MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf 8381
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 8186 . . 3 (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2 nnord 7273 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3 ordom 7274 . . . . . . . 8 Ord ω
4 ordelssne 5937 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
52, 3, 4sylancl 580 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
65ibi 258 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7 df-pss 3750 . . . . . 6 (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
86, 7sylibr 225 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9 ensym 8211 . . . . 5 (ω ≈ 𝑥𝑥 ≈ ω)
10 pssinf 8379 . . . . 5 ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
118, 9, 10syl2an 589 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
1211rexlimiva 3175 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
131, 12sylbi 208 . 2 (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
14 pm2.01 180 . 2 ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
1513, 14ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056  wss 3734  wpss 3735   class class class wbr 4811  Ord word 5909  ωcom 7265  cen 8159  Fincfn 8162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-om 7266  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166
This theorem is referenced by:  fineqv  8384  nnsdomg  8428  ackbij1lem18  9314  fin23lem21  9416  fin23lem28  9417  fin23lem30  9419  isfin1-2  9462  uzinf  12975  bitsf1  15452  odhash  18256  ufinffr  22015  poimirlem30  33866  diophin  38017  diophren  38058  fiphp3d  38064
  Copyright terms: Public domain W3C validator