Theorem ordirr 6353

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6350	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5621	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2109   E cep 5540   Fr wfr 5591  Ord word 6334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-eprel 5541  df-fr 5594  df-we 5596  df-ord 6338

This theorem is referenced by:  nordeq  6354  ordn2lp  6355  ordtri3or  6367  ordtri1  6368  ordtri3  6371  orddisj  6373  ordunidif  6385  ordnbtwn  6430  onirri  6450  onssneli  6453  epweon  7754  onprc  7757  nlimsucg  7821  nnlim  7859  limom  7861  soseq  8141  smo11  8336  smoord  8337  tfrlem13  8361  omopth2  8551  cofonr  8641  naddcllem  8643  limensuci  9123  infensuc  9125  ordtypelem9  9486  cantnfp1lem3  9640  cantnfp1  9641  oemapvali  9644  tskwe  9910  dif1card  9970  dju1p1e2ALT  10135  nnadju  10158  pwsdompw  10163  cflim2  10223  fin23lem24  10282  fin23lem26  10285  axdc3lem4  10413  ttukeylem7  10475  canthp1lem2  10613  inar1  10735  gruina  10778  grur1  10780  addnidpi  10861  fzennn  13940  hashp1i  14375  noseponlem  27583  noextend  27585  noextenddif  27587  noextendlt  27588  noextendgt  27589  fvnobday  27597  nosepssdm  27605  nosupbnd1lem3  27629  nosupbnd1lem5  27631  nosupbnd2lem1  27634  noinfbnd1lem3  27644  noinfbnd1lem5  27646  noinfbnd2lem1  27649  noetasuplem4  27655  noetainflem4  27659  sucneqond  37360  oaordnrex  43291  omnord1ex  43300  oenord1ex  43311  cantnfresb  43320  tfsconcatb0  43340  nlimsuc  43437