Theorem ordirr 6404

Description: No ordinal class is a member of itself. In other words, the membership relation is irreflexive on ordinal classes. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. Theorem 1.9(i) of [Schloeder] p. 1. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordirr	⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ordirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 6401	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		efrirr 5669	. 2 ⊢ ( E Fr 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   E cep 5588   Fr wfr 5638  Ord word 6385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5589  df-fr 5641  df-we 5643  df-ord 6389

This theorem is referenced by:  nordeq  6405  ordn2lp  6406  ordtri3or  6418  ordtri1  6419  ordtri3  6422  orddisj  6424  ordunidif  6435  ordnbtwn  6479  onirri  6499  onssneli  6502  epweon  7794  onprc  7797  nlimsucg  7863  nnlim  7901  limom  7903  soseq  8183  smo11  8403  smoord  8404  tfrlem13  8429  omopth2  8621  cofonr  8711  naddcllem  8713  limensuci  9192  infensuc  9194  ordtypelem9  9564  cantnfp1lem3  9718  cantnfp1  9719  oemapvali  9722  tskwe  9988  dif1card  10048  dju1p1e2ALT  10213  nnadju  10236  pwsdompw  10241  cflim2  10301  fin23lem24  10360  fin23lem26  10363  axdc3lem4  10491  ttukeylem7  10553  canthp1lem2  10691  inar1  10813  gruina  10856  grur1  10858  addnidpi  10939  fzennn  14006  hashp1i  14439  noseponlem  27724  noextend  27726  noextenddif  27728  noextendlt  27729  noextendgt  27730  fvnobday  27738  nosepssdm  27746  nosupbnd1lem3  27770  nosupbnd1lem5  27772  nosupbnd2lem1  27775  noinfbnd1lem3  27785  noinfbnd1lem5  27787  noinfbnd2lem1  27790  noetasuplem4  27796  noetainflem4  27800  sucneqond  37348  oaordnrex  43285  omnord1ex  43294  oenord1ex  43305  cantnfresb  43314  tfsconcatb0  43334  nlimsuc  43431