Theorem ominf 9293

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5334. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9040	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7921	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6415	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 4017	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		nnfi 9221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
10		ensymfib 9237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
12	11	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ ω)
13		pssinf 9291	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an2r 698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
15	14	rexlimiva 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
16	1, 15	sylbi 220	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
17		pm2.01 190	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
18	16, 17	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016   class class class wbr 5108  Ord word 6387  ωcom 7911   ≈ cen 9008  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  fineqv  9296  nnsdomg  9329  ackbij1lem18  10353  fin23lem21  10456  fin23lem28  10457  fin23lem30  10459  isfin1-2  10502  uzinf  14148  bitsf1  16660  odhash  19839  ufinffr  24303  fineqvnttrclse  35933  fineqvinfep  35934  poimirlem30  38836  diophin  44049  diophren  44086  fiphp3d  44092