Theorem ominfOLD 9292

Description: Obsolete version of ominf 9291 as of 2-Jan-2025. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ominfOLD	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominfOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9014	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7896	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6412	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		ensym 9041	. . . . 5 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
10		pssinf 9289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
12	11	rexlimiva 3144	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
13	1, 12	sylbi 217	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
14		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962   ⊊ wpss 3963   class class class wbr 5147  Ord word 6384  ωcom 7886   ≈ cen 8980  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987

This theorem is referenced by: (None)