Theorem ordirr 6379

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6376	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5631	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   E cep 5550   Fr wfr 5601  Ord word 6360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6364

This theorem is used by:  nordeq  6380  ordn2lp  6381  ordtri3or  6394  ordtri1  6395  ordtri3  6398  orddisj  6400  ordunidif  6412  ordnbtwn  6457  onirri  6476  onssneli  6479  epweon  7787  onprc  7790  nlimsucg  7851  nnlim  7889  limom  7891  soseq  8169  smo11  8365  smoord  8366  tfrlem13  8391  omopth2  8585  cofonr  8676  naddcllem  8678  limensuci  9165  infensuc  9167  ordtypelem9  9513  cantnfp1lem3  9674  cantnfp1  9675  oemapvali  9678  tskwe  10024  dif1card  10082  dju1p1e2ALT  10246  nnadju  10269  pwsdompw  10274  cflim2  10334  fin23lem24  10393  fin23lem26  10396  axdc3lem4  10524  ttukeylem7  10586  canthp1lem2  10731  inar1  10853  gruina  10896  grur1  10898  addnidpi  10979  fzennn  14104  hashp1i  14540  noseponlem  28014  noextend  28016  noextenddif  28018  noextendlt  28019  noextendgt  28020  fvnobday  28028  nosepssdm  28036  nosupbnd1lem3  28060  nosupbnd1lem5  28062  nosupbnd2lem1  28065  noinfbnd1lem3  28075  noinfbnd1lem5  28077  noinfbnd2lem1  28080  noetasuplem4  28086  noetainflem4  28090  nmulprop  36919  bj-iomnnom  38160  sucneqond  38268  oaordnrex  44281  omnord1ex  44290  oenord1ex  44301  cantnfresb  44310  omabs2  44318  tfsconcatb0  44330  nlimsuc  44426