Theorem ordelssne 6293

Description: For ordinal classes, membership is equivalent to strict inclusion. Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordelssne	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Proof of Theorem ordelssne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6280	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		tz7.7 6292	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Tr 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
4	3	ancoms 459	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  Tr wtr 5191  Ord word 6265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269

This theorem is referenced by:  ordelpss  6294  onelpss  6306  orduniorsuc  7677  ominf  9035  scutbdaybnd2lim  34011