MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf 9283
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.) Avoid ax-pow 5365. (Revised by BTernaryTau, 2-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ominf ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 8997 . . 3 (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2 nnord 7878 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3 ordom 7880 . . . . . . . 8 Ord ω
4 ordelssne 6396 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
52, 3, 4sylancl 585 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
65ibi 267 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7 df-pss 3966 . . . . . 6 (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
86, 7sylibr 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9 nnfi 9192 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ∈ Fin)
10 ensymfib 9212 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ≈ ω ↔ ω ≈ 𝑥))
1211biimpar 477 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → 𝑥 ≈ ω)
13 pssinf 9281 . . . . 5 ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
148, 12, 13syl2an2r 684 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
1514rexlimiva 3144 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
161, 15sylbi 216 . 2 (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
17 pm2.01 188 . 2 ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
1816, 17ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5148  Ord word 6368  ωcom 7870  cen 8961  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968
This theorem is referenced by:  fineqv  9288  nnsdomg  9327  nnsdomgOLD  9328  ackbij1lem18  10261  fin23lem21  10363  fin23lem28  10364  fin23lem30  10366  isfin1-2  10409  uzinf  13963  bitsf1  16421  odhash  19529  ufinffr  23846  poimirlem30  37123  diophin  42192  diophren  42233  fiphp3d  42239
  Copyright terms: Public domain W3C validator