Theorem ordirr 6358

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6355	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5623	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2141   E cep 5542   Fr wfr 5593  Ord word 6339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-br 5098  df-opab 5160  df-eprel 5543  df-fr 5596  df-we 5598  df-ord 6343

This theorem is referenced by:  nordeq  6359  ordn2lp  6360  ordtri3or  6372  ordtri1  6373  ordtri3  6376  orddisj  6378  ordunidif  6390  ordnbtwn  6435  onirri  6454  onssneli  6457  epweon  7752  onprc  7755  nlimsucg  7816  nnlim  7854  limom  7856  soseq  8132  smo11  8328  smoord  8329  tfrlem13  8354  omopth2  8546  cofonr  8637  naddcllem  8639  limensuci  9118  infensuc  9120  ordtypelem9  9467  cantnfp1lem3  9628  cantnfp1  9629  oemapvali  9632  tskwe  9901  dif1card  9959  dju1p1e2ALT  10124  nnadju  10147  pwsdompw  10152  cflim2  10213  fin23lem24  10272  fin23lem26  10275  axdc3lem4  10403  ttukeylem7  10465  canthp1lem2  10604  inar1  10726  gruina  10769  grur1  10771  addnidpi  10852  fzennn  13974  hashp1i  14409  noseponlem  27715  noextend  27717  noextenddif  27719  noextendlt  27720  noextendgt  27721  fvnobday  27729  nosepssdm  27737  nosupbnd1lem3  27761  nosupbnd1lem5  27763  nosupbnd2lem1  27766  noinfbnd1lem3  27776  noinfbnd1lem5  27778  noinfbnd2lem1  27781  noetasuplem4  27787  noetainflem4  27791  nmulprop  36500  bj-iomnnom  37711  sucneqond  37819  oaordnrex  43832  omnord1ex  43841  oenord1ex  43852  cantnfresb  43861  omabs2  43869  tfsconcatb0  43881  nlimsuc  43977