Theorem ominf 9321

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5383. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9036	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7913	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6422	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 267	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 3996	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		nnfi 9233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
10		ensymfib 9250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
12	11	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ ω)
13		pssinf 9319	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
14	8, 12, 13	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
15	14	rexlimiva 3153	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
16	1, 15	sylbi 217	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
17		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
18	16, 17	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977   class class class wbr 5166  Ord word 6394  ωcom 7903   ≈ cen 9000  Fincfn 9003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  fineqv  9326  nnsdomg  9363  nnsdomgOLD  9364  ackbij1lem18  10305  fin23lem21  10408  fin23lem28  10409  fin23lem30  10411  isfin1-2  10454  uzinf  14016  bitsf1  16492  odhash  19616  ufinffr  23958  poimirlem30  37610  diophin  42728  diophren  42769  fiphp3d  42775