Theorem ordirr 6341

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6338	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5611	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   E cep 5530   Fr wfr 5581  Ord word 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-eprel 5531  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6326

This theorem is referenced by:  nordeq  6342  ordn2lp  6343  ordtri3or  6355  ordtri1  6356  ordtri3  6359  orddisj  6361  ordunidif  6373  ordnbtwn  6418  onirri  6437  onssneli  6440  epweon  7729  onprc  7732  nlimsucg  7793  nnlim  7831  limom  7833  soseq  8109  smo11  8304  smoord  8305  tfrlem13  8329  omopth2  8519  cofonr  8610  naddcllem  8612  limensuci  9091  infensuc  9093  ordtypelem9  9441  cantnfp1lem3  9601  cantnfp1  9602  oemapvali  9605  tskwe  9874  dif1card  9932  dju1p1e2ALT  10097  nnadju  10120  pwsdompw  10125  cflim2  10185  fin23lem24  10244  fin23lem26  10247  axdc3lem4  10375  ttukeylem7  10437  canthp1lem2  10576  inar1  10698  gruina  10741  grur1  10743  addnidpi  10824  fzennn  13930  hashp1i  14365  noseponlem  27628  noextend  27630  noextenddif  27632  noextendlt  27633  noextendgt  27634  fvnobday  27642  nosepssdm  27650  nosupbnd1lem3  27674  nosupbnd1lem5  27676  nosupbnd2lem1  27679  noinfbnd1lem3  27689  noinfbnd1lem5  27691  noinfbnd2lem1  27694  noetasuplem4  27700  noetainflem4  27704  bj-iomnnom  37573  sucneqond  37681  oaordnrex  43723  omnord1ex  43732  oenord1ex  43743  cantnfresb  43752  omabs2  43760  tfsconcatb0  43772  nlimsuc  43868