MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ominf 8441
Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
ominf ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf
StepHypRef Expression
1 isfi 8246 . . 3 (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2 nnord 7334 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3 ordom 7335 . . . . . . . 8 Ord ω
4 ordelssne 5990 . . . . . . . 8 ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
52, 3, 4sylancl 582 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
65ibi 259 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7 df-pss 3814 . . . . . 6 (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
86, 7sylibr 226 . . . . 5 (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9 ensym 8271 . . . . 5 (ω ≈ 𝑥𝑥 ≈ ω)
10 pssinf 8439 . . . . 5 ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
118, 9, 10syl2an 591 . . . 4 ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
1211rexlimiva 3237 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
131, 12sylbi 209 . 2 (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
14 pm2.01 181 . 2 ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
1513, 14ax-mp 5 1 ¬ ω ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118  wss 3798  wpss 3799   class class class wbr 4873  Ord word 5962  ωcom 7326  cen 8219  Fincfn 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226
This theorem is referenced by:  fineqv  8444  nnsdomg  8488  ackbij1lem18  9374  fin23lem21  9476  fin23lem28  9477  fin23lem30  9479  isfin1-2  9522  uzinf  13059  bitsf1  15541  odhash  18340  ufinffr  22103  poimirlem30  33983  diophin  38180  diophren  38221  fiphp3d  38227
  Copyright terms: Public domain W3C validator