Theorem ordirr 6350

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6347	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5618	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109   E cep 5537   Fr wfr 5588  Ord word 6331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-eprel 5538  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335

This theorem is referenced by:  nordeq  6351  ordn2lp  6352  ordtri3or  6364  ordtri1  6365  ordtri3  6368  orddisj  6370  ordunidif  6382  ordnbtwn  6427  onirri  6447  onssneli  6450  epweon  7751  onprc  7754  nlimsucg  7818  nnlim  7856  limom  7858  soseq  8138  smo11  8333  smoord  8334  tfrlem13  8358  omopth2  8548  cofonr  8638  naddcllem  8640  limensuci  9117  infensuc  9119  ordtypelem9  9479  cantnfp1lem3  9633  cantnfp1  9634  oemapvali  9637  tskwe  9903  dif1card  9963  dju1p1e2ALT  10128  nnadju  10151  pwsdompw  10156  cflim2  10216  fin23lem24  10275  fin23lem26  10278  axdc3lem4  10406  ttukeylem7  10468  canthp1lem2  10606  inar1  10728  gruina  10771  grur1  10773  addnidpi  10854  fzennn  13933  hashp1i  14368  noseponlem  27576  noextend  27578  noextenddif  27580  noextendlt  27581  noextendgt  27582  fvnobday  27590  nosepssdm  27598  nosupbnd1lem3  27622  nosupbnd1lem5  27624  nosupbnd2lem1  27627  noinfbnd1lem3  27637  noinfbnd1lem5  27639  noinfbnd2lem1  27642  noetasuplem4  27648  noetainflem4  27652  sucneqond  37353  oaordnrex  43284  omnord1ex  43293  oenord1ex  43304  cantnfresb  43313  tfsconcatb0  43333  nlimsuc  43430