Theorem ominf 9255

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5354. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8969	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7859	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6382	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		nnfi 9164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
10		ensymfib 9184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
12	11	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ ω)
13		pssinf 9253	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an2r 682	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
15	14	rexlimiva 3139	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
16	1, 15	sylbi 216	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
17		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
18	16, 17	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3941   ⊊ wpss 3942   class class class wbr 5139  Ord word 6354  ωcom 7849   ≈ cen 8933  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  fineqv  9260  nnsdomg  9299  nnsdomgOLD  9300  ackbij1lem18  10229  fin23lem21  10331  fin23lem28  10332  fin23lem30  10334  isfin1-2  10377  uzinf  13931  bitsf1  16390  odhash  19490  ufinffr  23777  poimirlem30  37022  diophin  42062  diophren  42103  fiphp3d  42109