ordtypelem9  8976  cantnfp1lem3  9129  cantnfp1  9130  oemapvali  9133  tskwe  9365  dif1card  9423  dju1p1e2ALT  9587  nnadju  9610  pwsdompw  9617  cflim2  9676  fin23lem24  9735  fin23lem26  9738  axdc3lem4  9866  ttukeylem7  9928  canthp1lem2  10066  inar1  10188  gruina  10231  grur1  10233  addnidpi  10314  fzennn  13333  hashp1i  13762  soseq  33221  noseponlem  33296  noextend  33298  noextenddif  33300  noextendlt  33301  noextendgt  33302  fvnobday  33308  nosepssdm  33315  nosupbnd1lem3  33335  nosupbnd1lem5  33337  nosupbnd2lem1  33340  noetalem3  33344  sucneqond  34798
 Copyright terms: Public domain W3C validator