Theorem ominf 8964

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8719	. . 3 ⊢ (ω ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥)
2		nnord 7695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Ord 𝑥)
3		ordom 7697	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
4		ordelssne 6278	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ Ord ω) → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ∈ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω)))
6	5	ibi 266	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
7		df-pss 3902	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊊ ω ↔ (𝑥 ⊆ ω ∧ 𝑥 ≠ ω))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊊ ω)
9		ensym 8744	. . . . 5 ⊢ (ω ≈ 𝑥 → 𝑥 ≈ ω)
10		pssinf 8962	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊊ ω ∧ 𝑥 ≈ ω) → ¬ ω ∈ Fin)
11	8, 9, 10	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ω ≈ 𝑥) → ¬ ω ∈ Fin)
12	11	rexlimiva 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ω ≈ 𝑥 → ¬ ω ∈ Fin)
13	1, 12	sylbi 216	. 2 ⊢ (ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin)
14		pm2.01 188	. 2 ⊢ ((ω ∈ Fin → ¬ ω ∈ Fin) → ¬ ω ∈ Fin)
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ⊊ wpss 3884   class class class wbr 5070  Ord word 6250  ωcom 7687   ≈ cen 8688  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  fineqv  8967  nnsdomg  9003  ackbij1lem18  9924  fin23lem21  10026  fin23lem28  10027  fin23lem30  10029  isfin1-2  10072  uzinf  13613  bitsf1  16081  odhash  19094  ufinffr  22988  poimirlem30  35734  diophin  40510  diophren  40551  fiphp3d  40557