Theorem ominf 9174

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5307. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8922	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7827	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6350	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		nnfi 9102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
10		ensymfib 9118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
12	11	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ ω)
13		pssinf 9172	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
15	14	rexlimiva 3130	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
16	1, 15	sylbi 217	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
17		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
18	16, 17	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890   class class class wbr 5085  Ord word 6322  ωcom 7817   ≈ cen 8890  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  fineqv  9177  nnsdomg  9209  ackbij1lem18  10158  fin23lem21  10261  fin23lem28  10262  fin23lem30  10264  isfin1-2  10307  uzinf  13927  bitsf1  16415  odhash  19549  ufinffr  23894  fineqvnttrclse  35268  fineqvinfep  35269  poimirlem30  37971  diophin  43204  diophren  43241  fiphp3d  43247