Theorem ordirr 6367

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6364	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5631	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   E cep 5550   Fr wfr 5601  Ord word 6348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5105  df-opab 5167  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6352

This theorem is referenced by:  nordeq  6368  ordn2lp  6369  ordtri3or  6382  ordtri1  6383  ordtri3  6386  orddisj  6388  ordunidif  6400  ordnbtwn  6445  onirri  6464  onssneli  6467  epweon  7762  onprc  7765  nlimsucg  7826  nnlim  7864  limom  7866  soseq  8143  smo11  8339  smoord  8340  tfrlem13  8365  omopth2  8557  cofonr  8648  naddcllem  8650  limensuci  9129  infensuc  9131  ordtypelem9  9476  cantnfp1lem3  9637  cantnfp1  9638  oemapvali  9641  tskwe  9924  dif1card  9982  dju1p1e2ALT  10146  nnadju  10169  pwsdompw  10174  cflim2  10235  fin23lem24  10294  fin23lem26  10297  axdc3lem4  10425  ttukeylem7  10487  canthp1lem2  10626  inar1  10748  gruina  10791  grur1  10793  addnidpi  10874  fzennn  13992  hashp1i  14427  noseponlem  27782  noextend  27784  noextenddif  27786  noextendlt  27787  noextendgt  27788  fvnobday  27796  nosepssdm  27804  nosupbnd1lem3  27828  nosupbnd1lem5  27830  nosupbnd2lem1  27833  noinfbnd1lem3  27843  noinfbnd1lem5  27845  noinfbnd2lem1  27848  noetasuplem4  27854  noetainflem4  27858  nmulprop  36548  bj-iomnnom  37758  sucneqond  37866  oaordnrex  43879  omnord1ex  43888  oenord1ex  43899  cantnfresb  43908  omabs2  43916  tfsconcatb0  43928  nlimsuc  44024