Theorem ordtri4 6369

Description: A trichotomy law for ordinals. (Contributed by NM, 1-Nov-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordtri4	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem ordtri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3962	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		ordtri1 6365	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
4	3	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))
5	1, 4	bitrid 283	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  Ord word 6331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-tr 5215  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-ord 6335

This theorem is referenced by:  carduni  9934  alephfp  10061  newbday  27813