Theorem ordirr 6380

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6377	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5643	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2143   E cep 5562   Fr wfr 5613  Ord word 6361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5111  df-opab 5175  df-eprel 5563  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365

This theorem is referenced by:  nordeq  6381  ordn2lp  6382  ordtri3or  6395  ordtri1  6396  ordtri3  6399  orddisj  6401  ordunidif  6413  ordnbtwn  6458  onirri  6477  onssneli  6480  epweon  7775  onprc  7778  nlimsucg  7839  nnlim  7877  limom  7879  soseq  8156  smo11  8352  smoord  8353  tfrlem13  8378  omopth2  8570  cofonr  8661  naddcllem  8663  limensuci  9142  infensuc  9144  ordtypelem9  9489  cantnfp1lem3  9650  cantnfp1  9651  oemapvali  9654  tskwe  9937  dif1card  9995  dju1p1e2ALT  10159  nnadju  10182  pwsdompw  10187  cflim2  10248  fin23lem24  10307  fin23lem26  10310  axdc3lem4  10438  ttukeylem7  10500  canthp1lem2  10639  inar1  10761  gruina  10804  grur1  10806  addnidpi  10887  fzennn  14006  hashp1i  14441  noseponlem  27809  noextend  27811  noextenddif  27813  noextendlt  27814  noextendgt  27815  fvnobday  27823  nosepssdm  27831  nosupbnd1lem3  27855  nosupbnd1lem5  27857  nosupbnd2lem1  27860  noinfbnd1lem3  27870  noinfbnd1lem5  27872  noinfbnd2lem1  27875  noetasuplem4  27881  noetainflem4  27885  nmulprop  36663  bj-iomnnom  37884  sucneqond  37992  oaordnrex  44005  omnord1ex  44014  oenord1ex  44025  cantnfresb  44034  omabs2  44042  tfsconcatb0  44054  nlimsuc  44150