Theorem ordirr 6371

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6368	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5650	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   E cep 5572   Fr wfr 5621  Ord word 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-br 5142  df-opab 5204  df-eprel 5573  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6356

This theorem is referenced by:  nordeq  6372  ordn2lp  6373  ordtri3or  6385  ordtri1  6386  ordtri3  6389  orddisj  6391  ordunidif  6402  ordnbtwn  6446  onirri  6466  onssneli  6469  epweon  7745  onprc  7748  nlimsucg  7814  nnlim  7852  limom  7854  soseq  8127  smo11  8346  smoord  8347  tfrlem13  8372  omopth2  8567  cofonr  8656  naddcllem  8658  limensuci  9136  infensuc  9138  ordtypelem9  9503  cantnfp1lem3  9657  cantnfp1  9658  oemapvali  9661  tskwe  9927  dif1card  9987  dju1p1e2ALT  10151  nnadju  10174  pwsdompw  10181  cflim2  10240  fin23lem24  10299  fin23lem26  10302  axdc3lem4  10430  ttukeylem7  10492  canthp1lem2  10630  inar1  10752  gruina  10795  grur1  10797  addnidpi  10878  fzennn  13915  hashp1i  14345  noseponlem  27094  noextend  27096  noextenddif  27098  noextendlt  27099  noextendgt  27100  fvnobday  27108  nosepssdm  27116  nosupbnd1lem3  27140  nosupbnd1lem5  27142  nosupbnd2lem1  27145  noinfbnd1lem3  27155  noinfbnd1lem5  27157  noinfbnd2lem1  27160  noetasuplem4  27166  noetainflem4  27170  sucneqond  36048  oaordnrex  41814  omnord1ex  41823  oenord1ex  41834  cantnfresb  41843  tfsconcatb0  41863  nlimsuc  41961