Theorem ordirr 6375

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6372	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5635	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2145   E cep 5554   Fr wfr 5605  Ord word 6356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5555  df-fr 5608  df-we 5610  df-ord 6360

This theorem is used by:  nordeq  6376  ordn2lp  6377  ordtri3or  6390  ordtri1  6391  ordtri3  6394  orddisj  6396  ordunidif  6408  ordnbtwn  6453  onirri  6472  onssneli  6475  epweon  7774  onprc  7777  nlimsucg  7838  nnlim  7876  limom  7878  soseq  8157  smo11  8353  smoord  8354  tfrlem13  8379  omopth2  8571  cofonr  8662  naddcllem  8664  limensuci  9151  infensuc  9153  ordtypelem9  9498  cantnfp1lem3  9659  cantnfp1  9660  oemapvali  9663  tskwe  9955  dif1card  10013  dju1p1e2ALT  10177  nnadju  10200  pwsdompw  10205  cflim2  10265  fin23lem24  10324  fin23lem26  10327  axdc3lem4  10455  ttukeylem7  10517  canthp1lem2  10662  inar1  10784  gruina  10827  grur1  10829  addnidpi  10910  fzennn  14032  hashp1i  14467  noseponlem  27900  noextend  27902  noextenddif  27904  noextendlt  27905  noextendgt  27906  fvnobday  27914  nosepssdm  27922  nosupbnd1lem3  27946  nosupbnd1lem5  27948  nosupbnd2lem1  27951  noinfbnd1lem3  27961  noinfbnd1lem5  27963  noinfbnd2lem1  27966  noetasuplem4  27972  noetainflem4  27976  nmulprop  36770  bj-iomnnom  38011  sucneqond  38119  oaordnrex  44136  omnord1ex  44145  oenord1ex  44156  cantnfresb  44165  omabs2  44173  tfsconcatb0  44185  nlimsuc  44281