Theorem ordirr 6343

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6340	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5612	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   E cep 5531   Fr wfr 5582  Ord word 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5532  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328

This theorem is referenced by:  nordeq  6344  ordn2lp  6345  ordtri3or  6357  ordtri1  6358  ordtri3  6361  orddisj  6363  ordunidif  6375  ordnbtwn  6420  onirri  6439  onssneli  6442  epweon  7730  onprc  7733  nlimsucg  7794  nnlim  7832  limom  7834  soseq  8111  smo11  8306  smoord  8307  tfrlem13  8331  omopth2  8521  cofonr  8612  naddcllem  8614  limensuci  9093  infensuc  9095  ordtypelem9  9443  cantnfp1lem3  9601  cantnfp1  9602  oemapvali  9605  tskwe  9874  dif1card  9932  dju1p1e2ALT  10097  nnadju  10120  pwsdompw  10125  cflim2  10185  fin23lem24  10244  fin23lem26  10247  axdc3lem4  10375  ttukeylem7  10437  canthp1lem2  10576  inar1  10698  gruina  10741  grur1  10743  addnidpi  10824  fzennn  13903  hashp1i  14338  noseponlem  27644  noextend  27646  noextenddif  27648  noextendlt  27649  noextendgt  27650  fvnobday  27658  nosepssdm  27666  nosupbnd1lem3  27690  nosupbnd1lem5  27692  nosupbnd2lem1  27695  noinfbnd1lem3  27705  noinfbnd1lem5  27707  noinfbnd2lem1  27710  noetasuplem4  27716  noetainflem4  27720  sucneqond  37617  oaordnrex  43649  omnord1ex  43658  oenord1ex  43669  cantnfresb  43678  tfsconcatb0  43698  nlimsuc  43794