Theorem ordelssne 6330

Description: For ordinal classes, membership is equivalent to strict inclusion. Corollary 7.8 of [TakeutiZaring] p. 37. (Contributed by NM, 25-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordelssne	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Proof of Theorem ordelssne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 6317	. . 3 ⊢ (Ord 𝐴 → Tr 𝐴)
2		tz7.7 6329	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Tr 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))
4	3	ancoms 459	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3898  Tr wtr 5210  Ord word 6302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pr 5373

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-br 5094  df-opab 5156  df-tr 5211  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6306

This theorem is referenced by:  ordelpss  6331  onelpss  6343  orduniorsuc  7744  ominf  9124  ominfOLD  9125  scutbdaybnd2lim  27063